第三章付里叶变换

1、第三章第三章傅里叶变换傅里叶变换本章的主要内容：1、周期信号的傅里叶级数分析2、典型周期信号的傅里叶级数3、傅里叶变换4、典型非周期信号的傅里叶变换5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换6、傅里叶变换的基本性质7、卷积特性（卷积定理）8、周期信号的傅里叶变换9、抽样信号的傅里叶变换10、抽样定理第一节第一节引言引言傅里叶分析发展史从本章开始由时域分析转入频域分析。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为

2、正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。论基础。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电学中去。伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的应用。直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用采用频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有许多突出

3、的优点。当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法。但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里叶分析这一数学工具增添了新的生命力。傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。本章讨论的路线：本章讨论的路线：傅里叶级数正交函数傅

4、里叶变换，建立信号频谱的概念；通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。 第二节第二节周期信号的傅里周期信号的傅里叶级数分析叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 ）角频率为任意周期信号（周期设1112,Tf(t)T则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数11;nn其中基波角频率为的分量次谐波角频率为的分量0111cos()sin()( )nnnaaf t

5、ttbnn1 1、一种三角函数形式的傅里叶级数、一种三角函数形式的傅里叶级数 011001001010111011cos()11( )( )2( )2( )1,2,in).s (tTTttTtnntTtf t dtf t dtTTf tdtTf tdtttTnaabnn直流分量：其中 余弦分量幅度：正弦分量幅度：为了积分方便，通常取积分区间为：220111TTT或三角函数集是一组完备函数集。110101cos( )( )s)in()nnnnnnf tf tddntctcn或展开为常用形式f(t)2 2、另一种三角函数形式的傅里叶级数、另一种三角函数形式的傅里叶级数 20200,nnnnnnnn

6、nnddaarctgarctgcacabbab 其 中f(t)傅里叶级数存在的充分条件：周期信号须满“狄利克雷”(Dirichlet足)条件，即010( )tTtf t dt 间断点极值绝一周期内仅有限个；一周期内仅有限个；一周可期内对，积3 3、傅里叶级数展开的充分条件、傅里叶级数展开的充分条件 通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。4 4、基波、谐波、基波、谐波 通常把频率为：1112wTf称为基波。频率为：1112222wTf称为二次谐波。1112333wTf频率为：称为三次谐波。1112333wTf频率为：称为三次谐波。 可见，直流分量的大

7、小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。1nnc单边频谱图：信号的幅度谱1nn信号的相位谱其中各频率分量幅度称为“”；连各谱线顶点的曲线称为 “谱线包络线”。5 5、幅度谱、相位谱、幅度谱、相位谱 0n1w13w1nww1w13w0cnc1c2c3c1nww0离散性谐波性具有、收敛性周期信号的主要特点：二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数 ）角频率为任意周期信号（周期设1112,Tf(t)T则其可展开为指数形式的傅里叶级数11( )jtnnnFf te1 1、指数形式的傅里叶级数的形式、指数形式的傅里叶级数的形式 2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系指数形式的傅

8、里叶级数中各个量之间的关系 221n021122(nnnnnnnnnnnjFFaFjbabce当时，其中三角函数形式）)(21nnjnnjbaeFFn010110100()1( )tTtnnjtf tdtTnFnFFcae 记复函数：其中直流分量：3.指数形式表示的信号频谱指数形式表示的信号频谱-复数频谱复数频谱11nnnnF双边频谱图：复函数幅度谱，复函数相位谱具有、（负频率的结离散果仅性谐波性收敛性是数学处理）Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。1w0cnF121c221c1nww01w1nw0n1nww1nw1w0cnF121c221c1nww01w1nw幅度谱与相位谱合并幅度谱

9、与相位谱合并正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。4.周期信号的功率特性周期信号的功率特性时域和频域能量守恒定理时域和频域能量守恒定理f(t)P平均功率时域与频域的能量守恒：任意周期信号的等于其傅各谐波分量里叶级数展有效值开式中的平方和周期信号的平均功率平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。)(2tfP 12220)(21nnnbaannF2100)(121TttdttfT122021nncc帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理1.函数的对称性函数的对称性三、函数的对称性与傅里叶系数的关系三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 要将信号f(t)展开为傅里叶级

