解数学题不可不知道的十四个优先策略

1、解数学题不可不知道的十四个优先策略1、好心态优先的策略。沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上車视问题，胆 大心细，有大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出。【例1】、用长度分别为2、3、4、5、6 （单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允 许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大血积为多少？a、8/5 cm b、65/io cm' c> 3/55 cm2 d、20 cm?19【练习】函数f （x）二工i x-i i的最小值为（）/=1a、 190 b、 171 c、 90d、 452、审题优先的策略。审已知，审隐含条件，帀解题目标，市命题意图。要牢记帀题口 诀“

2、逐字逐句逐标点，边读边画边联想”，要特别寻找题h中的关键词，还有那些括号里面 的注记式的内容常常是被解题者忽略的，却肯定是命题者和阅卷者看車的。2 2【例2】、双曲线与=1 （ g > 1, b >0）的焦距为2 c ,就/经过点（g, 0）和（0,b）, a b4j1点（1, 0）到直线/的距离和点（-1, 0）到直线/的距离之和5>-c,求双曲线的离心5率幺的取值范围7t【练习】、求y=3sin （-2x+） +1的单调递减区间。33、设计优先的策略。市题完毕，也莫着急，易见z途，常是弯的。尤其是解析几何小 的问题，表面上看思路并不难，但如果贸然动笔，则很可能运算繁难，正

3、所谓“望山跑煞马” 也。解题不设计,越解越生气。方案若繁难，就得换主意。事实上,解题中必须先设计方案, 再动手解决（执行方案）。只有在设计出最优方案以后再动手，才不至于浪费时间x【例3己知双曲线二(a>0,b >0)的离心率e = y/2 ,-条准线方程为x =,直线/与双曲线右支及双曲线的渐近线2交于a、b、c、d四点（如图）,证明:labi=icdior* v*【练习】、求证：椭i员1 + - = 1与宜线kx-y + -k两个交点。944、定性优先的策略。何谓定性？就是在大方向上对问题的类型和性质进行识别与判断, 首先是用定义去进行比照。例如，这个问题是排列问题还是组合问题？

4、要看它是有序的还是 无序的；这个问题是应该川加法原理去做还是应该用乘法原理去做？要看它是分类完成还是 分步完成；如果是概率统计方回的问题，则它是四大概型（等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、和互独立事件同时发生的概率、独立重复试验中某事件发生k次的概率一 一贝努利概型）屮的哪一类型？离散型随机变量是服从四大分布（一点分布、两点分布、二 项分布、几何分布）中的哪一种分布？给你一个立体图形或者圆锥曲线图形，它是已经固定 了还是可以变化？若是可以变化，主变量是什么？【例4】、从一点0引岀四条射线，它们两两所成的角相等，记为&,贝ijcos&二。【练习】、已知ab = （,2）

5、9bc = （0,-1）,则屈与岚的夹角等于5、定位优先的策略。立体儿何屮求二面也的人小，则它的平面介在哪里？在图屮找出 来就可以了还是需要作出来？使川三垂线定理解题，基木平面在哪电？它的“两足”（垂足 与斜足）在哪电？涉及恻锥曲线问题，它的焦点在什么位置？在x轴上还是y轴上？屮心在 哪里？根据图象求正眩函数或者余眩函数的解析式，需要求它的初相，那么它的第一零点在 哪里?【例5】、求经过两点£（丄丄），£（0,-丄）的椭圆的标准方程。3 32【练习】、如图，ab是oo的直径，点c在圆周上。p是（do所在平血外的一点，且 pa 垂直jm0o, zabc=-, bc=1, pa

6、=2o3假设有一只蚂蚁从a点出发沿多面体pabc的表面并经过棱pc 到达点b,则蚂蚁经过pc上什么位置时路程最短？6、定义域优先的策略。在解函数题时，这一条极其至要。如判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称；对变量进行换元，要记住“换元必换域”的口诀，比如令sinx+cosx=t,必须随即写上新变量i的取值范围；复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域,o【例6】、求函数y=lg（x2+2x）的单调区间7、定义法优先的策略。定义是知识的生长点，用定义法解题是冋归本源的高明方法。波利业解题法中就有“冋到定义去”的重要提醒句。【例7】、已知椭圆9x2+25y2=225内有一点a （i, 1

7、）,右焦点f,请在椭圆上找一点p,使i pa | +- | pf | 最小。3【练习】、已知函数y = 2兀一a的反函数是y = b兀+ 3,则。=;b =8、前提优先的策略。用均值不等式求最值的丽提是“一正二定三相等”，否则用单调性 解决；涉及等比数列问题，它的公比的取值情形如何？凡是欲使川韦达定理或判别式解题, 要先问方程的二次项系数是否为零？f + 4i例）,=齐的最小條【练习】、求y =一+曲弋（&丘（0,刃）的最小值。 sin 029、范围优先的策略。在三角函数这个内容里面，有一句ii诀叫做“求角先求函数值， 总要优先定范围”。【例 9】、已 0 3sin2x+2sin2y-

