数列与放缩法

1、数列与放缩法(一)1. 证明：12. 证明：13. 已知an4. 已知bn5. 已知an1尹13n2 3nn21 nn2 n 1，证明b22n 11.(n2.2nb；a2a2anb25an1(本小题满分14分)已知正项数列(1)求数列a.通项公式a1(2)求证：当n 2时，va2(本题满分14分)设数列an满足an 0,a11，(1)求数列an的通项公式;求证：当n 2时,an的前n项和为12a312a412an(1 2n) anan 1 a.Sn，a1(3)求证：当n 2时,Snn153Sn1.(本小题满分14分)设Sn为数列an的前n项和，对任意的n N*，都有Sn(1)求证：数列an是等

2、比数列;(2)设数列an的公比q求数列bn的通项公式;-，且满足 2Sn 1 2Sn 3an1232)，数列an的前n项和为Sn.m 1 man (m为常数，且m 0).f m，数列bn满足02q,bnf bn 1 (n 2，n N* )，(3)在满足(2)的条件下，求证：数列bn2的前n项和Tn891819.（本小题满分12 分)已知数列求数列an的通项公式;2aan的首项a11 , nN , am 上王2 an(3)求证:19. （2008辽宁卷）在数列an , bn中，a1nai23 .i 12,b4,且an,bn,an 1成等差数列,bn,an 1,bn 1成等比数列.求a2.a3.a

3、4及b2.b3.b4,由此猜测 a“,bn的通项公式,并证明你的结论；11证明：丄lb a2 b2ai1anbn51219. （本小题满分14分）设数列an的前n项和为Sn.已知a1an 1求a2的值；求数列an的通项公式；证明：对一切正整数n,有丄a1a2L丄 an19.（本小题满分14分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn1(nN ），且q,a2 5,a3成等差数列。(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式。证明：对一切正整数n ,有丄 1aiLa21an21.(本题满分14分)在数列 a n 中，a1 1,3anan 1 an an 1 0 n 2 .(I)求数列an的通项;1(

4、U)若 an 一an 1对任意n 2的整数恒成立，求实数的取值范围;(川)设数列bn , an, b n的前n项和为Tn，求证：3n 11 .14.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足S11, 且6Sn(an1)( an 2),(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足an(2bn 1) 1,记Tn为数列bn的前门项和，求证：2T1 log 2 (an 3).21.(本题满分14分)已知数列an的首项为a1 3,点an,an1在直线3x y 0(n N*)上.(I)求数列an的通项公式;2a2xLanxn,求f (1)的值，并化简.(川)若 Cnlogsa；2

5、(n N ),证明对任意的n N ，不等式1 1(1)(1+ )qC21 L (1+)3、3n 1 恒成立.cn3.(本小题满分14分)已知数列a.和bn满足a1 b1,且对任意n N*都有bnan 1anbn1 a；.anbn(1) 求数列an和bn的通项公式；证明：电鱼直l 也In 1 n色邑直 b2b3b4bn 1db2b33.（本小题满分14分）a*已知数列an满足:丄,an 1 ,n N （其中e为自然对数的底数）2e an e（1）求数列an的通项an ；(2)设 Snaia2an， Tnaia2 a3an，求证：SnTnn220.（本小题满分14分）已知数列an的前n项和&

6、;满足：Sna 1(an1） （a为常数，且a 0,a 1 ).(I)求an的通项公式;2Snan1，若数列bn为等比数列，求a的值;（川）在满足条件（U）的情形下，设11 an一，数列Cn的前n项和为Tn.1 an 1求证：Tn 2n 3 .21、（本小题满分15分）11 2已知：在数列a n中，a1 = ，an+1 = an+444n+1（1）令 bn = 4n an，求证：数列bn是等差数列；5（2） 若S为数列an的前n项的和，S+入nan>9对任意N*恒成立，求实数 入的最小值.5 (汉沽一中20082009届月考理20).(本小题满分14分)如图,R(为，yj, P2(X2,