10、数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。波形对称性有两类：波形对称性有两类：（1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。2.傅里叶级数的系数求解傅里叶级数的系数求解(1)偶函数信号偶函数信号1()F n其傅里叶级数三角展开式中 仅含和，其傅里叶级数指数展开式中 直为流项余弦项实函数。112014cos( )( )()0()nnTtanf tdtTf tfbt1)偶函数信号：,20nnnnnnacaFFt)(tfE021T21T例如：周期三角波信号是一偶函数)5cos(251)3cos(

11、91)cos(42)(1112twtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：1()F n其傅里叶级数三角展开式中 仅含，其傅里叶级正弦项数指数展开式纯中 为虚函数。102011004( )()( sin()Tnnaf tftf tabtTtnd2)奇函数信号：，0010,290nnnnnncacbFFbj )3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：t)(tf2E021T21T例如：周期锯齿波信号是一奇函数2E（2）奇函数信号）奇函数信号其傅里叶级数三角展开式中仅含和基波奇次谐波1112011201cos()sin4( )4()0)nnnTTnaba

12、bnnnttf tdtTf tdtnT为偶，为奇，（3）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐函数信号（半波对称函数 ）002210,2nnnnnnnncacabFarctbagc 奇谐函数信号奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：00a )2()(1Ttftf例子例子例如：奇谐函数t)(tf2E021T21T2Et)(tf2E021T21T2E)cos(1twt)(tf2E021T21T2E)sin(1twt)(tf2E021T21T2E)2sin(1tw四、傅里叶有限级数与最小方均误差四、傅里叶有限级数与最小方均误差010221)( )1(n

13、NNtTtEdtTtt方均误差：0111( )cos()sin()NnnNnnttaabStn有限项傅里叶级数：( )(f(t( )NNtStf t其中误为逼近的差函数）实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。例子例子以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一项)5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解解：其傅里叶级数表达式为：从上面

14、例子看出：（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次谐波分量)3cos(321twE取基波、三次谐波分量和五次谐波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E)cos(21twE)5cos(521twE当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳

15、变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。五、吉布斯（五、吉布斯（Gibbs）现象）现象105 .0t)(tf1n%99n3n举例举例3.1：指数形式的傅里叶级数函数形式和将图示信号展开为三角f(t) -T -T/2 0 T/2 T t 解：解：0)(natf为奇函数02, 1220, 12)(tTtTTttTtf11)sin()(nntnbtf20111)sin()(4TndttntfTb201111)sin( 124TdttntTTbababavduuvudv分部积分法2011201111112)cos()cos(124TTndtTtntntTnTb1

16、210111421cos()TtdntTnT , 2 , 1,2411nnTn20111111)sin(1214TntnnTTnb11)sin(2)(ntnntf11)90cos(12)(ntnntf常用形式次谐波分量的相位）（第次谐波分量的幅值）（第（直流分量）其中n90n200nnnnnabarctgnbcc112nnnFFbjjnntjnjeentf1)90(1)(ntnjen901112nnFn ，举例举例3.2：求其平均功率画出信号的频谱图，并已知信号)45cos(21)3cos()4sin()3sin()sin(21)(ttttttf)435cos(21)24cos()3sin()

17、3cos()2cos(21)(ttttttf解：)435cos(21)24cos()43cos(2)2cos(21)(tttttf常用形式;43,21;2, 1;4,2; 0, 0;2, 2; 155443322110cccccc即其幅度频谱图根据其常用展开式画出0nC234512其相位频谱图根据其常用展开式画出0n2345443225. 22121212121252423222120ccccccP作业P1603-1，3-2，3-3，3-8第三节第三节典型周期信号的典型周期信号的傅里叶级数傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的频谱分析可利用：典型周期信号的频谱

18、分析可利用：傅里叶级数傅里叶级数或傅里叶变换或傅里叶变换介绍的典型周期信号有如下：介绍的典型周期信号有如下：1、周期矩形脉冲信号、周期矩形脉冲信号2、周期锯齿脉冲信号、周期锯齿脉冲信号3、周期三角脉冲信号、周期三角脉冲信号4、周期半波余弦信号、周期半波余弦信号5、周期全波余弦信号、周期全波余弦信号1 1、周期矩形脉冲信号、周期矩形脉冲信号(1)(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。02/2/E2/1T2/1T1Tt)(tf22,22)(11TtTtutuEtf011102,nnabTanESEa偶函数解：11110

