北京四中---高中数学高考综合复习专题十七算术平均数与几何平均数

1、学习必备欢迎下载高中数学高考综合复习专题十七算术平均数与几何平均数一、学问网络二、高考考点+b 1、运用重要不等式a222ab（ a、br）或（ a、b r+）判定或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范畴；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型；三、学问要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质 ”和“运算性质 ”两个类别；1、关于不等式的“基本性质 ”（ 1）对称性：a>bb<a（ 2）传递性：a>b,b>ca>

2、c（ 3） “数加 “法就： a>ba+c>b+c推论： a+b>ca>c-b（移项法就）（ 4） “数乘 ”法就： a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc2、关于不等式“两边运算 ”的性质（ 1）同向不等式两边“相加 ”： a>b,c>da+c>b+d;（ 2）同向的正数不等式两边“相乘 ”： a>b>0 ， c>d>0ac>bd ；学习必备欢迎下载>b（ 3）正数不等式两边“乘方 ”： a>b>0ann*>0nn ;（ 4）正数不等式两边“开方 ”

3、认知：上述全部不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（ 1）； 1（ 3）； 1（ 4）及其 2（ 3）； 2（ 4）（二）基本定理及其推论定理 1：假如 a,br，那么 a2+b2 2a（b当且仅当a=b 时等号成立）推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b 时等号成立）2定理 2：假如 a,br+，那么（当且仅当a=b 时等号成立）,就（ a+b）推论 1（和的平方不等式）：如a,br+ 4ab（当且仅当a=b 时等号成立）推论 2（最值定理）：设x,y 均为正数，就（ 1）当积xy 为定值 p 时，和 x+y

4、 有最小值（当且仅当x=y 时取得）；（ 2）当和x+y 为定值 s 时，积有最大值（当且仅当x=y 时取得）；四、经典例题例 1（ 1）如 x,yr+且的最大值 .（ 2）如 x,y r 且 xy>0 ， x2 y 2，求 u xy x2 的最小值 .分析：留意运用最值定懂得题的要领：一正二定三相等（ 1）欲求积的最大值，第一致力于“凑因子 ”，为凑出已知条件下“和为定值 ”的正数之积而变形u，如 u的表达式的部分因子在根号外，就可考虑使这一部分进入根号或考察u2：（ 2）欲求和xy+x 2 的最小值，第一致力于“凑项 ”，为凑出已知条件下“积为定值 ”的正数之和而变形u，如有可能，将

5、u 化为一元函数，问题分析会更明朗一些；解：（ 1）留意到这里x>0 ， u>0 ，学习必备欢迎下载=（当且仅当）时等号成立）；（ 2）由已知得=3 当且仅当时成立 umin =3（当且仅当x=1 且 y=2 时取得）点评：遇 “积”凑因子，在主体部分凑出“如干因子之和为定值”的形式；遇 “和”就凑项， 在主体部分凑出“如干项之积为定值”的形成， 完成此番设想后， 进而再考察有关各数“相等 ”的可能性；例 2（ 1）如 x,y,a,br+， ab，且，求 u x+y 的最小值；（ 2）如 0<x<1 ， a， b 为常数，且ab>0，求的最小值 .分析：对于（ 1

6、）如何利用,这一条件通常用法多是作“1的替换 ”或作 “三角替换 ”；对于（ 2），留意到这里0<x<1 ，并且两个分母之和为1：x+1-x=1, 在 1 的基础上易于寻出解题思路；解：学习必备欢迎下载（ 1）解法一（利用“1的替换 ”）： x,y,a,br+解法二（运用“三角替换 ”）：留意到令， y=bcsc 就有 x=asec22 u= asec22 +bcsc=atan 2 +bco2t +a+b当且仅当atan2 2bcot 时等号成立 2 留意到这里0<x<1 ，且 x+1-x=1 ，令 x=cos 22就, 1-x=sin 当且仅当时等号成立） ymin

7、=a+b 2 当且仅当时取得 学习必备欢迎下载点评 :对于 1,是明显的 ;对于 2,x+1-x=1是隐藏的，今后解决函数或代数的其它问题,也要留意认知并利用问题中隐藏的等量关系或不等关系；例 3（ 1）设 a,b,c 是 rtabc 的三边， c 为斜边之长，且a+b+c=4, 试求 c 的取值范畴；（ 2）设三个数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=1 ，试求b 的取值范畴；分析：在肯定条件下求某个变量的取值范畴，基本解题思路有二：(i) 由已知条件与重要不等式导出关于的不等式，而后由这一不等式解出的取值范畴；（ ii ）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外

8、结合推导的取值范畴；解：（ 1）由已知得c2 =a2+b2 利用三角形的特别性4-c=a+b（以 c 为主元整理或变形）留意到a,br+且满意2（ a2+b 2） a+b2 4-c将，代入得2c22再留意到这里a+b>c 利用三角形的一般性质a+b+c>2c又 a+b+c=4 c<2于是由、得所求c 的取值范畴为=ac（ 2）由已知得b21-b=a+c 以 b 为主元整理或变形为利用重要不等式而争论：由题设知a、c 同号（ i ）当 a,c 同为正数时，当且仅当a=c 时等号成立 由得a+c2|b|再由得1- b2|b|2|b|+b 1如 b>0 ，就由得；如 b<

9、;0 ， 就由得-1b<0由解得-1b<0 或学习必备欢迎下载(ii) 当 a,c 同为负数时，由、得1-b-2|b|2|b|-b-1 无解于是综合（i）（ ii ）得所求b 的取值范畴为-1 ， 0）（ 0，点评：（ 1）、（ 2）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平均数大小的不等式导出有关变量 的取值范畴，这也展现了这一类问题的基本解法；例 4（ 1）已知a>b>c，不等式恒成立，求k 的最大值（ 2）已知x,yr+,且不等式恒成立，求a 的最小值分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式；解

