第三章 地图数学基础

1、第三章 地图数学基础第3章 地图数学基础 1、坐标系和高程系、坐标系和高程系 2、地图比例尺、地图比例尺 3、高斯克吕格投影、高斯克吕格投影 4、双标准纬线圆锥投影、双标准纬线圆锥投影 5、地图投影判别与选择、地图投影判别与选择 6、地图定向、地图定向第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础一、坐标系一、坐标系 与地图测绘相关的坐标系有地理坐标系和平面坐标系。1 1、地理坐标系、地理坐标系（1）地理坐标系的构成 地面点的地理坐标由经度和纬度构成。地理坐标系依据其所选用的本初子午线、参考椭球的不同而略有区别。国际公认通过英国格林尼治天文台的经线为首（零）子午线，即本初子午线，以东为正，以西为负。

2、第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础1 1、地理坐标系、地理坐标系（1）地理坐标系的构成经纬度通常分为天文经纬度、大地经纬度和地心经纬度。表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度、大地纬度 和大地高 H 表示。即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度 ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y。第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础1 1、地理坐标系、地理坐标系（2）常用地理坐标系 1954年北京坐标系 （北京坐标系） 采用苏联Krassovsky（克拉索

3、夫斯基）椭球参数，大地坐标原点不是在北京而在前苏联西部的普尔科夫。 1980年国家大地坐标系 （西安坐标系） 采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省西安市泾阳县永乐镇北洪流村。第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础1 1、地理坐标系、地理坐标系（2）常用地理坐标系 WGS84坐标系 一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向BIH （国际时间服务机构）1984.0定义的协议地球极（CTP)方向，X轴指向BIH1984.0的零子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系，称为1984

4、年世界大地坐标系统。第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础a:6378137.0mf=1/298.257 223 563第3章 地图数学基础1 1、地理坐标系、地理坐标系（2）常用地理坐标系 2000国家大地坐标系(CGCS2000) 2000国家大地坐标系是我国当前最新的大地坐标系，是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。Z轴指向BIH1984.0定义的协议极地方向（BIH国际时间局），X轴指向BIH1984.0定义的零子午面与协议赤道的交点，Y轴按右手坐标系确定。第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础a:6378137.0mf=1/298.25

5、7 222 101第3章 地图数学基础2 2、平面坐标系、平面坐标系 将椭球面上的点通过地图投影的方法投影到平面上时，通车使用平面坐标系，包括平面及坐标系和平面指教坐标系。（1）平面极坐标系：用某点至极点的距离和方向（矢量角）表示该点位置的方法。（2）平面直角坐标系：用直角坐标原理确定一点的平面位置的方法。测绘中的平面直角坐标系与数学中所不同的地方在于X轴和Y轴互换位置。第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础二、高程系二、高程系 高程是指由高程基准面起算的地面点高度。海拔（绝对高程）：地面点对似大地水准面（海平面）的高度。 高程起算基准面：黄海平均海水面1985国家高程

6、：72.260 4 m1956年黄海高程：72.289 m国家水准原点：山东青岛第1节 坐标系和高程系第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础1010国家高程控制网使用的是1985国家高程系统共有水准点成果114 041个，水准路线长度为416 619.1 km。 本章首页本节首页第3章 地图数学基础1. 地图比例尺的含义地图比例尺的含义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）d 1 = D M 根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。第2节

7、 地图比例尺第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础2. 2. 地图比例尺的表示地图比例尺的表示 数字式比例尺 如 1:10 000（1:1万）；1:500 文字式比例尺 如 百万分之一；图上1cm相当于实地10km 图解式比例尺直线比例尺斜分比例尺复式比例尺第2节 地图比例尺第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础第2节 地图比例尺第3章 地图数学基础斜分比例尺，也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）第3章 地图数学基础复式比例尺：又称投影比例尺，是根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。第2节 地图比例尺第3章 地图数

8、学基础第3章 地图数学基础比例尺与地图精度对地图精度的影响： 与内容详细程度及精度有关考虑人眼分辨能力及印刷能力，把图上0.1mm代表的地面实际距离称为地形图的最大精度。 比例尺1:5千1:1万1:2.5万1:5万1:10万1:25万1:50万1:100万精 度0.5米1 米2.5 米5 米10 米25 米50 米100 米第2节 地图比例尺第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础 又名，横轴等角切椭圆柱投影。假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线（中央经线）上；按照等角条件，用解析法将中央经线两侧一定经差范围内椭球体面上的经纬网投影到椭圆柱面上。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学