19、122,0,0,012nnnnnnnnnSaScacccFFETETaEan11111111cos()2( )2jtnnnEEf tTnSatSnaTnEe 三角指数1,20 ,21fBBBn周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为主要能量集中在第一个零点以内，即称为其频带宽度（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱1w1TEnC1nww012w24幅度谱0nw1nw相位谱24复数频谱：1w1TEnFw0212w24实数频谱：幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并1w0cnCw012w24 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：a.是正负

20、交替正负交替的信号，其直流分量a0等于零。b.它的脉宽恰等于周期的一半，即 T1/2（3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数02E4/1T4/1T1Tt)(tf2E1T解：解：0002,1,3,5.2.nnnSanEEnaba 偶函数且，奇谐函数00,1,3,5.0,0,012222nnnnnnnnccaccFFSaSaEncnEn，11121( )1,1,3.sincos()2sin2njnntEf tEnnnnnnte 三角指数1n周期对称方波信号的幅度频谱中 收敛规律na1ww012w13w14w15w1wna15ww012w幅度谱13w14w0nw1

21、w相位谱13w15w17w(2)(2)周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇奇函数。t)(tf2E021T21T2E解：它是奇函数0na可求出傅里叶级数的系数bn,留给同学们做。111111)sin(1) 1()3sin(31)2sin(21)sin()(nntnwnEtwtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛规律收敛。(3)(3)周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是偶偶函数。解：它是偶函数0nb可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学

22、们做。此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛规律收敛。t)(tfE021T21T112221112)cos()2(sin142)5cos(251)3cos(91)cos(42)(ntnwnnEEtwtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：(4)(4)周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是偶偶函数。解：它是偶函数0nb可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做。此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛规律收敛。11112

23、1112)cos()2cos() 1(12)4cos(154)2cos(34)cos(2)(TwtnwnnEEtwtwtwEEtfn其傅里叶级数表达式为：t)(tfE021T21T1T1T(5)(5)周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶偶函数。解：令余弦信号为00012)cos()(TwtwEtf此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛规律收敛。1021111)2cos(141) 1(42)6cos(351)4cos(151)2cos(3142)(nntnwnEEtwtwtwEEt

24、f其傅里叶级数表达式为：t)(tfE021T21T1T1T则，全波余弦信号为：)cos()()(01twEtftf作业P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，第四节第四节傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换（非周期信号）1.1.傅里叶变换引入傅里叶变换引入 10101111111f(t),0,( ),1(T()()0ntTtjtjtnnnF nFF ndf tfntdtTee 设为任意非周期信号（周期）则其指数展开式由于周期信号的周期T1，谱线的间隔w10，则离散谱变成连续谱离散谱变成连续谱。 由于周期信号的周期T1，谱线的长度F(nw1)趋于零，则其频谱失去频谱失去

25、应有的意义。应有的意义。 但从物理意义上讲，既然是一个信号，那么必然有能量，无论如何分解，必须存在频谱分布。2.2.频谱密度的概念频谱密度的概念 11011T1102limlimT()()defFFnnF：定义信号的频谱值频谱密度函数单位频带 对非周期信号不能采用周期信号的频谱定义方式。而必须引入一个新的量。频谱密度函数：在T1，谱线的间隔w10 ,不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，简称为频谱函数。( )( )j tf tf tFdte 定义：傅里叶正变换F1()()12( )j tdf tFFe 定义：傅里叶逆变换F( )fdtt 傅里叶变换存在的充分条件：3.3.傅里叶变换定义

26、傅里叶变换定义wnw1dwnw12)()(11wFwnwF1nw由：得：)()(wFtfFT)()(tfwFIFT4.4.非周期信号的幅度频谱与相位频谱非周期信号的幅度频谱与相位频谱)()()(wjewFwF频谱函数F(w)：一般是复函数。)( wF：是F(w)的模，它代表信号中各频率分量的相对相对大小。)(w：是F(w)的相位函数，它代表信号中各频率分量的相位关系相位关系。人们习惯上也把：wwF)(：为非周期信号的幅度频谱；ww)(：为非周期信号的相位频谱。()( )( ) c( )os)s(n)i(jFFjttFe 指数转三角形式：coss1( )()()() i22(n)f tdjdtF

