北京历年高考文科数列大题汇总

1、北京历年高考文科数列大题汇总1. （本小题 13 分）已知等差数列an满意a1a210,a4a32.（）求 an的通项公式；（）设等比数列bn满意b2a3,b3a7. 问：b6与数列an的第几项相等？2.（本小题满分 13 分）已知an是等差数列，满意a13，a412，数列bn满意b14，b420，且bnan是等比数列 .（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和.3 （本小题共 13 分）给定数列a1，a2，l l，an；对i1,2,3,l ,n1，该数列前i项的最大值记为ai，后ni项ai 1，ai2，l l，an的最小值记为bi，diaibi；（1）设数列an为3，4，

2、7，1，写出d1，d2，d3的值；（2）设a1，a2，l l，an（n4）是公比大于1的等比数列，且a10，证明d1，d2，l l，dn 1是等比数列；（3）设d1，d2，l l，dn 1是公差大于0的等差数列，且d10，证明a1，a2，l l，an 1是等差数列；4.（本小题共 13 分）设a是如下形式的 2 行 3 列的数表，abcdef满意性质p:a,b,c,d, e, f 1,1，且abcdef0；记ri a为a的第i行各数之和i1,2，cj a为第j列各数之和 j 1,2,3；记ka为|r1a|，|r2a |，| c1a |，|c2a |，| c3a|中的最小值；（）对如下数表a，求

3、ka的值（）设数表a形如110.80.10.311112ddd1其中1d0；求k a的最大值；（）对全部满意性质p的 2 行 3 列的数表a，求ka的最大值5 （本小题共 13 分）如数列an: a1,a2,ann2满意ak 1ak1k1,2,n1)，就称an为e数列，记sana1a2an.（）写出一个 e 数列 a5满意a1a30；（）如a112，n=2000，证明：e 数列an是递增数列的充要条件是an=2021；（）在a14的 e 数列an中，求使得s an=0 成立得 n 的最小值 .6. （本小题共 13 分）已知 集 合sn x | xx1,x2,，xn,x10,1, i1,2,n

4、 n2)对 于aa1,a2,an,，bb1,b2,bn,sn，定义 a与 b的差为ab|a1b1|,|a2b2|,|anbn|;a与 b之间的距离为da,b| a1b1|i 1（）当 n=5 时，设a0,1,0,0,1,b1,1,1,0,0，求a b，da,b；（）证明：a,b,csn,有absn，且da c, bcd a,b;证明：a,b,csn,da,b,da,c,db,c三个数中至少有一个是偶数7 （本小题共 13 分）设数列an的通项公式为anpnqn n ,p0).数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的全部n中的最小值 .（）如p1,q1，求b3；23（）如p2

5、,q1，求数列bm的前 2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm3m2m n？假如存在，求p和q的取值范畴；假如不存在，请说明理由.n1nn8 （本小题共 13 分）数列 a 满意a1,a2nnan1,2,.,是常数 .（）当 a2=-1 时，求及 a3的值；（）数列 an 是否可能为等差数列？如可能，求出它的通项公式；如不行能，说明理由；（）求的取值范畴，使得存在正整数m, 当 nm时总有 an0.9.（本小题共 13 分）数列an中，a12 an 1ancn（c是常数，n1， 2， 3， l） ，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列（i）求c的值；1（ii）求an的通项公式答案：1.

6、（共 13 分）解：（）设等差数列 an的公差为d由于a4a32，所以d2又由于a1a210，所以2a1d10，故a14所以an42n1 2n2n 1,2,.（）设等比数列bn的公比为q由于b2a38,b3a716所以q2,b14所以b6426 1128由1282n2得n63所以b6与数列 an的第 63 项相等2（共 13 分）解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意得da4a1123333ana1n1d3nn1,2,.设等比数列bnan的公比为q，由题意得nq3b4a4b1a120128，解得q243所以bnanb1a1qn 12n 1从而bn3n2n 1n1,2,.（2）由（1）知bn

7、3n2n 1n1,2,.数 列3n的 前n项 和 为3nn21)， 数 列2n 1的 前n项 和 为12n12n112所以，数列bn的前 n 项和为3nn21 2n13（本小题共 13 分）解：（ 1）d1a1b13 12，d2a2b2413，d3a3b3716（2）由于a1，a2，l l，an（n4）是公比大于1的等比数列，且a10所以aa q1n1所以当k1,2,3,l ,n1时，dkakbkakak 1所以当k2,3,l ,n1时，dkakak1ak 1q1 qqdk 1ak 1akak 11 q所以d1，d2，l l，dn 1是等比数列；（3）如d1，d2，l l，dn 1是公差大于0