7、y2),L ,Pn(Xn,yn),(0y 丫2 Ly“)是曲线C： y2 3x(y 0)上的n个点，点A(a,0)(i 1,2,3,L , n)在x轴的正半轴上，AiAR是正三角形(A是坐标原点).(I)写出 ai,a2,a3;(H )求出点An (an,0)( n N*)的横坐标an关于n的表达式；1111(川)设bn丄 丄 L ，若对任意正整数n，当m 1,1时，不等式an 1 an 2 an 3a2nt 2mt - bn恒成立，求实数t的取值范围.y6P3P2 /Aozv V4.(本小题满分14分)OA1A2A3 X设Sn是数列an的前n项和，且an是Sn和2的等差中项.(1) 求数列a

8、n的通项公式；(2) 当1 i j n ( i,j,n均为正整数)时，求ai和aj的所有可能的乘积aj之和Tn ;2222n42设M T；石L fnN*)，求证：2M ；.2.(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn，且3 1，Sn an 1 1。(I )求数列an的通项公式；(U)是否存在实数 ，使得数列Snn2n为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，则说明理由。(川)求证:3 佝 1)® 1) ® 1) 1) (03 1)(a4 1)(an1)(an 1 1)1222232n120. (本小题满分14分)已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d , Sn

9、为其前n项和，且满足 an S2n 1，n N* .数列bn满足bn- ，Tn为数列bn的前n项和.an an 1(1) 求 a-、d 和 Tn;(2) 若对任意的n N*，不等式Tn n 8 ( 1)n恒成立，求实数的取值范围；(3) 是否存在正整数m,n(1 m n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有m, n的值；若不存在，请说明理由.1 *19.(本题满分14分)已知数列an中，a11，%a.1()n(nN )，记为®的前2n2项的和.(1) 设bn a2n，证明：数列bn是等比数列；(2) 求 T2n ；(3) 不等式64 T2n a2n 3(1 ka2n)对

10、于一切n N*恒成立，求实数k的最大值.5、(汕头市2013届高三3月教学质量测评)数列 an 的前n项和为& ,1 3Sn ann2 n 1(n N*)2 2(I )设bn an n,证明：数列 bn是等比数列；(II )求数列 nbn的前n项和Tn ；求不超过P的最大整数的值。21. (本小题满分14分)2已知数列an和bn满足：ai=x , an+i=-an n 4,bn ( 1)n(an 3n 21),其中入为实数，n为正3整数.(I)对任意实数入，证明数列an不是等比数列；(U)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；(川)设Ov avb, S为数列bn的前n项和.是否

11、存在实数入，使得对任意正整数 n,都有 av Sv b?若存在，求入的取值范围；若不存在，说明理由1 .(本小题满分14分)已知数列an的相邻两项an,an 1是关于X的方程 x22n x bn 0(n N )的两实根，且 a 1.(1)求证：数列an 1 2n是等比数列；(2)设&是数列an的前n项和，求& ;3(3)问是否存在常数，使得bnSn对n N都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。19.(本小题满分14分)已知数列an满足：a1 1， a2 2，且 an 2 (2 cosn )(an 1) 3， n N* .(1) 求通项公式an ；(2) 设an的

12、前n项和为Sn，问：是否存在正整数m、n，使得S?n mS>n 1 ?若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m , n)，若不存在，请说明理由.1.（本小题满分14分）（1 ）证明：当 n 1 时，a S1 m 1 mq，解得 a11 .1分当 n 2 时，an Sn Sn 1 man 1 man .2分即 1 m an man 1 . m为常数，且m 0，二旦 匹n 2 .an 11 m3分公比为二数列an是首项为 1列.（2）解：由（1）得，q5分b12a12 .bn f bn 1bn 11bn 1bnbn 11即丄- bn bn 1二右是首项为寸，公差为1的等差数列. 8分 11