27、tF 5.5.傅里叶变换形式的三角形式傅里叶变换形式的三角形式( ) t连续性收敛性具有、（除）() () F 双边频谱图：密度幅度谱，相位谱6.6.傅里叶变换的特点傅里叶变换的特点非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量包含了从零到无限高的所有频率分量。由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限（功率无限）的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于零。非周期信号的频谱用频谱密度频谱密度来表示。看出：周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数）非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）周期

28、信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。7.7.傅里叶变换的存在充分条件傅里叶变换的存在充分条件 傅里叶变换存在的充分条件是在无限内满足绝对可积条件：dttf)( 借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换存在傅里叶变换。第五节第五节典型非周期信号典型非周期信号的傅里叶变换的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1、单边指数信号2、双边指数信号3、奇双边指数信号4、矩形脉冲信号

29、5、钟形脉冲信号6、符号函数7、升余弦脉冲信号一、单边指数信号的傅里叶变换一、单边指数信号的傅里叶变换 (1)( )(0)( )atu tf tae：单边指数（复函数）22()1()1),aFarctFaajg 其傅里叶变换为：代入傅里叶变换定义公式中jwaejwadtedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwt1)(1)0()()(0)(0)(0解：单边指数信号的频谱如下：02w)()(awarctgw2( )(0()atufttae01t时域波形频域频谱221( )Fa0a1wa21a3(2)( )(0)a tf tae偶双边：指数（正实函数）二、双边指数信号的傅里叶变换二、

30、双边指数信号的傅里叶变换 222222( )( ),0(aFaaaF 其傅里叶变换为：代入傅里叶变换定义公式中220)(0)(00211)(1)(1)0()()(waajwajwaejwaejwadteedteedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwtatjwttajwt解：双边指数信号的频谱如下：频域频谱( )(0)a tf tae01t时域波形222( )aFa0a2wa1a3相位等0(3)( )(0),0,0fatattaetet：奇双边指数2222()()2(),022,02jaaFF（纯虚函数）三、奇双边指数信号的傅里叶变换三、奇双边指数信号的傅里叶变换 频域频谱01

31、t时域波形( )(0)00atatf taetet，0a1wa222( )aFa02w0202)(www222(4)( )ftttE uu矩形脉冲：2( ),0,( )0,( )0)2( )E SaFFFE SaF（实函数）的门函数（脉宽为)(tg四、矩形脉冲信号的傅里叶变换四、矩形脉冲信号的傅里叶变换 22( )E u tu tf t0tw()2SFEa0E22. 0EE13. 0( )2SFE a0w22112,2fBwfw时域有限时域有限的矩形脉冲信号，在频域频域上是无限分布无限分布。通常，认为信号占有频率范围（频带）为2(5)( )ttEfe：钟形脉冲五、钟形脉冲信号的傅里叶变换五、钟

32、形脉冲信号的傅里叶变换（高斯脉冲）（高斯脉冲） 2222( )( ),0EFFEee （正实函数）其傅里叶变换为：2( )tf tEe0tEeE22( )FEe w0E2eE因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频为相位频为零。零。10(6)0sgn( )0010,0lim,0ttattttaateet，：符号函数，（纯虚函数）六、符号函数的傅里叶变换六、符号函数的傅里叶变换 (2(),02,02)()2FFj 其傅里叶变换为：sgn( ) t0t110w)(wF0w)(w22 这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极

33、限，从而求得符号函数的频谱。( )2F,02,02( ) （纯虚函数）七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换 升余弦脉冲信号：)0()cos(12)(ttEtf其傅里叶变换为：221)(1)sin()(wwSaEwwwEwF)cos(12)(tEtf0tE2E222)(wFw02EE34 它的频谱是由三项构成的，他们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了w代入傅里叶变换定义公式中)(2)(2)(442)cos(12)()(000wSaEwSaEwSaEdteeEdteeEdteEdtetEdtetfwFjwttjjwttjjwtjwtjwt解：221)(1)s

34、in()(wwSaEwwwEwF化简得：作业P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，第六节第六节冲激函数和阶跃函冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换数的傅里叶变换（1）冲激函数的傅里叶正变换冲激函数的傅里叶正变换 f(t)= t(1(), 1)(0)FF（正实函数）一、冲激函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的频谱等于常数频谱等于常数，即：在整个频率整个频率范围内频谱是均匀分布均匀分布的。 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。 称此频谱为“均匀

