IIR数字滤波器设计学习课程

1、5.1 5.1 数字滤波类型与指标 5.2 5.2 模拟滤波器设计5.3 5.3 设计IIRIIR滤波器的脉冲响应不变法5.4 5.4 设计IIRIIR滤波器的双线性变换法5.5 5.5 设计IIRIIR数字滤波器频率变换法5.6 5.6 数字陷波器设计5.7 5.7 IIRIIR数字滤波器的计算机辅助设计 第第5章章 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 第1页/共133页第一页，编辑于星期六：一点 四十七分。 滤波的目的 为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例 广义滤波包括对信号的检测与参量的估计 信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在 信号参量的估计:为识

2、别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值 5.1 数字滤波类型与指标数字滤波类型与指标 第2页/共133页第二页，编辑于星期六：一点 四十七分。 滤波技术包括: 滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数， 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的第3页/共133页第三页，编辑于星期六：一点 四十七分。1.1.数字滤波器的频率特性 数字滤波器 具有某种特定频率特性的线性时不变系统 广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器 设计数字滤波器的任务 寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性0)()()(nn

3、jezjenhzHeHj第4页/共133页第四页，编辑于星期六：一点 四十七分。0)()()(nnjezjenhzHeHj对因果稳定的线性时不变系统：)(jeH:滤波器的传输函数H(z):系统函数h(n) :滤波器的单位脉冲响应)()()(jjeHeH)(Im)(Re)(22jjeHeHH)(Re)(Im)(jjeHeHarctg)(H：幅度响应)(：相位响应第5页/共133页第五页，编辑于星期六：一点 四十七分。22Tfss2/sDF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通特点为l数字频率以 周期2l频率特性只限于 范围，依取样定理， 对应于实际模拟抽样频率的一半 )(sfT频率变量

4、以数字频率 表示 其中 模拟角频率，T抽样时间间隔，fs 抽样频率第6页/共133页第六页，编辑于星期六：一点 四十七分。理想滤波器的频率响应 第7页/共133页第七页，编辑于星期六：一点 四十七分。)e (Hj0sp1p：通带波纹s：阻带波纹：过渡带：通带截止频率p：阻带截止频率sDF的性能要求（低通为例）11112cst)(jeH第8页/共133页第八页，编辑于星期六：一点 四十七分。 从信号不失真角度讲通常要求 相位线性)(为时延常数具有群恒时延特性 常数)()(dd)(相位响应第9页/共133页第九页，编辑于星期六：一点 四十七分。2 2IIRIIR和FIRFIR数字滤波器 IIR滤波

5、器的系统函数通常可表示成的有理分式 FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式 设计过程一般包括以下三个基本问题： 根据实际要求确定滤波器性能指标； 用一个因果稳定的系统函数去逼近这个指标； 用一个有限精度的运算去实现这个传输函数 问题1、3与实际的要求及实现的硬件条件有关 本章主要讨论问题2，即系统函数的设计(或逼近)问题。 第10页/共133页第十页，编辑于星期六：一点 四十七分。3 3设计IIRIIR滤波器的几种方法 IIR数字滤波器的系统函数可表示为的有理分式 11101)(zazbzHkNkkNk 设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定H(z)的阶数N（通常称N为滤波器的阶数）以及分子

6、分母多项式的系数jezjkkzHeHba)()(，使其、 满足指定的频率特性第11页/共133页第十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。(1)(1)利用模拟滤波器的理论来设计 模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题 采用这种方法时，要先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器 这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等第12页/共133页第十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。当把模拟滤波器的H(s) )转换成数字滤波器的H(z) ) 时，要实现S

7、S平面向Z Z平面的映射，必须满足两个条件 必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频率特性基本一致 要求变换后代表S平面的虚轴j应映射到Z片面的单位圆 且数字滤波器的频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应基本保持不变； 因果稳定的模拟滤波器系统函数H(s)转换成数字滤波器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的 要求S平面左半平面的极点必须映射到Z平面的单位圆内 两种常用的方法 脉冲响应不变法：从时域的角度出发进行映射 双线性不变法：从频域角度出发进行映射第13页/共133页第十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。(2)(2)利用最优化技术进行CADCAD设计 若需设计滤波器的幅频特性是任意的