9、基础第3章 地图数学基础第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础一、高斯投影的基本条件1） 中央经线和赤道的投影为直线，且为投影的对称轴；2） 投影后无角度变形，即同一地点的各方向上长度比不变；3） 中央经线投影后保持长度不变，即m0=1。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础高斯投影的经纬网1 1）中央经线和赤道的是相互垂直的直线；）中央经线和赤道的是相互垂直的直线；2 2）其余经线的投影为对称凹向中经的曲线；）其余经线的投影为对称凹向中经的曲线；3 3）其余纬线的投影为对称凸向赤道的曲线；）其余纬线的投影为对称凸向赤道的曲线；4 4）经纬线均正

10、交；）经纬线均正交；5 5）整个图形呈东与西对称、南与北对称。）整个图形呈东与西对称、南与北对称。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础二、高斯投影变形分析1.没有角度变形，面积比是长度比的平方;2.中央经线投影后无长度变形，其余经线和全部纬线投影后均有长度变形，长度比均大于1；3.在同一经线上，纬度越低变形越大，最大值位于赤道上；4.在同一纬线上，长度变形随着经差的增大而增大，且与经差的平方近似成正比；5.最大长度变形 0.14% ，最大面积变形 0.27%最大变形点第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基

11、础第3章 地图数学基础1111万（万（3 3分带）从东经分带）从东经1 13030 算起，自西向东全球共分为算起，自西向东全球共分为120120个带，个带，我国领土位于东经我国领土位于东经7272-136-136之间，共包含之间，共包含2222个带，位于个带，位于24244545带。带。三、高斯投影分带中国国家基本比例尺地形图分带投影：12.512.5万、万、1515万、万、110110万、万、125125万、万、150150万（万（6 6分带）分带）从格林威治从格林威治0 0经线（本初子午线），自西向东全球共分经线（本初子午线），自西向东全球共分6060个投影带个投影带. .我国位于我国位于

12、13132323带带,11,11带。带。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础每带带号与其中央经线的经度关系如下：6带：东半球中=（6n-3） 西半球中=（6n-3）-3603带：东半球中=3n 西半球中=3n-360第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础 在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X X轴，赤道为轴，赤道为Y Y轴，两轴的交点为坐标原点。轴，两轴的交点为坐标原点。X X值值在赤道以北为正，以南为负，在赤道以北为正，以南为负，Y Y坐标值在中经以坐标值在中经以东为正，以西为负，我国的东为正，以西为负，

13、我国的X X值均为正，但值均为正，但Y Y值存值存在中经西为负值的情况，运用起来很不方便，故在中经西为负值的情况，运用起来很不方便，故将各带的坐标纵轴西移将各带的坐标纵轴西移500km500km，并冠以带号，称，并冠以带号，称通用坐标。通用坐标。如：中国有两地面点分别为XA=432123.567米，YA=19623456.789米；XB=345678.912米，YB=38356789.123米。即此地面点A位于赤道以北432123.567米、六度带投影的第19带，其中央子午线的经度为东经111，位于中央子午线以东123456.789米；地面点B位于赤道以北345678.912米、三度带投影的第

14、38带，其中央子午线的经度为东经114，位于中央子午线以西143210.877米第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、坐标网1、经纬线网：、经纬线网：由经线和纬线所构成的坐标网，又称地理坐标网。（1）编制地图的控制系统之一，用以确定地面点和整个地形的实地位置；（2）是计算和分析地图投影变形的依据，用来确定地图比例尺和量测距离、角度和面积意义：第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础在我国1：1万1：25万地形图上，经纬线只以图廓的形式表现，经纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，

15、绘有黑白相间或仅用短线表示经差、纬差1的分度带，需要时将对应点相连接，就构成很密的经纬网。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、坐标网1、经纬线网在1：50万1：100万地形图上，直接绘出经纬网，有时还绘有供加密经纬网的加密分割线。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、坐标网2、方里网：由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方里网，距离高斯投影带纵、横坐标轴均为整公里数。 因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 直角坐标网的坐标系以中央