35、谱均匀谱”或“白色谱白色谱”。0)(t) 1 (tw01)(wF其傅里叶变换为：（2）冲激函数的傅里叶反变换）冲激函数的傅里叶反变换 其傅里叶变换为：直流信号 f(t)=E (2)(,)20EFEF （正实函数）)()(wwF求f(t)冲激函数的频谱等于常数。冲激函数的频谱等于常数。反过来，直流信号的频谱是冲激函数直流信号的频谱是冲激函数。w01)(w)(tf021t求解直流信号的傅里叶变换解：采用宽度为的矩形脉冲 的极限而求得。22( )E u tu tf t0t( )2SFEa0w22w0)2(E)(w)(tf0Et当 时，矩形脉冲成为直流信号f(t)=E,其傅氏变换为：若令)2(limw

36、SaEwF)(limkwSakk2k比较上两式可得到：)(2wEwF当E=1时，)(2wwF)(211)(wtFTFT二、冲激偶信号的傅里叶变换二、冲激偶信号的傅里叶变换 冲激偶函数冲激偶函数：)(tf)( t)( )(ttf01t1w0)(wFw0)(w22(,0( ),2,( )0)2FjF （纯虚函数）其傅里叶变换为：推导：推导：解：解： dwetIFTjwt21)(:两边求导：dwejwdttdjwt)(21)(得：jwdttdFT)(nFTnnjwdttd)()(推广：推广： nnnFTndwwdjt)()(2 222( ),10,0,02,021( )( )FjF （复函数）三、阶

37、跃信号的傅里叶变换三、阶跃信号的傅里叶变换 阶跃函数：阶跃函数u(t)不满足绝对可积条件，但它仍存在傅里叶变换。2121)(tu)sgn(t)()f tu t01t 222( )1F w0可见：单位阶跃函数u(t)的频谱的频谱在w=0点存在存在一个冲激函数，冲激函数，即：u(t)含有直流分量含有直流分量。此外：由于u(t)不是纯直流信号不是纯直流信号，它在t=0点有跳变，因此在频谱中还存在其他频率分量存在其他频率分量。第七节第七节傅里叶变换傅里叶变换的基本性质的基本性质v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换建立了时间函数f(t)与频谱函数F(w)之间的对应关系。其中，一个函数确定之后，另

38、一函数随之被唯一地确定。1、对称性 2、线性（叠加性）3、奇偶虚实性 4、反折5、共轭性能 6、尺度变换特性7、时移特性 8、频移特性9、微分特性 10、积分特性v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )F( )()(t)ffF t与具相同表达式， 与具相同表达式）(1)( )(:f tF 若对称性FT()2( )F tf 则FTw0)2()(w)(tf01tt0)1 ()(t)(wf01w( )2SFEa0w220t)(tf1220w)(2)(2wfwf12cw2cw0tcw2cw2)(tFv傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1122(2):f ( )( ), f ( )( )tFtF 线性若性

39、FFTT11122122f ( )f ( )( )(aa)attFaF 则FT其中，其中，a1,a2为常数为常数f( )( )( );f( )( )f( )( );f( )( )( )tFtFtFtF 则当为时，为偶函，为奇函当为函时，为实偶函；实函数实偶实当为函时，为虚奇函当为时，为偶函虚函数奇，为奇函。v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(3)f( )( )tF 奇偶虚实：若性F为复函数为复函数(5)f( )( )tF 若共轭性：F*f ( )(),f ()( )ttFF 则FF(4):f( )( )tF 若反折性Ff()()Ft 则Fv傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1f(),0Faaat

40、a 则F(6)f( )( )tF 尺度变换：若性Fv傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质当信号在时域中压缩（当信号在时域中压缩（a0)，等效于在频域中扩展。，等效于在频域中扩展。当信号在时域中扩展（当信号在时域中扩展（a0)，等效于在频域中压缩。，等效于在频域中压缩。当信号在时域中当信号在时域中 沿纵轴反折（沿纵轴反折（a=-1)，说明信号在时域中，说明信号在时域中沿纵轴反折等效于在频域中频谱也沿纵轴反折。沿纵轴反折等效于在频域中频谱也沿纵轴反折。即：信号的波形压缩即：信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快倍，信号随时间变化加快a倍，则倍，则它所包含的频率分量增加它所包含的频率分量增加a倍。即频谱