8、或者形状比较复杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计 设计思想)(jdeH 希望滤波器的幅频响应： )(jeH 设计滤波器的幅频响应： 选择一种最优化的准则，例如采用最小均方误差准则 )()(jjdeHeH、设在指定的一组离散的频率点 Mii,2, 1,的均方误差 第14页/共133页第十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。212)()(jjdMieHeH求解H(z)的系数，、kkba使均方误差最小 当滤波器阶数 N 较高时，转换为一个多变量最优化问题，需要大量的迭代运算，因此必须采用CAD的方法。 第15页/共133页第十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。5.2 模拟滤波器设计

9、模拟滤波器设计 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的 简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法 ： 巴特沃思(Butterworth)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器第16页/共133页第十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。521模拟滤波器设计的基本概念模拟滤波器设计的基本概念 1 . 模拟滤波器的频率特性与衰减特性 滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数 jssHjH| )()( 工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义dBjHjHA| )(|lg20| )(|lg

10、10)(2 当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时滤波器的频率特性为H jH jej()|()|()(，第17页/共133页第十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。2. 归一化与频率变换 采用归一化参数 设计结果具有普遍性 计算方便 归一化包含： 电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)。 频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率） 计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化 频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法第18页/共133页第十八页，编辑于星期六：一点 四十七分

11、。3 . 从模方函数 求模拟滤波器的系统函数H(s) 当不含有源器件，作为一个因果稳定、物理可实现的系统函数必须满足的条件 |()|H j2a、是一个具有实系数的s有理函数 )(/ )()(sDsNsHb、所有极点必须全部分布在s的左半平面内 c、分子多项式式N(s)的阶次必须小于或等于分母多项式D(s)的阶次 正实函数 第19页/共133页第十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。实函数的傅立叶变换存在共轭对称的性质 HjHj*()()()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()H jH jHjH jHj2有 得平面的虚轴，解析延拓代表sj第20页/共133页第

12、二十页，编辑于星期六：一点 四十七分。从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法 a、解析延拓,令s= 代入模方函数得到 ,并求其零极点 jH s Hs( )()b、取 所有在左半平面的极点作为 的极点 )(sHH s Hs( )()c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取一半的零点构成 的零点 )(sHH s Hs( )()第21页/共133页第二十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。4 模拟滤波器的设计-逼近问题 pAsA：通带衰减：阻带衰减,：与通带衰减、阻带衰减有关的系数 ：通带截止频率：阻带截止频率ps第22页/共133页第二十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。 寻找一个恰当

13、的近似函数来逼近理想特性谓逼近问题 最常用的具有优良性能的滤波器： 巴特沃思(Butterworth)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器 实现线性相位的贝塞尔滤波器)1log(20)11log(102ppAssAlog20)11log(102之间的关系、与sPAA,第23页/共133页第二十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。522巴特沃思巴特沃思Butterworth低通滤波器低通滤波器 1基本性质 BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数BW的低通模平方函数表示 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定

14、 、 后，带 到上式，得pApp21 . 0222)1 (1011)/(11| )(|pANcpppjH10101 . Ap13时，当dBAp第24页/共133页第二十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。指定 、 后，带 到上式，得sAss21 . 02221011)/(11| )(|sANcsssjH1010 1 . As用3dB截止频率 来规一化：对频率进行 ，下式变为 c /c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211第25页/共133页第二十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。讨论：|()|()H jN2211当 =0 时， =1 ,取最大值|()

15、|H j2当 时， =0.5,取3dB值)( 1c|()|H j21)(/, 1/22接近时，很小，通带jHNNcc0)(/, 1/22接近时，很大，通带jHNNcc第26页/共133页第二十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。阻带内，由于|() |()HjjjcN221 或 AH jNjjsc 10202lg|()|lg()幅度随着 N的增加阻带衰减近似为6N db/倍频程。 N越大，频带特性越接近理想矩形特性 第27页/共133页第二十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。|()|()H jN2211上式的台劳级数展开为 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1, 0| )(|02N

16、kjHddk =0处函数对2Nl阶导数都等于零曲线在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器”第28页/共133页第二十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。 归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性 第29页/共133页第二十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。2设计过程 (a)按给定指标确定阶次N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN实际计算时，要对上式求得的数值取整加1。若给定的指标 =3dB, 即通带边频