13、n 1 12n 1，即S2 *2(nN).bn222n 1分(3)证明:由（2）知bn2则 bn24 2 .2n 12n 110分所以 Tn b2 b22 b32 L bn2252di分当n 2时,4422n 1 2n 2n 21112分14分所以Tn4 -L429252n 141 11 1 ,1 14-L 92 33 4n 1 n40 1189 9 2 n 18 (1)解：对任意nN* 都有 an bn1,an 1anbn2 ,1 an数列丄 是首项为丄,公差为1的等差数列.ana1an 1bn1an1an1 a；1an 1an111 1-1,即1an 1anan 1ana1bi,且 a1b

14、 1,bi1a12 .1 an2n 1 n 1.anbn1 an.4 分6分证明： anbnan 1bn nLan 1bn 1In1n亘电鱼l色bnbib2b311, 11n 1L -.23n,111n1 -L23n11xfx11x1 x所证不等式亞电色b2b3b4前 111,1,即LIn234 n 1先证右边不等式：In 1令 f x In 1 x x,则当 x 0时,f' x 0,所以函数f x在0, 上单调递减.asb3鱼L乩 In 1 nb2bab4bn 1bn分别取X11-1,丄，123n111111得In 11In1 -In1LIn 11 -1L -23n23n即In 11

15、g 11 g1 1gLg 11111L123n23n也即In234 Ln1111 L123n23n即In 1n111 L1TO分2 :3n再证左边不等式:111L1In1n234n1令f XIn 1XX!1则f1X1112X21 X1X1X1 X当X 0时,f1X0,所以函数fX在0,上单调递增'当 X0时，f Xf 00,即In 1XX12分1X分别取X1,1丄丄,123n得In 11In1 1In11LIn1 111L123n231n1,11111即In 11g1g1 -gLg1L23n! 31n也即In234 Ln111L1即In1 n11i1L.23n231 n231 n当 x

16、 0 时，f Xf 00,即 In 1 x x.8分an1 221、解：（1）由 an+仁 43n+ 4+1，得 4n+1 a n+1 = 4nan + 2.所以 bn + 1= bn + 2,1分2n 1.即 bn+1 bn= 2.故数列bn是首项为1 ,公差为2的等差数列.(2)因为数列bn是首项为1,公差为2的等差数列，所以bn= 1 + 2 (n 1)=因为bn = 4n所以a n =2n 14n3425+43 +2n 34 n 12n 14n 1又 4$二 42 +343 +544 +2n 34 n2n 14n+ 1.1+ 442n 14n+ 11 1 (1 )1424 n 1=-+

17、 2X42n 14n+ 1.所以2n 113 X 4n10分因为5nan>9对任意nN*恒成立,所以2n 11丁 x 不 +XX/2n 一1)5一 > 9对任意nN*恒成立.8>-x9n (2n 1)1+ 31T对任意n N*恒成立.11分14分8 1 8所以8x1(2n 1)1 11+3T三6 ,当且仅当21时取等号.因为n1, 2n1> 1,所以9X n(2n 1)<9,当且仅当门=1时取等号.1分整理得：3n 1 3n 23 n 13n 1 3n 2令Cn11 11所以x> ，所以入的最小值为-9-15分21.（本题满分14分）解：（I）将 3anan

18、 1 an an 10 n 2整理得：丄3 n 2an an 1所以丄1 3 n 13n 2即a1,即anan3n 2n 1 ,上式也成立，所以an13n 2U）若 an恒成立,即3n 1恒成立an 13n 2.3分.5分.6分3n 4 3n 13n 1 3n 23n 1 3n 43n3n n 1因为n2,所以上式>0,Cn为单调递增数列，所以C2最小,C228所以的取值范围为28.10分（川）由bn何，得2 2 3n 1、3n 2 .3n 2、3n 1312分所以，Tn b1 b2 L bnQ , |- .3 1 1.3 1 23 2 13 2 2 L 、3n 1. 3n 23J3n