41、展宽倍。即频谱展宽a倍。根据能倍。根据能量守恒定律，各频率分量的大小必然减小量守恒定律，各频率分量的大小必然减小a倍。倍。在通信系统中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾。在通信系统中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾。(7)f( )( )tF 若时移性：F00000f()( ),0f(1)j ttjaaaFttttFatee 则FFv傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 信号在时域中延时信号在时域中延时t-t0（沿时间轴右移），等效于（沿时间轴右移），等效于在频域中相位产生偏差（在频域中相位产生偏差（-wt0),其幅度谱不变。其幅度谱不变。v例例3-23-2求下列所示三脉冲信号的频谱。求下列所示三

42、脉冲信号的频谱。0)(tfE22TTt解：令解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号表示矩形单脉冲信号0t)(0tf122)2()(0wSaEwF0w22)(0wFE)()()()(000TtfTtftftf由时移特性可得：由时移特性可得：)cos(21)2()1)()(0wTwSaEeewFwFjwTjwT0wT2)(wFE3其频谱如下：其频谱如下：T42v例例3-33-3求双求双Sa信号的频谱。信号的频谱。解：令解：令f0(t)表示为表示为Sa信号波形信号波形0t)(0tfcw)2()()(twSatwSawtfccc0t2)2(0tf0t)(tfcw2由时移特性得：由时移特性得：ccwwwww

43、F01)(00w)(0wF1cc已知已知F0(w)表示为表示为Sa信号频谱信号频谱ccwjwjFTwwwweewFtf0)()2(2200可得可得幅度谱：幅度谱：ccwwwwwwF0)sin(2)(0w)(wF2cccw虽然单虽然单Sa信号的频谱最为信号的频谱最为集中，但它含有直流分量，集中，但它含有直流分量，使得它在实际传输过程中使得它在实际传输过程中带来不便，而双带来不便，而双Sa信号的信号的频谱能消去直流分量。频谱能消去直流分量。(8)f( )( )tF 若频移性：F000f( )(),0jttFe 则F000000f( )()()s1cosin,f( )()()22ttFFtFjFt调

44、制性：v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质频谱搬移技术在通信中应用广泛。如调幅、同步解调、频谱搬移技术在通信中应用广泛。如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频域上右移频域上右移w0,等效等效时域中信号调制时域中信号调制。即乘以因子。即乘以因子tjwe0v例例3-43-4已知矩形调幅信号如图所示已知矩形调幅信号如图所示其中其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，脉宽为 ，试求其频谱。，试求其频谱。)cos()()(0twtGtf0t2)(tfE2解：解：G(t)矩形脉冲的频谱为：矩形脉冲的频谱为：0w2)(wGE)2

45、()(wSaEwG根据频移特性：根据频移特性：f(t)的频谱的频谱F(w)为为2)(22)(2)(21)(21)(0000wwSaEwwSaEwwGwwGwF其频谱图为：其频谱图为：w00w20w)(wG2E0wv例例3-53-5已知余弦信号已知余弦信号利用频移定理求利用频移定理求其频谱。其频谱。)cos()(0twtf解：已知直流信号的频谱是位于解：已知直流信号的频谱是位于w=0点的冲激函数，即点的冲激函数，即)(2)(1)(wwFtfFT利用频移定理，可求得利用频移定理，可求得)()()()cos()(000wwwwwFtwtfFT其频谱位于其频谱位于0,频谱图如下：频谱图如下：w0w0w

46、0)(wF余弦、正弦信号即为单频信号。余弦、正弦信号即为单频信号。(10)f( )( )tF 微分性：若F( )( )( )( )nnnnnnf tddtjtFFfdtjd 则，FFv傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(9)f( )( )tF 若积分性：F ( )( )( )( )( )(00)tFfFfdtjtjdtfF 则，FFv例子例子已知单位阶跃信号已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换的傅里叶变换利用时域微分定理，求利用时域微分定理，求 (t)及及 (t) 。)(1)(wjwtu解：解：1)(1)()(wjwjwdttdutFTjwjwdttdtFT1)()( v例例3-63-6已知三角

