随机过程试题解答

1、1 西南交通大学2006-2007 学年第 ( 一) 学期考试试卷课程代码课程名称随机过程 B 考试时间2007.1.24 题号一二三四五六七总成绩得分一、（ 14 分）设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度函数为：其它010)1(24),(xyyxyxf试求: 在10y时, 求)|(yYXE。解：()( ,)Yfyfx y dx124(1)010yxydxy其 它212(1)010yyy其 它 (5分) 当10y时，(,)()Yfx yfy22(1)1(1)0 xyxy其 它 (5分) )|(yYXE(,)()()Yfx yxfx y dxxdxfy2121122 (1)(1)3(1)yy

2、yxx dxyy (4分) 二、（ 14 分）设离散型随机变量X服从几何分布：,2, 1)1(1kppkXPk试求X的特征函数，并以此求其期望)( XE与方差)( XD。解：1( )()()itXitkXktE eePXk (2分) 111(1)(1)(1)itkkitkkkkpeppepp1(1)(1)(1)(1)1(1)ititkitkppp ep eppp e2 1(1)1ititititpepep eqe (4分) 2( )(1)itXitipetqe00221(0)(1)(1)Xipepiiqeqp (2分) 3(1)( )(1)ititXitpeqetqe3(1)(0)(1)Xpq

3、q (2分) 所以：11(0)XEXip (2分) 22(1)(0)XqEXp22222(1)1()qqDXEXEXppp (2分) 三、（ 14 分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。答：1、设 W(t)是一个随机过程，满足：（1）(0)0)1P W (2分) （2）W( t) 是增量独立的随机过程 (2分) （3）0st，( )()WtWs2(0,()Nts (2分) 则称 W( t) 为维纳过程。 2 、0t，( )Wt2(0,)Nt,( )0EWt， (3分) 2( , )( )( )m in(, )WRs tEWs Wts t (3分) 222( ,

4、)tvWv te (2分) 3 四、（ 14分）设随机过程),cos()(0tYtAtX，其中0是常数，A与Y是相互独立的随机变量，Y服从区间)2,0(上的均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度为000)(2222xxexxfxA试证明)(tX为宽平稳过程。解：（ 1）)cos()()cos()(00YtEAEYtAEtmX20002220)cos(22dyytdxexx与t无关（4 分）（2）)()(cos)()cos()()(20222022AEYtEAEYtAEtXEtXdtetdxexAEtx02220223222221)(，202202022|2|222tttedtete所以)()(2

5、2tXEtX（5 分）（3）)cos()cos(),(201021YtAYtAEttRX)cos()cos(20102YtYtEAEdyttytt21)(cos)cos(2121202010202)(cos1202tt只与时间间隔有关，所以)(tX为宽平稳过程。（ 5 分）五、（ 14 分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2 人与每分钟 3 人的泊松过程。（1） 试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；4 （2） 在已知t时刻以有 50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设12( ),

6、( ),( )N tNtNt分别为（ 0, t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1） 由已知，1( )Nt为强度12的泊松过程，2( )Nt为强度23的泊松过程；故，( )N t为强度125的泊松过程；于是，5(5 )( )!kttP N tkek0,1, 2,k（5 分）（2）22( )30,( )50)( )30( )50)( )50)P NtN tP NtN tP N t30320221505( )30)( )20)(3 )/ 30 ! (2 )/ 20 !( )50)(5 )/ 50 !tttP NtP NtteteP N tte30320230302050505(3 )

7、/30 ! (2 )/ 20 !32()()(5 )/ 50 !55tttteteCte（5 分）一般地，50,2, 1,0,)52()53(50)(|)(50502kCtNktNPkkk故平均有女性顾客30535050)(|)(2tNtNE人（4 分）六、（ 15 分）设一个坛子中装有4 个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过n次取球置换，令1),(nnX表示第n次取球后坛中的黑球数。（1）1),(nnX是否构成马氏链 , 是否为齐次的，为什么 ? （2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。解：1),(nnX的参数集为1, 2, 3,Tn，

8、状态集为0,1, 2, 3, 4E，当 X(n)的取值确定时， X(n+1)的取值完全由 X(n) 确定，故1),(nnX为马氏链，（4 分）()(1)()ijPnP X nj X ni5 11,03,41,13411,1340jijiijiiijii或其 它（4 分）与 n 无关，故为齐次马氏链。（2 分）（2）一步转移概率矩阵为010001/ 403 / 40001/ 201/ 20003/ 401/ 400010（5 分）七、（ 15 分）设,2, 1),(nnX是独立同分布随机变量序列，其分布律为：14.06.011)(npnXi，（1）试给出,2, 1),(nnX的一步转移矩阵，并画出概率转移图；（2）令nknkXnY11),()(，计算概率0)4(,0)3(,0)2(,0)1(YYYYP。（1）,2,1),(nnX的一步转移矩阵为0.60.40.60.4（3 分）