北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习

1、北京市西城区重点中学2021-2021 学年度其次学期初三数学中考复习图形变换复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换. 通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图 形简洁化、一般图形特殊化, 分散条件集中化. 从图形变换的角度摸索问题, 可以整体把握图形的性质 , 解决问题的思路更加简明、清楚. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度分析图形,更简洁发觉不变量和特殊图形.一、 20xx年考试说明的要求考试内容考试要求abc图形明白平移的概念;懂得的平平移的基本性质.移能画出简洁平面图形平移后的图形 ; 能利用平移的性质解决有关简洁问题 .运 用 平 移 的 有 关内 容 解 决 有 关

2、 问题图图形形的轴的对称变化图形的旋转明白轴对称的概念 ; 懂得 轴 对 称 的 基 本 性 质 ;明白轴对称图形的概念 .熟悉平面图形关于旋转 中心的旋转; 懂得旋转的基本性质; 明白中心对称、中心对称图形的 概念 ; 懂得中心对称的基本性质 .能画出简洁平面图形关于给定 对称轴的对称图形; 探究等腰三角形、矩形、菱形、正多边 形、圆的轴对称性质; 能利用轴对称的性质解决有关简洁问 题.能画出简洁平面图形关于给定 旋转中心的旋转图形; 探究线段、平行四边形、正多边形、 圆的中心对称性质; 能利用旋转的性质解决有关简洁问题.运 用 轴 对 称 的 有关 内 容 解 决 有 关问题运 用 旋 转

3、 的 有 关内 容 解 决 有 关 问题二、图形变换在近年中考中的出现方式显性 : 题目以图形变换的语言表达或图形本身具有变换的特点.隐性 : 解决问题时需利用图形变换的观点分析和摸索, 并能适当添加帮助线构造所需图形.三、对图形变换的熟悉过程1. 把握图形变换的概念和性质;2. 对已学图形和常用帮助线的再熟悉:(1) 从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.(2) 从图形变换的角度分析添加帮助线后构造出的图形性质.3. 把握基本帮助线:(1) 中点、中线 中心对称 倍长中线 中位线(2) 等腰三角形、角平分线、垂直平分线 轴对称 截长补短 ;(3) 平行四边形、梯形

4、平移 ;(4) 正多边形、共端点的等线段 旋转 ;4. 利用图形变换的观点分析和摸索问题并能适当添加帮助线构造特殊图形.5. 用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题, 用变换的观点争论函数的平移和对称.四、复习建议1. 基本概念明晰平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只转变图形的位置, 不转变图形的外形和大小.由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.(1) 平移、轴对称、旋转平移轴对称旋转相同点都是全等变换, 即变换前后的图形全等.把一个图形沿某一方定向移动肯定距离的图义形变换 , 叫.图把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫 .把一个图形围着某肯定点转动一个角度的图形变换叫.aa&#

5、39;形aa'aa'b'cbcc'不b'b同点cc'b'bc'oaa'要平移方向素平移距离连接各组对应点的线性段平行 或共线 且相质等.对称轴任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.旋转中心、旋转方b'向、旋转角度cb对应点到旋转中心的距离c'相等 ; 对应点与旋o转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即: 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.(2) 旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转旋转 180°, 满意旋转的性质, 由旋转的性质可以得到中心对称性质 .旋转中心对称b'a'图c

6、'a形obcc'b'aoa'cb对应点与旋转中心所连线段的夹1对称点所连线段都经过对称中心.性角等于旋转角.质2对应点到旋转中心的距离相等.对称点所连线段被对称中心所平分.3旋转前、后的图形全等.关于中心对称的两个图形是全等图形2. 三种变换之间的一些联系.连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换.以两相交直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现旋转变换.例: 已知 abc, 直线 pq、pr, 作 abc 关于 pq 的对称图形a'b'c' , 再作 a'b'