47、脉冲信号已知三角脉冲信号利用微分特性求其频谱利用微分特性求其频谱F(w).)2(0)2()21 ()(tttEtf解：解：f(t)的波形如右的波形如右tdttdf)(E022t)(tfE022求导求导再求导再求导t22)(dttfdE2022E2E4求其频谱求其频谱最后求出最后求出f(t)的频谱的频谱F(w).将将f(t)取一阶与二阶导数：取一阶与二阶导数：2)20(02)02(2)(ttEtEdttdf)(2)2()2(2)(22tttEdttfd求出二阶导数的频谱求出二阶导数的频谱F2(w).)()()()()()()(22222wFwwFjwwFdttfdwFtfFTFT求得求得f(t)

48、的频谱为：的频谱为：22)()(22222jwjwFTeeEwFdttfd)(2)2()2(2)(22tttEdttfd)(1)(22wFwwF)4(2)4(4sin24sin4222cos2222)(22222222wSaEwwEwwEwwEeewEwFjwjw其频谱图其频谱图02E)4(2)(wSaEwF4848wv例例3-73-7求下列截平斜变信号的频谱求下列截平斜变信号的频谱)()0(1)2(0)(000ttttttttf解：利用积分特性求解：利用积分特性求y(t)的频谱的频谱Y(w).已知：矩形脉冲信号已知：矩形脉冲信号f(t) ，其积分就是，其积分就是y(t)t)(tf01t00t

49、ttdfty)()(100t求积分求积分通过积分特性通过积分特性求其频谱求其频谱最后求出最后求出y(t)的频谱的频谱Y(w).已知矩形脉冲信号已知矩形脉冲信号f(t)的频谱的频谱根据积分特性求出根据积分特性求出y(t)的频谱的频谱Y(w).01)0(F)(1tft01t020t20tt)(tf01t00t时移时移)2()(01wtSawF200)2()(tjwewtSawF时移时移tdfty)()()()2(1)()0()(1)(200wewtSajwwFwFjwwYwtj作业P168 3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，3-30

50、，第八节第八节卷积特性卷积特性（卷积定理）（卷积定理）卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位应在通信系统和信号处理中的重要地位应用最广。所以单独以一节来讲。用最广。所以单独以一节来讲。共分二个定理：共分二个定理：时域卷积时域卷积定理定理频域卷积频域卷积定理定理卷积特性卷积特性v、时域卷积定理、时域卷积定理给定两个时间函数给定两个时间函数已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (w w) )

51、F F( (w w) )F F( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1F FT T2 21 1 则：则：时域卷积时域卷积频域相乘。频域相乘。即：两个时间即：两个时间函数卷积的频谱函数卷积的频谱等于各个时间函数等于各个时间函数频谱的乘积。频谱的乘积。v证明：证明：根据卷积定义根据卷积定义 dtfftftf)(*)()(*)(2121则：则：)()()()()()()()()(*)()(*)(211221212121wFwFdefwFdewFfddtetffdtedtfftftfjwjwjwtjwtFT v、频域卷积定理、频域卷积定理给定两个时间函数给定两个时间函数已知：已知：

52、)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1( (w w) )F F( (w w) )F F2 21 1I IF FT T2 21 1 则：则：频域卷积频域卷积时域相乘。时域相乘。即：两个时间即：两个时间函数函数频谱频谱的卷积的卷积等效于各个时间函数等效于各个时间函数的乘积（乘的乘积（乘以系数）。以系数）。2 21 1v例例3-3-已知余弦脉冲信号已知余弦脉冲信号 )2(0)2()cos()(tttEtf解：把余弦

53、脉冲信号看成是矩形脉冲信号解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号(t) 与周期余弦信与周期余弦信号相乘。号相乘。t)(tfE022 利用卷积定理求其的频谱。利用卷积定理求其的频谱。t)(tfE022 t)(tGE022 乘乘以以等等于于t tcos1022 时域：时域：频域：频域：w tF cos)(0 )(0w2)(wGE2 40w3)(wFE23 5卷卷积积等等于于已知：已知：)cos()()(ttGtf )2()(wSaEwG )()()cos( wwtFT 2)(22)(2)()(*)(21)cos()(wSaEwSaEwwwGttGFT化简得：化简得： 2)(1)2cos(2)(wwE