17、时, =1,可求得cppA第30页/共133页第三十页，编辑于星期六：一点 四十七分。(b)从模方函数求系统函数H(s) 求得极点 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc带入上式，得： js0)(12Ncjs)12() 1(kje由于NkesNNkjck2 , 2 , 12/)12(第31页/共133页第三十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。分析讨论c在归一化频率的情况 =1，极点均匀分布在单位圆上 NkesNNkjk2 , 2 , 12/)12(对于物理可实现系统,它的所有极点均应在 s的左半平面上 第32页/共133页第三十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。系统函数的构成

18、 滤波器的极点求出后，可取左平面上的所有极点构成系统函数 )(1)(1iNissAsH对于低通滤波器，为了保证在频率零点 =0处， =1，可取| )(|jHNiiNsA1) 1()() 1()(1iiNiNssssH因此得 第33页/共133页第三十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。例5-2-1举例说明系统函数的构成 设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标: 通带边频 =100k rad/s, 通带的最大衰减为 =3dB，阻带边频为 =400k rad/s,阻带的最小衰减为 =35 dBpApsAs解:由于通带边频就是3dB 截止频率，即 cp11101 . 0pA2 .561101 . 0

19、sA确定阶次N，9 . 24lg2 .56lg)/lg()/lg(csN3N取第34页/共133页第三十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。求左半平面的极点: sekkcjkNN() /, ,21212 3,3/21jces,2jcessecj323/得极点：构成巴特沃思滤波器传输函数H(s)为 H ss s sssssssssscccc( )()()()1 231233322322相对截止频率 归一化，得归一化巴特沃思滤波器传输函数 cHsa( )Hssssa( ) 122132第35页/共133页第三十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。一般N阶归一化巴特沃思滤波器传输函数 表示 Hsss

20、a sa sassaiNiNNN( )()111112211是 =1时的极点，分布在单位圆上 sic分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查表求得,见表5-2-1 第36页/共133页第三十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。表5-2-1 巴特沃思多项式系数 Na1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.1

21、3721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925第37页/共133页第三十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。表5-2-2 巴特沃思多项式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 项 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s

22、2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)第38页/共133页第三十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。 上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标 利用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的节数N

23、和3dB 截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式， 用来反归一化，求实际滤波器的参数。ssPpAA,ccc第39页/共133页第三十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。523 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器 第40页/共133页第四十页，编辑于星期六：一点 四十七分。53 设计设计IIR滤波器的脉冲响应不变法滤波器的脉冲响应不变法 1 1设计的基本原理和方法 原理：从时域响应出发，使求得的数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应h(t)的抽样值。 nTtthnh)()(如果： )(,)(1）（则由：已知sHLthsH则可有下式求的H（z）： )()()(nThZnhZzH第41

24、页/共133页第四十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。 方法：将H(s)表示为部分分式形式 kkNkssAsH1)( 其拉氏反变换为 得到数字滤波器的单位脉冲响应 对上式两边取Z变换得 )()(1tueAthtskNkkNknTskNknTsknueAnTueAnhkk11)()()()(111)(zeAzHTskNkk（5-2-3） 第42页/共133页第四十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。 如果模拟滤波器的系统函数是稳定的，其极点应位于左半平面 111)(zeAzHTskNkk（5-2-3） 0kesR 对Z平面的极点有 1Tskkez 位于单位园内。因此H(z)是一个稳定的离散系统

25、函数，这说明由一个稳定的模拟滤波器得到了一个稳定的数字滤波器 第43页/共133页第四十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。2 2脉冲响应不变法设计的滤波器的频率响应 根据抽样定理，序列h(n)的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓 原模拟滤波器的频率响应为 ，)( jH由于h(n)是h(t)的等间隔抽样 H eTH jTjTmjn()()12第44页/共133页第四十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率之内，即 这样数字滤波器的频率响应才能等于模拟滤波器的频率响应 然而，高通和带阻滤波器不能满足(-2-)式的要求，将会产生混叠脉冲响应不变法不适合用来设计高通