16、经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。这样，坐标系中就出现了四个象限。纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、坐标网2、方里网比例尺比例尺图上距离（图上距离（cm）实地距离（实地距离（km）1：1万1011：2.5万411：5万211：10万221：25万4101：1万-1：5万地图方里网密度第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础v 图廓内标注的是大地经纬度坐标值，纵向为纬度值B，横向为经度值L。经纬网最西北角在北纬27度50分，东经

17、105度48分45秒。v 内外图廓间标注的是投影平面直角坐标值，纵向为X坐标值，横向为Y坐标值，单位为公里。如图红圈中X坐标值为3080km=3080000m，为该点到赤道的距离。Y坐标值为35581km=35581000，其中头两位35为高斯投影3度带的带号35，其投影中央经线为35x3=105度，该点位于投影中央经线东侧，距离中央经线的距离为581km-500km=81km。第3章 地图数学基础四、坐标网3、邻带坐标网：指一幅地形图上所绘出的相邻投影带的坐标网，即重叠绘出相邻投影带的坐标系统。由于高斯克吕格投影的经线是向投影带的中央经线收敛的，它和坐标纵线有一定的夹角，叫做子午线收敛角。所

18、以当相邻两带的图幅拼接时，方里网就形成了折角，这给地图拼接带来了很大的困难。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、坐标网绘有邻带方里网的区域范围是沿经线呈带状分布的，所以叫重叠带。重叠带的实质是将投影带的范围扩大，即西带向东带延伸30，东带向西带延伸15（7.5）。第3节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、坐标网于是规定在一定的范围内将邻带坐标延伸到本带的图幅上，这就使某些图幅上有两个方里网系统，一个是本带的，一个是邻带的，为了区别，图廓内绘有本带的方里网，图廓外绘邻带的方里网，需要使用时才连绘出来，这样相邻图幅就具有统一的直角坐标系统。第3

19、节 高斯克吕格投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础3.4双标准纬线圆锥投影双标准纬线圆锥投影 国际百万分之一世界地图规定在南、北纬度80之间采用双标准纬线正轴等角圆锥投影，它是正轴等角圆锥投影的一种。对于南、北纬度80以外的两极地区，采用极球面投影（正轴等角方位投影的一种）。 我国处于北纬60以下的北半球内，因此我国1：100万地形图和航空图都采用双标准纬线正轴等角圆锥投影。第4节 双标准纬线圆锥投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础一、投影概念 该投影是假设圆锥轴和地球椭球体旋转轴重合并套在椭球体上，圆锥与地球椭球面相割，将经纬线网投影于圆锥面上展开而成的。其经线表现为辐射的直

20、线束，纬线投影成同心圆弧，两经线间的夹角与相应的经差成正比。第4节 双标准纬线圆锥投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础二、投影分带 为了提高投影精度，我国规定1：100万地形图和航空图按纬度分带的原则来划分投影带，即从0纬度开始，每4纬差一个投影带。 第4节 双标准纬线圆锥投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础三、投影变形长度 +0.03%面积 +0.06%长度 - 0.03%面积 - 0.06%长度 +0.03%面积 +0.06%标准纬线：变形为 0标准纬线：变形为 0北边纬 30南边纬 + 30纬差4经差61、角度没有变形,即投影前后对应的图形保持相似,故也可称为正形投影;2

21、、两条标准纬线上没有任何变形;3、等变形线和纬线一致,同一条纬线上的变形处处相等；4、在同一经线上,两标准纬线外侧为正变形(长度比1)，而两标准纬线之间为负变形(长度比1),因此变形较均匀,绝对值也较小;5、同一纬线上等经差的线段长度相等,两条纬线间的经线线段长度处处相等。第4节 双标准纬线圆锥投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础四、图幅拼接 由于1:100万地图采用的等角圆锥投影经线是射线，因而东西相邻图幅拼接无裂隙。但纬线是圆弧，因而上下相邻图幅拼接时会有裂隙，裂隙大小随纬度的增加而减小。相邻带两幅图以中央经线为准拼接时，裂隙在赤道附近约为0.6mm，在中纬度地区约为0.30.4m