54、wFv例例3-3-题目同例已知三角脉冲信号题目同例已知三角脉冲信号利用卷积定理求其频谱利用卷积定理求其频谱F(w).)2(0)2()21 ()(tttEtf解：两个同样矩形脉冲的解：两个同样矩形脉冲的卷积卷积即为三角脉冲。如下：即为三角脉冲。如下：t)(tfE022卷积卷积tE2044 )(tG等于等于tE2044 )(tG时域卷积等于频域相乘。时域卷积等于频域相乘。乘以乘以等于等于0w8)(wG2E4 40w3)(wFE23 50w8)(wG2E4 4即求出三角脉冲的频谱即求出三角脉冲的频谱F(w).)4(22)(wSaEwG )4(2)4(22)()(222wSaEwSaEwGwF v补充

55、例子补充例子3.3.：)F()(的求图示信号tf -2 -1 0 1 2 t f(t) 2 按定义求傅里叶变换）法解：（11012211)(其它tttfdttfjFetj)()(dtdtdteeetjtjtj211112211112111eeetjtjtjjjjeeeejjjjj221 SaSa224质求利用傅里叶变换线性性）法解：（2 SaSatgtgF224)()(22)()()(42tgtgtf 24)(2)(2)(42SatgSatgSaEtEg，即请同学们画出频谱图请同学们画出频谱图 422FSaSa用画出频谱图：用画出频谱图：v补充补充3.3.：已知f(t)=g2(t)cos(50

56、0t)，求其频谱函数cos(100t)cos(1000t)()500cos()(2tgttf1（）法 利用傅里叶变换线性性和频移性求)(212500500tgeetjtjeetjtjtgtg50025002)()(21v 解： 2( )( )22g tSag tSa即50050022( )2500( )2500jtjtg tSag tSaee， 500500SaSaF )500()500(2122GGF利用信号的调制作用求）法解：（2)()500cos()(2tgttf Satg2)(2 500500SaSaFv频谱图频谱图 500500FSaSa Sav补充例子补充例子3.3.：)F(12)

57、(2的求信号ttf222et212et即对称性求解：利用傅里叶变换的)(2)()()(ftFFtfeF 2)(v频谱图：频谱图：22( )1f tteF 2)()F()4cos(sin)(的求信号ttttf频移性和对称性求解：利用傅里叶变换的 sin22)(2 Satg)()(212sin22ggtt)(2)()()(ftFFtfv补充例补充例. .：eetjtjtttf4421sin)(22( )(4)(4)2Fgg000f( )(),0jttFe F)F()(的求图示信号tfv补充例补充例3.3.：)(tft时移性和微积分性求解：利用傅里叶变换的) 1() 1() 1(1211)(tutu

58、tuttf性即不可直接套用微积分, 01)(f) 1() 1() 1() 1(21)(, 1)(21tutututtftf设) 1() 1() 1(121) 1() 1(21)(2tttttututf tg221 112ft Satg22 ，)0( )( )( )(FjFdftft 22( )f tFSa 22( )( )(0)Saf tFSaj ， jSa)( 12( )( )2(0)f tFFFSaSaj ， 3)(jSav频谱图：频谱图：()()3S aFj ()()3SaFj作业P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九节第九节周期信号的周期信号的傅里叶变换傅里叶变换一、周期

59、信号的傅里叶变换一、周期信号的傅里叶变换 周期信号周期信号-傅里叶级数傅里叶级数非周期信号非周期信号- 傅里叶变换傅里叶变换周期无穷大周期无穷大求和变求积分求和变求积分 周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。目的：目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。使傅里叶变换得到广泛应用。v1.正弦、余弦周

60、期信号的傅里叶变换正弦、余弦周期信号的傅里叶变换 111cos()()()t ：余弦信号F111sin()()()tj 正弦信号：F000f( )(),0jttFe F21( ) t F000,02()jte Fv频谱频谱0ttwtf1cos)( 10ttwtf1sin)( 1w0w0w0)(wFw0w0w0)(wjF v例子例子0t2)(tfE2其频谱图为：其频谱图为：w00w20w)(wG2E0w有限长的余弦信号有限长的余弦信号 有限长余弦信号有限长余弦信号f0(t)的宽度的宽度 增大时，频谱增大时，频谱F0( )越来越集中越来越集中到到1的附近，当的附近，当 ，有限长余弦信号就变成无穷长