26、和带阻数字滤波器。 H jTs()02H eTH jTj()()1第45页/共133页第四十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。3 3几点修正 1 1）、消去T T的影响 H eTH jTj()()1由上式可见，数字频率响应与模拟频率响应的第一差别是具有一个乘法因子(1/(1/T)=T)= f fS S，当采样频率f fS S很高时，将会使滤波器的增益很大，这往往是不希望的，为此可对下式作修正：nTtthnh)()(h nTh ttnT( )( )令第46页/共133页第四十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。2 2）、直接用数字频率表示的求H( (z) )的公式在实际滤波器设计中，因模拟滤波

27、器系统函数的表格大都是归一化低通原型 ，其滤波器3 3dBdB点截止频率都归一化在c 1Hsa( )原因：可将设计公式及有关参数表格化，使之更通用。我们只要知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。Hsa( )c当滤波器的实际截止频率不等于1 1时，须进行所谓反归一化，以( (s/ )s/ )代替 中的s s，即实际低通滤波器的系统函数H( (s) )应为H sHsac( )(/)第47页/共133页第四十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。H sHsAssAssackNkckkNkckc( )()(/)11H sHsac( )(/)H sAsskNkk( ) 1为模拟归一化原型系统函

28、数的极点 skH zZ Th tTAezkNkcs Tkc( )( )111有由,TccH zAezkNkcskc( ) 111第48页/共133页第四十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。例5-3-15-3-1利用脉冲响应不变法设计一个4 4阶巴特沃斯型数字低通滤波器，满足以下指标(A) 若采样周期T=10s，求实际模拟截止频率fc， (B) 3dB截止频率=0.2弧度。kHzfsradfTcccc102,/1020102.035有由,Tcc解：先计算模拟截止频率，第49页/共133页第四十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。设计数字低通滤波器分三步：4 , 1,) 18478. 1)(17

29、654. 0(1)(8)142(22kessssssHkjka第一步 查巴特沃斯数字低通滤波器原型表，求得系统函数 第50页/共133页第五十页，编辑于星期六：一点 四十七分。第二步 部分分式分解并求AkHsAssAsskakkkkkiik( ),(),144114第51页/共133页第五十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。第三步 将 代入下式，kcksA及、整理并化简求得H(z)的实系数二次形式 H zAezkNkcskc( ) 111H zAezkkcskc( ) 1411101847760884821 1314950618231847760409811 1087040313171121

30、12.zzzzzz第52页/共133页第五十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。54 设计IIR滤波器的双线性变换法1 1设计方法)( jH)(jeH 从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响应 ，逼近模拟滤波器的频域响应 , ,进而求出H H( (z z) )。第53页/共133页第五十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。 脉冲响应不变法的主要缺点： 对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器原因：从S S平面到Z Z平面的映射是多值的映射关系第54页/共133页第五十四页，编辑于星期六：一点

31、四十七分。双线性变换的映射过程 脉冲响应不变法的映射过程 第55页/共133页第五十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。双线性变换法的改进双线性变换法的改进 为避免频域的混叠，分两步完成S S平面到Z Z平面的映射TT，v将S S平面压缩到某一中介的S S1 1平面的一条横带域v通过标准的变换将此横带域映射到整个Z Z平面上去，第56页/共133页第五十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。实现方法： t gT()12再通过Z变换，将1映射到Z平面的单位圆上 通过下面的正切变换，将S平面的j轴压缩到S1平面的j1轴上的 TjTj,Tsez1第57页/共133页第五十七页，编辑于星期六：一点 四十

32、七分。将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面的映射关系 st hs Tees Ts T()121111再将S1平面按关系式 映射到Z平面得到 zes T1szz1111zss11双线性变换 或第58页/共133页第五十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。双线性变换的映射关系满足关于映射关系可行性的两个条件 （1）S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上；（2）位于S左半平面的极点应映射到Z平面的单位圆内。 seej t gjjj112(),jez 令szz1111带入表达式得：说明S平面的虚轴 映射成了Z平面的单位圆第59页/共133页第五十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。sj令 ,带

33、入表达式zss11得：zjj112222)1()1(z显然当 时， 1， 0zS平面的左半平面轴映射到了Z平面的单位圆内，保证系统函数经映射后稳定性不变 第60页/共133页第六十页，编辑于星期六：一点 四十七分。双线性变换的频率对应关系 模拟频率与数字频率是一种非线性的关系 t gT()12模拟滤波器与数字滤波器的响应与对应的频率关系上发生了畸变，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点 双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。 在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密第61页/共133页第六十