8、的等差数列，就0d1d2ldn 1a1，a2，l l，an 1应是递增数列，证明如下：设ak是第一个使得akak1的项，就ak 1ak，bk1bk，所以dk 1ak 1bk 1akbkdk，与已知矛盾；所以，a1，a2，l l，an 1是递增数列再证明an数列an中最小项，否就akan（k2,3,l ,n1），就明显k1，否就d1a1b1a1b1a1a10，与d10冲突因而k2，此时考虑dk 1ak 1bk 1ak 1ak0，冲突因此an是数列an中最小项综上，dkakbkakan（k2,3,l ,n1）于是akdkan，也即a1，a2，l l，an 1是等差数列4.5.（共 13 分）解：

9、（）0，1，0，1，0 是一具满意条件的e 数列 a5.（答案不唯独， 0， 1，0，1，0；0， 1，0，1，2；0， 1，0，1，2；0，1，0，1，2，0，1，0，1，0 都是满意条件的e 的数列 a5）（）必要性：由于e 数列 a5是递增数列，所以ak 1ak1k1,2,1999所以 a5是首项为 12，公差为 1的等差数列所以 a2000=12+（20001）1=2011充分性，由于 a2000a10001，a2000a10001a2a11所以 a2000at1999，9 即 a2000a1+1999又由于 a1=12，a2000=2021,所以 a2000=a1+1999故an 1

10、an10k1,2,1999,即an是递增数列综上，结论得证 .（）对首项为 4 的 e 数列 ak，由于a2a113,a3a212,a5a713.所以a1a2ak0k2,3,8所以对任意的首项为4 的 e 数列 am，如sam0,就必有n9.又a14的 e 数列a1: 4,3,2,1,0, 1, 2,3, 4满意 sa10,所以 n 是最小值是 9.6. 共 13 分（）解：ab 01,1 1, 01, 00 ,10=（1,0,1,0,1）da,b01 11 010010=3证明：设aa1,a2, ,an,bb1,b2, ,bn,cc1,c2, ,cn sn由于a1,b10,1，所以a1b10

11、,1i1,2,n从而aba1b1, a2b2,anbn sn由题意知ai,bi,ci0,1i1,2,n当ci0时，aicibiciaibi当ci1时，aicibici1 ai1biaibi所以da c,bcnaibii 1d a,b证明：设aa1,a2, ,an,bb1,b2, ,bn,cc1,c2, ,cn snda,bk,da,cl,db,c h记00,0,0sn由（）可知d a,bdaa,bad0,bakd a,cdaa,cad0,caldb,cdba,cah所以bilaii1,2,n中 1 的个数为 k,ciaii1,2,n中 1 的个数为设t是使biaiciai1成立的i的个数；就h

12、lk2t由此可知，k ,l , h三个数不行能都是奇数即da,b,d a,c, d b,c三个数中至少有一个是偶数；7.此题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算才能、推理论证才能、 分类争论等数学思想方法 此题是数列与不等式综合的较难层次题 .（）由题意，得an1n1，解1n13，得23n20.2333m1n13成立的全部n中的最小正整数为7，即b7.23（）由题意，得an2n1，对于正整数 m，由anm，得nm 1.2依据bm的定义可知当m2k1时，bk kn*；当m2k时，bmk1 kn*.b1b2lb2mb1b3lb2m 1b2b4lb2 m123lm234lm1m22m.（）假

13、设存在p和q满意条件，由不等式pnqm及p0得nmq.pbm3m2m n,依据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有3m1mqp3m2，即2pq3p1mpq对任意的正整数m都成立.当3 p 10（或3p10）时，得mpq（或m2pq） ，3p13p1这与上述结论冲突！当3 p 10，即p1时，得2q01q，333m m1m m32220解得2q1. （经检验符合题意）33 存在p和q，使得bm3m2m n ；p和q的取值范畴分别是p1，2q1.3338解：（）由于an 1nnann1,2,且 a1=1，所以当 a2= -1 时，得12,故3.从而a32223 1 3.（）数列 an 不行能为等

14、差数列 .证明如下：由 a1=1，an21nnan得a22,a362 ,a412 6 2 .如存在，使 an为等差数列，就a3-a2=a2-a1,即52 1，解得=3.于是a2a112,a4a311 6 2 24.这与an为等差数列冲突，所以，对任意， an都不可能是等差数列 .（）记bn2nn 1,2,依据题意可知， b 0 且b0，即n1n2 且n2nnn* ，这时总存在n0n*，满意：当 nn0时，bn0；当 nn0-1 时， bn0.所以由 an+1=bnan及 a1=10 可知，如 n0为偶数，就an0，0从而当 nn0时 an0；如 n0为奇数，就an0，从而当 nn0时 an0.因此“存在 m n*，当 nm 时总有 an0”的充分必要条件是：no为偶数，记 no=2kk=1,2,，就 满意b2 k2k22k0，b2 k 12k122k10