7、c' 关于 pr 的对称图形 a''b''c'' , 就 abc 与 a''b''c'' 的关系是以p 为中心将 abc 旋转 2qpr 得到 a''b''c''. 由此可知 , 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 就可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.3. 1常见的平移有 : 平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.(2) 涉及到 “对称 ”均可考虑对称变换.如沿等腰三角形的底边上的高翻折, 沿角的平分线翻折等.(3) 常用

8、到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60o, 绕正方形的一个顶点旋转90o、 绕等腰三角形的顶点旋转, 旋转角等于等腰三角形的顶角等.五、专题复习平移变换1. 2021 湖北黄冈 如图 , 把 rt abc 放在直角坐标系内, 其中 cab=90°, bc=5, 点 a、b 的坐标分别为 1, 0 、4, 0 ,将 abc 沿 x 轴向右平移 , 当点 c 落在直线y=2 x 6 上时 , 线段bc 扫过的面积为 ca. 4b. 8c. 16d. 822. 如图 , 在梯形 abcd 中, ad bc, b=90 °, c=45 °, ad =1, bc=4,yc

9、oabxe 为 ab 中点 ,ef / dc 交 bc 于点 f , 求 ef 的长 3223. 2007 北京 如图 , 已知 abc.(1) 请你在 bc 边上分别取两点d , ebc 的中点除外 , 连结 ad , ae, 写出访此图中只存在两对 面积相等的三角形的相应条件, 并表示出面积相等的三角形;(2) 请你依据使 1 成立的相应条件, 证明 ab +ac > ad+ae.faaagbcbdecbdec4. 如图 , 在 rt abc 中, ad=bc, cd =be.求 boe 的度数 .45bbfboeoeaoeadc dca dcffb fboeoeadcadc轴对称变

10、换 轴对称运算5. 2021 怀柔二模 如图 a , 有一张矩形纸片abcd , 其中 ad =6cm, 以 ad 为直径的半圆 , 正好与对边 bc 相切 ,将矩形纸片abcd 沿 de 折叠 , 使点 a 落在 bc 上, 如图 b, 就半圆被掩盖部分阴影部分 的面积为 934a3 .2dbcad6. 2021 江苏南京 如图 , 菱形纸片abcd 中,f a=60 , 将纸片折叠 , 点 a、 d 分别落在 a' 、d'处,accfe且 a'd'经过 b, ef 为折痕 , 当 d' fcd 时,的fd值为 aa'bd'a. 312

11、b.3c.23166d .3187. 1如图 , 在直角坐标系中, 将矩形 oabc 沿 ob 对折 , 使点 a 落在点 a 处, 如 oa =3 ,ab1 , 就点 a' 的坐标是多少 .3 , 3 222如图 , 把矩形纸片oabc 放入平面直角坐标系中, 使 oa、oc 分别落在x 轴、 y 轴上 ,连结 ob,将纸片 oabc 沿 ob 折叠 , 使点 a 落在 a'的位置 , 如 ob =5 , tanboc1 ,2就点 a' 的坐标是多少.ya'yyc bya'cbcba'cba'oaxoaxoaxoax 最短路径问题基本图

12、形已经归纳总结在总复习书中8.2021 天津 在平面直角坐标系中, 矩形 oacb 的顶点 o 在坐标原点 , 顶点 a、b 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,oa3,ob4 , d 为边 ob 的中点 . 如 e 为边 oa 上的一个动点, 当 cde 的周长最小时, 求点 e 的坐标 ; 1, 0yybcbcddoeaxoaxd' 如 e 、 f 为边 oa 上的两个动点 , 且 ef2 , 当四边形 cdef 的周长最小时,求点 e 、 f 的坐标 .1 , 0, 37 , 039. 如图 1, 已知等边 abc 的边长为1, d 、e、f 分别是 ab、bc、ac 边上的点 均