34、一页，编辑于星期六：一点 四十七分。2频率预畸变 为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟低通滤波器系统函数之前必须按下式进行所谓频率预畸变 cct g()2然后将预畸变后的频率代入归一化低通原型Ha(s) 确定H sHsac( )(/)最后求得数字系统函数 H zH sszz( )( )111111111)(zzsacsH第62页/共133页第六十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。3.有关双线性变换公式的说明（抽样间隔T的选取有些文献中双线性变换的关系为: 11112zzTsszz1111与右式有一个2/T的系数的差别。现说明T的取值。 第63页/共133页第六十三页，编辑于星期六

35、：一点 四十七分。上式可由用数值计算的方法求解一阶输入-输出模拟系统的过程中推得。设一阶模拟系统函数为 bsasHa)(对应的一阶微分方程为 )()()(taxtbytyaaa)(tya将 表示成 的积分形式 )(tya)()()(00tydtytyattaa11112zzTs第64页/共133页第六十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。采用梯形法近似计算定积分，令步长为T，并设t=nT，t0=（n-1）T，用T代替d，以上积分式可近似为： ) 1() 1()(21)(TnyTTnynTynTyaaaa带入一阶微分方程) 1() 1()()(2) 1()(TnaxTnbynTaxnTbyTTn

36、ynTyaaaaaa第65页/共133页第六十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。令 、)()(nTxnxa)()(nTynya)1()()1()(2)1()(nxnxanynybTnyny一阶差分方程化为： bzzTazXzYzH11112)()()(对上式两边进行Z变换，得到： 第66页/共133页第六十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。得到了双线性变换的关系 11112zzTs其中T为用梯形法近似计算定积分的步长，或将模拟信号离散为抽样信号时的抽样间隔 由以上的推导过程可见，T的取值可以任选，只要满足 Ts即只要保证将模拟频率带限在之间，不会产生因多值映射产生频率混迭现象。 第67页/

37、共133页第六十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。另一方面，当变换关系采用下式时 11112zzTs将有关系式sTsTz)2/(1)2/(1)2(2tgT和第68页/共133页第六十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。11)2/tan(1112)2/tan(12zzzzTTspccc当由归一化的模拟变量p变到数字变量Z的过程中，系数2/T已被消去。这再一次说明T取值的大小是不重要的。 考虑到利用双线性变换法设计数字滤波器的过程 cspapHsH| )()(11112)()(zzTssHzH第69页/共133页第六十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通

38、滤波器 设计参数：通带数字截止率 ，通带内最大衰减 阻带数字截止率 ，阻带内最小衰减 dBAp5 . 0dBAs1525. 0p55. 0s解 第一步 进行频率预畸变求 sp 、0.4142136tg0.125)2(pptg1.1708496tg0.275)2(sstg第70页/共133页第七十页，编辑于星期六：一点 四十七分。第二步 计算巴特沃斯型数字低通滤波器的阶数 2.6586997)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN取N=3 第三步 通过查表求得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数 )1)(1(1)(2ssssHa第71页

39、/共133页第七十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。第四步 求3dB截止频率 ，并反归一化求得 cH sHsac( )(/)pANcppjH1 . 02210)/(11| )(|解得： ，反归一化求 得0.588148c)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)/()(2ssssHsHca第五步 求得H(z)代入双线性变换公式，化简后求得 1111)()(zzssHzH)3917468.06762858.01)(259328.01()1(0662272.0)(21131zzzzzH第72页/共133页第七十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。11111)()(

40、zzsacsHzH也可按下式将第三步与第四步可合并在一起进行，求出H(z) 设计滤波器的幅度响应与相位响应 第73页/共133页第七十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。进行频率变换有以下两种基本方法 ：55 设计设计IIR数字滤波器频率变换法数字滤波器频率变换法第74页/共133页第七十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。 第一种方法的简化的形式： 找出归一化模拟低通原型与数字高通，带通和带阻滤波器之间的从S域到Z域的变换关系 直接由归一化模型低通原型变换成所需的数字滤波器第75页/共133页第七十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。551从从S域到域到Z域的频率变换法域的频率变换法 1归一