22、m。第4节 双标准纬线圆锥投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础百万分之一地形图的图幅范围图区经纬度关系 我国处于纬度60度以下，没有合幅。纬度范围纬度范围经差经差纬差纬差0-606460-7612476-8424484-8836488以上一幅第4节 双标准纬线圆锥投影第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础一、制图区域的位置、形状和范围第5节 地图投影的选择第3章 地图数学基础1. 1. 制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。极地正轴方位投影 赤道附近横轴方位投影中纬地区正轴圆锥投影或斜轴方位投影第3章 地图数学基础 2. 制图区域形状直接制约

23、地图投影的选择。制图区域形状直接制约地图投影的选择。 方位投影适合表示轮廓近似圆型的区域； 正轴圆锥投影适合表示沿纬线伸展的中纬度国家和地区， 如：中国、美国、苏联、加拿大等； 正轴圆柱投影适合表示沿纬线伸展的低纬地区， 如：印度尼西亚； 横轴圆柱或多圆锥适合表示延经线方向伸展的国家或地区， 如：智利 斜轴圆锥或斜轴圆柱投影适合表示制图区域成斜方向伸展的地区，如日本、新西兰等第4节 地图投影的选择第3章 地图数学基础一、制图区域的位置、形状和范围第3章 地图数学基础3. 3. 制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。 范围小时，无论什么投影方式都无太大变

24、形差异；对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。 世界地图选择较多，如圆柱、伪圆柱、多圆锥投影等； 半球地图主要选择方位投影； 中国大陆部分主要选择各类割圆锥投影；第4节 地图投影的选择第3章 地图数学基础一、制图区域的位置、形状和范围第3章 地图数学基础 不同比例尺地图，对精度要求不同，投影选择不同。 第5节 地图投影的选择第3章 地图数学基础二、按制图比例尺 以我国为例，大比例地形图，量算及精确定位，选择各方面变形都较小的地图投影，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择正轴等角、等积、等距圆锥投影。 第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础第3章 地图数学

25、基础要求方向正确，应选择等角投影， 如：航空、航海、洋流等地图要求面积对比正确，应选择等积投影， 如：人口密度、土地利用等图要求各方面变形都不大，则应选择任意投影 如：教学或一般参考图，第5节 地图投影的选择第3章 地图数学基础 通常，经济地图采用等积投影，军用地图采用等角投影，教学地图一般采用任意投影。国家基本比例尺地图必须采用国家规定的投影。三、按地图内容 第3章 地图数学基础单幅图：可以选择任何适当的投影系列图和地图集：整体考虑投影的选择，并在图面配置上要注意合理地安排第4节 地图投影的选择第3章 地图数学基础三、按出版方式 第3章 地图数学基础地形图图廓 图廓，又叫图框，是地图图形的范

26、围线，一般由内图廓、外图廓和分度带组成。第6节 地图定向第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础一、三北方向图一、三北方向图坐标北方向：坐标北方向：坐标纵线所指的北方向。坐标纵线所指的北方向。 地形图上有三种起始方向：地形图上有三种起始方向：真北方向、磁北方向和真北方向、磁北方向和坐标北方向。坐标北方向。真北方向真北方向: : 真子午线方向真子午线方向 图上一点垂直指向北图廓图上一点垂直指向北图廓的子午线方向。的子午线方向。 地形图上东西内图廓就是真子午线地形图上东西内图廓就是真子午线。磁北方向：磁北方向：在地球磁场的作用下，磁针自由静止时其在地球磁场的作用下，磁针自由静止时其轴线所指的方向。

27、大比例尺地形图右半幅中央的南北轴线所指的方向。大比例尺地形图右半幅中央的南北图廓间的图廓间的PPPP连线即为该图的磁子午线。连线即为该图的磁子午线。 第6节 地图定向第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础第6节 地图定向第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础二、三个方位角二、三个方位角真方位角：真方位角：从真子午线段北段顺时针方向至某一直线的水平角，叫真方位角。磁方位角：磁方位角：从磁子午线北段顺时针方向至某一直线的水平角。坐标方位角：坐标方位角：从坐标纵线北段顺时针方向至某一直线的水平角。第6节 地图定向第3章 地图数学基础第3章 地图数学基础三、三个偏角三、三个偏角子午线收敛角子午线收敛角()()：也叫坐标纵线偏角，以真子午线为标准，地面上某点的坐标纵线与真子午线之间的夹角，用“”表示。凡坐标纵线偏在真子午线以东者为正，反之为负。第6节 地图定向第3章 地图数学基础第