13、不与点a、b、c 重合 , 记 def 的周长为p .(1) 如 d、e、f 分别是 ab、bc、ac 边上的中点 , 就 p = ;32(2) 如 d、e、f 分别是 ab、bc、ac 边上任意点 , 就 p 的取值范畴是.3 p < 32小亮和小明对第2 问中的最小值进行了争论, 小亮先提出了自己的想法: 将abc以ac 边为轴翻折一次得 ab1c, 再将 ab1c以 b1c 为轴翻折一次得 a1 b1c, 如图2 所示 .就由轴对称的性质可知,dffe1e1d2p , 依据两点之间线段最短, 可得pdd 2 . 老师听了后说 : “你的想法很好, 但 dd 2 的长度会因点d 的位

14、置变化而变化, 所以仍得不出我们 想要的结果 . ”小明接过老师的话说: “那我们连续再翻折3 次就可以了 ”请.参考他们的想法,写出你的答案.aad1b1dfdfe1d2becbe图 1cf1a1图 2 轴对称证明题10. 2021 西城 已知 : 在如图 1 所示的锐角三角形abc 中, ch ab 于点 h , 点 b 关于直线ch 的对称点为d, ac 边上一点e 满意 eda =a, 直线 de 交直线 ch 于点 f(1) 求证 : bf ac;(2) 如 ac 边的中点为m , 求证 :df2em ;(3) 当 ab=bc 时如图 2 , 在未添加帮助线和其它字母的条件下, 找出

15、图 2 中全部与be 相等的线段 , 并证明你的结论图 1图 2旋转变换 旋转变换的常见应用 一 以等边三角形为背景的旋转问题11.如图 , c 为 bd 上一点 ,分别以 bc, cd 为边向同侧作等边abc 与 ecd , ad, be 相交于点 m .探究线段be 和 ad 的数量关系和位置关系. 在图中你仍发觉了什么结论.当 ecd 绕点 c 在平面内顺时针转动到如下列图的位置时, 线段 be 和 ad 有何关系 .在转动的过程中, 特殊是在一些特殊的位置, 你仍会发觉什么结论. 有哪些结论是不随图形位置的变化而转变的呢.如图 , a、d、e 在始终线上 , abc 、 cde 是等边

16、三角形 , 如 be=15cm, ae=6cm,求 cd 的长度及 aeb 的度数 .9cm, 60 °aaameemedbcdbcbcd12. 如图 , d 是等边 abc 内一点 , 将 adc 绕 c 点逆时针旋转 , 使得 a、 d 两点的对应点分别为 b、e, 就旋转角为 _60 _, 图中除 abc 外 , 仍有等边三角形是_dec .13. 已知 e 为正 abc 内任意一点 . 求证 : 以 ae、be、ce 为边可以构成一个三角形.如 bec =113 , aec=123 ,求构成三角形的各角度数.63 , 53 , 64aaaddeebcbcebc第 12 题图第

17、 13 题图14. 如图 , abc 是等边三角形, bm = 2, cm = 3, 求 am 的最大值、最小值.5, 1aaacbcbmmm'm'mbc 二 以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题15. 如图 , b,c,e 是同始终线上的三个点, 四边形 abcd 与四边形cefg 都是正方形 .连接 bg,de.(1) 探究 bg 与 de 之间的大小关系, 并证明你的结论;(2) 当正方形cefg 绕点 c 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时 , 线段 bg 和 ed 有何关系 . 在转动的过程中, 特殊是在一些特殊的位置, 你仍会发觉什么结论 . 有哪些结论是不随

18、图形位置的变化而转变的呢.a dadgfgfb cebce图图16. 如图 1, 已知点 d 在 ac 上, abc 和 ade 都是等腰直角三角形, 点 m 为 ec 的中点 .(1) 求证 : bmd 为等腰直角三角形.(2) 将 ade 绕点 a 逆时针旋转 135 , 如图 2, 1中的 “ bmd 为等腰直角三角形”成立吗 .(3) 我们是否可以猜想, 将 ade 绕点 a 任意旋转肯定的角度, 如图 3, 1 中的 “ bmd 为等腰直角三角形 ”均成立？ 不用说明理由 .图 1图 2图 3 三 以一般等腰三角形为背景的旋转问题17. 1 如图 , 已知在 abc 中 , ab=a