10、：（ 1） a>b>c原不等式恒成立恒成立令就ku的最小值又 分子主动与分母沟通联系4 （当且仅当时等号成立） umin =4 当且仅当a+c=2b 时取得 于是由、得k4，即 k 的最大值为4（ 2）不等式恒成立学习必备欢迎下载恒成立恒成立 为便于利用重要不等式而变形恒成立 化生为熟转化胜利令就au的最大值 x， y r+ 当且仅当x=y 时等号成立 当且仅当x=y 时等号成立当且仅当x=y 时取得 于是由、得，即 a 的最小值为例 5已知 a,br+，且 a+b=1，求证：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）学习必备欢迎下载（ 6）分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用

11、是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面=1 代入；（ i ）直接代入：以a+b=1 或（ a+b ） 2（ ii ） 换元转化：令a=cos2 ,（ iii ）借助 “外因 ”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延长；联想 1：由已知等式本身联想重要不等式： a,br+，且（ 1）由左边a+b 联想重要不等式（当且仅当a=b 时等号成立）（当且仅当a=b 时等号成立）（当且仅当a=b 时等号成立）（ 2）（当且仅当a=b 时等号成立）联想 2：由已知等式的等价变形联想重要不等式（当且仅当a=b 时等号成立）（当且仅当a=b 时等号成立）学习必备

12、欢迎下载这与联想1 中推出的结果殊途同归.对已知条件作以上挖掘延长之后,再证明所给例题便是水到渠成；证明：（ 1）证法一 分析转化、化生为熟：原不等式又不等式（* ）成立，原不等式成立；证法二：（化整为零，化隐为明）；留意到当且仅当时等号成立同理当且仅当时等号成立 当且仅当时等号成立(2) 利用前面的推论，左边(3) 略(4) 利用前面的结论,左边学习必备欢迎下载当且仅当时等号成立(5) 利用前面的推论得为了构造同向不等式,对左边配方 :左边当且仅当时等号成立 当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立 (6) 解法一 : 为了构造 “同向不等式 ”硬性提取后再作变形 :左边 当且

13、仅当时等号成立 学习必备欢迎下载当且仅当时等号成立 左边 当且仅当时等号成立 解法二 :仿5之解法 ,留给同学们练习点评 （ 1 的证明告知我们,对于感觉生疏的不等式的证明,要留意通过等价变形来认知它的原来面目;其它问题的证明就告知我们 ,条件不等式的证明中,已知条件延长的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用；例 6、（ 1）已知x,yr+ ，且 x+y=1 ，试求(i) 的最小值；（ ii ）的最小值；（ 2）已知a,br+，且 a3+b3 =2，求证：（ i） ab1; iia+b2分析：对于（ 1）本质上是例5 （ 5）（ 6）的改作题；对于（ 2

14、），仍可仿照样5 中已知条件的延长手法来寻找解题思路解：（ 1）从略(2) 证明：留意到已知条件a3+b3=2a+ba 2 +b2-ab=2(i) 由式左边联想重要不等式a2+b2 2ab由得a2+b 2-ab ab>0由得 当且仅当a=b=1 时等号成立 由、得（当且仅当a=b=1 时等号成立）（ ii ）由式左边联想重要不等式学习必备欢迎下载由、得8（ a+b ） 3 当且仅当a=b=1 时等号成立 a+b2当且仅当a=b 时等号成立 命题得证+b点评：前事不忘，后事之师，学习中要留意学问、方法与策略的迁移，对于（2），也可以依据已知条件a33=2“实施等量替换”，只是成效不肯定抱负

15、，事实上，设就；（ i ）得证；而 a+b2就难以证明 ,同学们不妨一试.五、高考真题1 、（ 2004 辽宁卷） 对于 0<a<1, 给出以下四个不等式：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）其中成立的是（）a.1 与（ 3）b. （ 1）与（ 4）c.（ 2）与（ 3）d. （ 2）与（ 4）分析：从0<a<1 入手去比较1+a 与的大小 0<a<1又当 0<a<1 时， y=log ax 为减函数当 0<a<1 时， y=ax 为减函数，于是由（ * ）、（ * ）知此题应选d学习必备欢迎下载2 、（ 2004 全国卷 ii ）： 已

16、知 a2 +b22=1,b +c2=2,c22+a =2,就 ab+bc+ca 的最小值为（）a.分析：为建立“已知 ”与“目标 ”的联系，考察已知三式的和：将与已知各式联立，解得即留意到欲求ab+bc+ca 的最小值，只需a、b 同号且c 与它们反号 ab+bc+ac 的最小值为应选b3 、（ 2005 湖南卷） 集合b=x|x-b|<a ，如 “a=1”是“ab”的充分条件，就b 的取值范畴可以是（）a.- 2b<0b.0<b2c.-3<b<-1d.- 1b<2分析：从认知与化简集合a 、b 切入a= （ -1， 1），b= （ b-a,b+a ）当 a=1 时， b= （ b-1,b+1 ）此时，令b=0就 b= （-1 ， 1），明显ab，符合要求，由此否定a ， b ；令 b=-1 ，就 b= （ -2， 0）学习必备欢迎下载此时， ab= （ -1， 1） （ -2， 0）= （ -1， 0） ，符合要求，否定c.于是可知应选d.4 、（ 2005，天津卷）给出以下三个命题（ 1）如 ab>-1,就（ 2）如正整数m 和 n 满意 mn，就+y=9（ 3）设 px1,y1 为圆 01；x 22上任一点，圆o2 以 q（ a,b）为圆心且半径为1，当（ a-x 1） 22+