8、2sinx=o,求 cos2x+cos2y 的取值范围。【练习】：直线/过定点p （1, -2）,月.与线段ab相交，其中a（2, 1）, b （4, 33-2）, 则直线i斜率的取值范围是10、特情优先的策略。命题者出于考杏严谨性的考虑，一般都有意识地在题目中设置一 些特殊情况作为问题的一个小分支，这个小分支本身并不难，但要求解题者不要漏掉。比如: 分母为零吗？二次项系数为零吗？等比数列的公比为1吗？直线方程的斜率存在吗？斜率 为零吗？直线方程屮截距为零吗？集合问题屮考虑集合为空集的情形了吗？所给的集合是 点集还是数集？端点值能够取到吗?求数列通项公式时，笫一项是否不符合通项公式而需要 单列

9、呢？解题时要做到“先为不可胜而待敌z可胜”，就要养成特情优先的良好习惯。【例10】、某国际旅行社共有11名翻译人员，其中5人只会英语，4人只会日语，另有2 人既会英语乂会口语。现在从这11名翻译人员屮选4人担任英语翻译，4人担任口语翻译, 共有多少种不同的选派方法？【练习】、已知直线/过点p（2, 3）且在兀轴和y轴上的截距相等，求直线/的方程。11、整体法优先的策略。此法堪称第五大数学思想，它是全局思想在解题中的体现。换 元法解方程，等积法求三如形的高或求点面距离，川射影面积法求二面角的大小，解析儿何 中的“点差法”解决中点弦问题，解复杂方程组吋的整体消元，平均值法解决有关排列组合 数问题，

10、等等，都是运用这一思想的体现。切外，三角题中有一类求值问题，用解二次方程 组的方法则繁难之至，而用“凑角法”则很简单。35【例11】、己知：x. y均为锐角，冃cos （x+y） = , cosx=,求siny=?132 2【练习】、过点p （5, 1）的直线/与双曲线- = 1交于两点a、b, 口点p是线 94段ab的屮点。求直线/的方程。12、间接法优先的策略，间接法体现了思维的灵活性，所谓“间接法”有两层意思，一 是从反面考虑问题，二是从侧血考虑问题。凡有关“至多、至少”问题，使用从反血考虑问 题的间接法，一般都比鮫简便，这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显，在解有关排列 组合问题上也

11、是如此，原因是可以避免繁杂的分类讨论；此外，解小题（填空题或者选择 题），优先使用从侧而考虑问题的间接法，是赢得吋间的重要策略，这里就不赘述了。【例12】、ax'+2x+l二0至少有一个负的实根的充要条件是（）a、0<awl。a < 1 o c、awl。d、或 a<0。【练习】设函数/（尢）=（尤+ 1）（5）为奇函数，则二13、结构优先的策略。解数学题是要有结构眼光，因为结构决定功能。无论是对式子的结构还是图形的结构，都要保持足够的敏感度。例如看到形如用+b?的式子或者形如丨x-x2 r + /?i的式子，你是否想到它有表示“距离”的儿何意义？看到形如分式之类的式子

12、，你x + a是否想到它可以理解为斜率公式或者是定比分点公式？再如，看到x + -这类式子，你是否 x意识到它对能用上均值不等式。解析几何中，有些线段本身就是焦点弦或者是焦半径；立休 几何中，有些图形是经典的三垂线结构或者三余弦结构，有些图形本身就是从止方体中切下 来的一部分；等等。意识到这一点，往往就容易找到破题的口子。x-y+2<0【例13】、已知变sx. y满足约束条件h>l，则上的取值范围是（）一xx+y-7 <0(a)-,65(b)9oo9 u6,+oo)(c) (-oo,3u6,+oo)(d) 3,614、易处优先的策略。解决任何问题，都不免会碰到困难，人们的一个

13、策略就是先易后 难，逐步解决。体现在对待数学问题的态度上，当然也是如此。数学解答题，常常是一设多 问，难度逐渐加大，解答时候就应该遵循这个顺序，这本身就是一个“热身”的过程；另外, 有些问题看起來比较复杂，我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题，以期从中受到启 发进而找到思路，这叫“稚化策略”。至丁解答一份完整的数学试卷，就更应该先易后难了。19【例14】、函数f （x）二工i x-i |的最小值为（）/=1【练习】：如图所示是某城市的网格状道路, 中间焰公园，其内没有公路。某人驾车从城市 的西南角的a处耍到达东北角的a处，故短的 路径有多少条？（加拿大数学竞赛题）jt、兀练习题参考提示与答案：1、c； 2、丝+炽，兰+炽 jez； 3、直线过椭圆内12122一个定点（