19、1 1 .14 分319.由an 12an2 an，得an 111an21分，一an 1an所以 丄 是首项 丄1，公差d 1的等差数列3分anan21an4分，所以nan（方法一）昇启4n2 2n4n2 2n6分,7分n 2n 4时，由以上不等式得n2aii 1（7 3）（I 1）（I 自1）(-n)9分2 2 2 .12 n 1 n 2n因为 ai2是递增数列,i 110分，311分n所以 nN， an23i 112分.（方法二）an24(n 1)24n(n 1)6分,n 2时,由以上不等式得n2 ,n2d44、44、44 、ai11ai1()()( )i 1i 22334n n 11 -

20、10分，311分2n 1n因为i 1ai2是递增数列，所以n N ,n2an3i 112分.解：(I ) a1 2,a2 6,a3 12.(n )依题意 An(an,0), An1(an1,0)，则在正三角形PnAn 1ynT3 | An 1 An |Xn，子® an1).an an 12(an ian),2an 1an2an 12(anan 1) (n 2,nN*),同理可得 an 12an 1an an2(an 1 an) (n N*)-并变形得(an 1 an 1)(an 1 an 1 2an 2)0 (n 2, n N*)Q an 1an 1 ,an 1 an 1 2an 2

21、0,(an 1an ) (an an 1)2 (n 2,nN*)数列an 1an是以a2印4为首项，公差为2的等差数列.ana1(a2aj (ag a?) (a4 a?) L (a. a. J ,2(123 Ln)2nn .an 1 an2(n1),( n N*)，ann(n 1) (nN*).（川）解法1 ：Tbn111L1(n N*),an 1an 2an 3a2n1111- bm-L(nN*).an 2an3an4a2n2111bn 1bna2n 1a2n 2an 1111(2n1)(2n2)(2n2)(2n3)(n1)(n 2)22(2n 2n 1)(2n1)(2 n 2)(2 n 3

22、)(n 2)当n N*时，上式恒为负值,当 n N* 时，bn 1bn ,二数列b.是递减数列.1bn的最大值为J 一a2若对任意正整数当m 1,1时,不等式t21在m6设 f (m) t2 2mtt2 2mt -61,1时恒成立，即不等式t2 2mt，则0且f(1) 0 ,t2t22t2t解之,即t的取值范围是（2)(2,).11分bn恒成立，则不等式1,1时恒成立14分1解法2：V bnan 1(n N*)，an 2an 3a2nbn(n11Xn2)(n2)( n 3)(n 3)(n 4)12n(2n1)1 _2n 2n 11 n 1 n 2n212n 1设 f (x)f (x)3n 1x

23、2x2 3x 12x213x 1)2 '(2x2当x 1时,f(x)在 1,(x1)，f (x) 0 ,是增函数.二数列b1是递减数列.1bn的最大值为b1- .6（以下解答过程与解法1相同）11分解析:(I)由条件得2bn an aan 1bnbn 1当 n 1时，S 2 2a1，解得 a12.由此可得a26, b29, a312, b316,a420, b425 .用数学归纳法证明: 当n=1 假设当ak k(kak 1 20 ak2(k 1)2 k(k 1)(k 1)(k 2)' f(k 2)2 .所以当n=k+1时,结论也成立.由，可知ann(n 1), bn(n1)2

24、对一切正整数都成立.ai512n2时,由(I)anbn(n1)(2n1)2(n 1)n .故丄a1 b,an1bnn(n 1)猜测 ann(n 1), bn (n 1)2.时，由上可得结论成立. n=k时，结论成立，即1), bk (k 1)2 ,那么当n=k+1时,512分12综上，原不等式成立.4.(本小题满分14分)(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想)解:(1)： an是Sn和2的等差中项,当n N , n 2时,Sn 122an 1nN *, n 2 一得 Sn Sn 1 2an 2an 1n N*, n 2 ,a

25、n2an2an i ,an2a n 1 ,n N ,n 2 .an 1数列an是首项为2，公比为2的等比数列，n*an 2 nN. 5 分(2)由ai和aj的所有可能乘积a aj2i j 1 ij n可构成下表:21 1，21 n 1242n，1 32 ，.q1n 1q1 n22 2，2 于是 2Tn T 1 2 2 L 222 L 22 ，2 n 1，2 ，22n3 32 ，_3 n 1， 2 ，q3 n2门n构造如下n行n列的数表：21 1，21 2，1 32 ，91n 1?厶?q1 n221，22 2，22 3，2 n 1， 2 ，2 2 n231，23 2，23 3，.2 n 1? 2