41、化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换 设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为 )(pHaLp为模拟域内的拉氏变量 ，模拟域内从低通到高通的变换为以p-1代替p： HpHpaHaL( )(/)1第76页/共133页第七十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。反归一化，即以 带入上式 csp求得反归一化后的高通滤波器的传输函数H(s) H sHsHsaHcaLc( )()()双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z) 11111111)()()(zzpaLzzscpHsHzHHpHpaHaL( )(/)1第77页/共133页第七十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。变换关系 1111zzpc

42、 模拟滤波器与数字滤波器的频率以及3dB截频 与 之间的关系： cc2cctg直接由归一化低通原型变换成数字高通滤波器的由： 可得22ccctgcjp/第78页/共133页第七十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。例 设计一个三阶巴特沃斯型高通数字滤波器，3dB数字截频为0.2弧度，求滤波器的系统函数。 解 三阶巴特沃斯型归一化模拟低通原型的系统函数为 HppppaL( ) 122132频率预畸变 /s)0.3249(rad)tg(0.12cctg得到数字高通滤波器的系统函数为 1111113249. 023111221)()(zzpzzpaLppppHzHc3213157016. 02419

43、76. 23358. 3859208. 1)1 (zzzz第79页/共133页第七十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。解 1、频率预畸变求模拟低通的截频 和阻带下边频 cscs例5-5-2 设计一巴特沃斯型高通数字滤波器，3dB的 0.2弧度阻带下边频 0.05弧度，阻带衰减 AS48dB，求滤波器的系统函数/s)0.3249(rad)tg(0.12cctgad/s)1.341267(r 22scsctg2、计算低通滤波器的阶数N , 3.8976)/lg()110lg(211.0csAsN取N4第80页/共133页第八十页，编辑于星期六：一点 四十七分。4 、 利用直接变换关系求数字滤波器

44、的系统函数H(z) 1111)()(zzpaLcpHzH4321414324. 04366. 2346. 54743. 53103. 2)1 (zzzzz3、查表5-2-2，得N=4时巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数为 HpppppaL( )(.)(.)107654118478122第81页/共133页第八十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。设计的高通滤波器的幅度响应与相位响应第82页/共133页第八十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。2归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换 直接寻求模拟低通到数字带通之间的映射关系 l0uslsus ： 中心频率 ：下边频和上边频 ：下阻带上边频

45、：上阻带下边频 ：模拟的阻带下边频 第83页/共133页第八十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。 0000zesj(零点) 01,zsj(极点) 数字带通到模拟低通的映射应满足的映射关系 第84页/共133页第八十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。满足以上关系的变换式为: sszezezzzzzjj( )()()()()cos0011211202稳定变换：S平面稳定的函数变换到Z平面也是稳定的 例如设0z=r1,则有 01)cos1 (2)1 (11cos2202202rrrrrrs表明：Z平面单位圆内的极点变到了S平面的左半平面 第85页/共133页第八十五页，编辑于星期六：一点 四十七

46、分。jez 其次令 代入上式，可得频率变换关系 jjeeesjjjsincoscos11cos20202表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴 第86页/共133页第八十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。 模拟低通与数字带通的频率变换 sususbsincoscos01c当 时，反归一化处理csp/) 1(1cos2202zzzspcc)2cos()2cos(cos0luuluucsincoscos0第87页/共133页第八十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。例5-5-3 设计一个三阶巴氏数字带通滤波器对模拟信号滤波,上下边带的3dB截止频率为 =12.5kHz, =37.5kHz,阻带边

47、频 = 45.125 kHz,采样频率为 =100kHz。并求阻带的最小衰减。 f21f2sfsf解: 1）先确定上下边带的3dB数字截止频率，及上阻带下边频 radffs75. 010/105 .372/25311radffs25. 010/105 .122/25322radffssu925. 010/10125.452/25322）确定数字中心频率: 0)2cos()2cos(cos212105 . 00得：第88页/共133页第八十八页，编辑于星期六：一点 四十七分。3）求模拟低通截止频率和阻带下边频 c1011050750751coscossincos .cos .sin .1653.

48、 4)925. 0sin()925. 0cos()5 . 0cos(sincoscos0uus4）求 , 当 =1时,三阶巴氏低通滤波器的传输函数为: Hsa( )cHssssa( ) 1221325）求H(z),将 代入上式得 szzzzz2022221111cosH zHszzzzaszz( )( )22112464121333第89页/共133页第八十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。fs26）求相对 =45.125kHz处的阻带的最小衰减。由下式 sANcssjH1 . 02210)/(11| )(|得：)/(11log10210NcssA代入 和 及N=3，求得 csdBAs18.