19、c, p 是 abc 内部任意一点, 将 ap 绕 a 顺时针旋转至aq,使 qap = bac, 连接 bq、cp.求证 : bq = cp.q2如图 ,将点 p 移到等腰三角形abc 之外 , 1 中的a条件不变 ,“bq=cp”仍成立吗 .aqppbcbc图图18. 在等腰 abc 中, ab=ac, d 是 abc 内一点 , adb = adc .求证 : dbc =dcb .小结 : 1只要图形中存在公共端点的等线段, 就可能形成旋转型问题.2 当旋转角是60 时 , 作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形; 当旋转角是90 时, 存在等腰直角三角形. 反之 , 假如图形中存在两个

20、等边三角形或等腰直角三角形, 可以从图形旋转的角度分析图形关系. 旋转变换在综合题中的应用19. 在 rtabc 中, acb=90 °, tan bac =1 , 点 d 在边 ac 上不与 a, c 重合 ,2连结 bd , f 为 bd 中点 .(1) 如过点 d 作 de ab 于 e, 连结 cf、 ef、ce, 如图 1 设 cfkef , 就 k =;1(2) 如将图 1 中的 ade 绕点 a 旋转 , 使得 d、 e、b 三点共线 , 点 f 仍为 bd 中点 ,如图 2 所示 . 求证 : bede = 2cf ;(3) 如 bc=6, 点 d 在边 ac 的三等

21、分点处, 将线段 ad 绕点 a 旋转 , 点 f 始终为 bd 中点 ,求线段 cf 长度的最大值.4 - 35aaadeedffcbcbcb图 1图 2备图20. abc 和 dbe 是绕点 b 旋转的两个相像三角形, 其中abc 与dbe 、 a 与d 为对应角 .(1) 如图 1, 如abc 和dbe 分别是以abc 与dbe 为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点b、c、d 在同始终线上的位置时, 请直接写出线段ad 与线段 ec 的关系 ; 垂直相等(2) 如abc 和dbe 为含有 30 角的两直角三角形, 且两个三角形旋转到如图 2 的位置时 , 试确定线段ad 与 e

22、c 线段的关系 , 并说明理由 ;adec ,ad3ec3ecdec3030dcdabeabab图 1图 2图 3(3) 如abc 和 dbe 为如图 3 的两个三角形 , 且 acb = , bde = , 在绕点 b 旋转的过程中 , 直线 ad 与 ec 夹角的度数是否转变 . 如不转变 , 直接写出用含 、 的式子表示夹角的度数 ; 如转变 , 请说明理由 . 180°- 21. 2021 北京 请阅读以下材料 :问题 : 如图 1, 在菱形 abcd 和菱形 befg 中, 点 a, b, e 在同一条直线上 , p 是线段 df 的中点 ,连结 pg, pc. 如abc

23、=bef = 60 , 探究 pg 与 pc 的位置关系及pg 的值 . pc小聪同学的思路是: 延长 gp 交 dc 于点 h , 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路, 探究并解决以下问题:(1) 写出上面问题中线段pg 与 pc 的位置关系及pg 的值 ; pc(2) 将图 1 中的菱形befg 绕点 b 顺时针旋转 , 使菱形 befg 的对角线bf 恰好与菱形abcd 的边 ab 在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变如图 2 . 你在 1中得到的两个结论是否发生 变化 . 写出你的猜想并加以证明.(3) 如图 1 中abc =bef = 20< < 90 , 将菱形 befg 绕点 b 顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变, 请你直接写出pg 的值 用含 的式子表示 . pcdcpfgabedcpgabfe图 1图 2函数与变换22. 2021 房山二模 已知关于x 的一元二次方程x2 3x + k 1 = 0 有实数根 , k 为正整数 .(1) 求 k 的值 ;(2) 当此方程有两个不为0 的整数根时 , 将关于x 的二次函数y = x2 3x + k 1 的图象向下平移2