26、 ?q3 n2n,2n n设上表第一行的和为T ,则n4 1 2 T4 2n 1 .1 22n2n 122 4n 1Tn(3) Tn2n 143432n12n2n2n22n110分2n2n1 112n 112分22.2n2n【2013年】两式相减得整理得n故数列ann12n 1 12nTn123 1123 112n 112n 1 1I ）依题意,2S12 时,2Sn2Sn2an nan 11 an nan 1a2nan132n1 anan13-3n233na11,所以a24 ;2n是首项为a11,公差为1的等差数列,1n ,所以an1时，-a1当n3时,111 11此时2Jannn 1 n n

27、 1n11 ,1111,11 1 11 1 ,L12 2 L21 -La1a2an434n4233 411 1171 74 2n4n 4综上,对一切正整数若11.n ,有L17aa2an4【2012年】丄 1n 1 n(1) 2Sn an 12n 1 1,2Sn 1an 2 2n 2 1 相减得：an 2 3an 1 2n 12Sa? 3 a? 2a3, a33a26a113a1 , a25,as成等差数列a1as2(a25)a11(2)a11,a25得an3an2n均成立an 1n3an 2an 12n13(an2n)得：an 2n3(an 1n 12 /2 ) 3 (an 22n 2)n

28、1 /3 (a2)an(3)1时,a12时,（i）22nan2nanan12212n12n由上式得:对一切正整数a1a2an20.（本小题满分14分）解：(I) QSa / (a1 a-11),二 a1a,当n2 时，anSnSn 1aa* N an 1a 1a 1五 a，即an是等比数列.an a a an 1"）由（I）知，b则有b22 bd,而b1故(3a-a2)23 3a2丿 3 2 a再将a所以a（山）证2角（"3,b2(3a .山 2a，若bn为等比数列, a (a 1)3a2 2a 22 ,a2a 2，解得11代入得bn 3n成立,31 3 .明:由（n）知a

29、n1(3)所以Cn13n3n 11(1)n 13n 131 (3)1112由亠3n 13n3n 1 1 13n1 11 、3)1所以Cn2 (-13n + 11尹亠3n 11)从而TnCn 2得J3n 13n 1 12 (丄13n 3(3 新22n2n(31(3右)1尹,即Tn2n-)2n12分14分解：（I ）因为anSn所以n 1时,2a1则a1当n > 2时,an 1Sn所以2an an 1所以 bn *bn1(n > 2),1,12(n即 2(an而b a112，1)2n)3-(n 1) 1 ,2an 1 n 1 ,12，所以数列bn是首项为2，公比为£的等比数列

30、，所以S中.（n）由（I ）得 nbn 2 .(1 分).（3 分）.（2 分）.（4 分）所以Tn 12 2Tn 12F22-得:Tn3尹3尹1 1244尹1n 1尹n 1尹1尹n尹n刃n歹.(6 分).(7 分)n1丄Tn2(rn) 由 ( I)知 an(8 分)| 1 1n (n 1)n(n 1) 11n(n 1)所以 P (1 11)(111 2 2(2)nn 2( n 1)2 (n 1)Cnn(9 分)11n(n 1)11J (1 o33n2(n1n1)42 2I n1)21 L (112013(11 分)1 1)201420142014(14 分)故不超过P的最大整数为2013.2

31、1.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能 力)解：(1)证明；假设存在一个实数2an是等比数列，则有a 2 aias，2 24即(；3) H4)3 9所以an不是等比数列。9- 2 490,矛盾。9(2)解：因为(1)n1bn 1an 1 3(n 1)2n 14)3(1)n(a3n 21)又b|18)，所以18 时，bn 0(nN )些时bn不是等比数列;18 时，0(18)0由上可知bn 0,十 t(n N*)。故当218时，数列bn是以(18)为首项，2为公比的