49、37第90页/共133页第九十页，编辑于星期六：一点 四十七分。例5-5-3设计的带通滤波器的幅度响应与相位响应第91页/共133页第九十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。直接由归一化模拟低通原型求数字滤波器的频率变换公式表 表5-5-1 第92页/共133页第九十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。552 数字域频率变换法数字域频率变换法 在已知数字低通滤波器时，通过在Z域内的数字频域变换得到所需类型的数字滤波器 假定变换前的平面为z平面，变换后的为Z平面，这种变换就是要将z平面的系统函数 映射成Z平面的系统函数 。假设从z到Z的映射关系为 )(zHL)(ZHd)(11ZGz)(11| )

50、()(ZGzLdzHZH则有：第93页/共133页第九十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。变换函数 必须满足以下三个条件： )(1ZG（1）为满足一定的频率响应要求，z域的频率必须变换成Z域的频率，也就是说平面的单位圆必须映射到Z平面的单位圆上； （2）为保证由因果稳定的系统变换得到的系统也是因果稳定的，要求平面的单位圆内部必须映射到Z平面的单位圆内部； （3）由于 是z-1的有理函数，为了保证变换后的 也是Z-1的有理函数，要求变换函数 必须是Z-1的有理函数。 )(zHL)(ZHd)(1ZG第94页/共133页第九十四页，编辑于星期六：一点 四十七分。设 和 分别为z 平面和Z 平面的数

51、字频率变量，即 jez jeZ 得带入)(11ZGz)(arg| )(|)(jeGjjjeeGeGe有：1| )(|jeG)(argjeG表明函数 在单位圆上的幅度必须恒等于1全通函数，任何全通函数都可以表示为NiiiZZZG11*111)()(1ZG第95页/共133页第九十五页，编辑于星期六：一点 四十七分。全通函数的特点保证极点在单位圆内，即 ，以保证变换后稳定性不变 1|iNiiiZZZG11*111)()(1ZG的所有零点都是其极点的共轭倒数 ，)/1 (*i当 由0变到 时，全通函数相角 的变化量为 。选择合适的N和 ，则可得到各类变换 )(argjeGNia第96页/共133页第

52、九十六页，编辑于星期六：一点 四十七分。1数字低通 数字低通 )(zHL)(ZHd 和 都是低通系统函数，只是截止频率不同)(zHL)(ZHd 从0变到 时， 也应从0变到 ，由全通函数相角变化为 ，可确定此处阶数应为 ，故变换函数为一阶全通函数 N1N11111)(ZZZGzjjeZez,带入，注意为实数。得频率间关系为 ：jjjeee1第97页/共133页第九十七页，编辑于星期六：一点 四十七分。cos1sinarctan2cos)1 (2sin)1 (arctan22由此求得 与 之间的关系：，线性时，0时，频率压缩0时，频率扩张0第98页/共133页第九十八页，编辑于星期六：一点 四十

53、七分。对于幅度响应为分段常数的滤波器，变换后仍可得类似的频率响应 设低通原型的截止频率为 ，变换后的对应截止频率为cc带入下式得：jjjeee122sincccc 由截频为 的 得到截频为 的 变换关系：cc)(zHL)(ZHd1111| )()(ZzzLdzHZH第99页/共133页第九十九页，编辑于星期六：一点 四十七分。2数字低通数字高通 低通变成高通，只需将频率响应旋转180，即将Z变换成-Z即可旋转变换 11111)(ZZZGz将下式中的 用 代替，1Z1 Z得到低通到高通的变换1111ZZz2cos2coscccc第100页/共133页第一百页，编辑于星期六：一点 四十七分。3数字

54、低通数字带通 数字带通映射到数字低通必须满足的映射关系： 数字带通 数字低通 数字带通 数字低通 1000zeZj11, 0zZ 从0变到 时， 也应从0变到 ，因而全通函数的阶数应为22N第101页/共133页第一百零一页，编辑于星期六：一点 四十七分。则有：111111*11*)(ZZZZZGz111222112ZZZZ变换函数参数的确定列于表5-5-4 第102页/共133页第一百零二页，编辑于星期六：一点 四十七分。4数字低通数字带阻 数字带阻映射到数字低通必须满足的映射关系： 100zeZj110, 0zZ 从0变到 时， 也从0变到 ，因而全通函数阶数为22N时，当11Z1) 1

55、(1Gz，得变换关系：1111111*1)(ZZZZZGz111222112ZZZZ变换函数参数的确定列于表5-5-4 第103页/共133页第一百零三页，编辑于星期六：一点 四十七分。 截止频率为 的低通数字滤波器变换成各型数字滤波器 c变换公式见表5-5-4 ，P第104页/共133页第一百零四页，编辑于星期六：一点 四十七分。5.6 数字陷波器设计 也被称为点阻滤波器 一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点 主要用于消除某个特殊的频率干扰 在各种测量仪器和数据采集系统中用于消除电源干扰的工频陷波器 一般为IIR滤波器 设计方法 双线性变换进行设计 零极点累试的方法 第10

56、5页/共133页第一百零五页，编辑于星期六：一点 四十七分。1、陷波器的频率特性 设信号为 ， 为干扰频率,需要将其滤掉 x ts tAt( )( )sin00则要求滤波器的传输函数为: |()|H j1000其数字域的传输函数为: |()|H ej1000/ fTs其中数字陷波器的频率响应 第106页/共133页第一百零六页，编辑于星期六：一点 四十七分。2、利用双线性变换设计数字陷波器 二阶模拟陷波器传输函数为 202202)(BssssH其幅度响应为 22220220)(| )(|BjH3dB带宽为 分别为在陷波频率的上边频和下边频幅度增益为-3dB的频率。 1212,、B采用双线性变换

57、，可求得二阶数字陷波器传输函数如下 第107页/共133页第一百零七页，编辑于星期六：一点 四十七分。1111| )()(zzssHzH2201202022012020)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 (zBzBzz2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzHBB202011202011)2/tan(1)2/tan(1BB0cos采用双线性变换，可求得二阶数字陷波器传输函数如下 可改写成 其中：陷波频率 ，数字3dB带宽 与 之间的关系： 012B,第108页/共133页第一百零八页，编辑于星期六：一点 四十七分。例5-6-1 设计一个二阶数字陷波器，其模拟

58、陷波频率为60Hz，3dB带宽为6Hz，采样频率为400Hz 解：先求数字陷波频率和数字3dB带宽： 3 . 0)400/60(2003. 0)400/6(2B0.8816186)2/tan(1)2/tan(1BB0.587785cos0数字传输函数为 2121881618. 0105987. 11940809. 0105987. 1940809. 0zzzz2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzH第109页/共133页第一百零九页，编辑于星期六：一点 四十七分。3、零极点累试的设计方法 1）、基本方法 IIR滤波器的系统函数可表示为 H zb za zc zd zkN

59、kkNkrMrkNk( )()()01111111111由于零极点的共轭成对,先讨论二阶的情况: H zz ez ezpzpijjii( )()()()()*1111111100传输函数在 处具有无限大的衰减，为了保证在 时,信号无衰减,必须在 附近配置上两个极点 ，使 000|( )|H z 1第110页/共133页第一百一十页，编辑于星期六：一点 四十七分。若一个二阶的系统不能满足要求,可采用多个二阶系统的级联 三个二阶系统的 级联 第111页/共133页第一百一十一页，编辑于星期六：一点 四十七分。二阶系统的零极点 分布：3个零点在 ，极点分布在以为半径,以 为圆心的圆弧上，以保证 0j

60、ez 0jez |( )|H z 1第112页/共133页第一百一十二页，编辑于星期六：一点 四十七分。极点坐标为 ：)(00ijjieep320111iiii其中总的传输函数为 H zH z Hz Hz( )( )( )( )123设计的问题就是如何选取 使 时，使即如何选取参数及 pizzej00|( )|H z 1i3)、参数及 的选择1将 和 代下式：pi1H zz ez ezpzpijjii( )()()()()*1111111100第113页/共133页第一百一十三页，编辑于星期六：一点 四十七分。可得： 2*1210)(1cos21)(zppppzzzzHiiiii其中：ppii