北京四中中考数学专练总复习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解

1、学习必备欢迎下载二次函数全章复习与巩固学问讲解（基础）【学习目标】1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上熟悉二次函数的性质；3会依据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴 公式不要求记忆和推导 ，并能解决简洁的实际问题；4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【学问网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，假如是常数，那么叫做的二次函数 .要点诠释：2假如 y=ax +bx+ca,b,c是常数， a0 ，那么y 叫做 x 的二次函数这里，当a=0 时就不是二次函数了，但b、c 可分别为零，也可以同时都为零要点二

2、、二次函数的图象与性质1. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：a的肯定值越大，抛物线的开口越小.；，其中；. （以上式子a0）几种特殊的二次函数的图象特点如下：学习必备函数解析式开口方向欢迎下载对称轴顶点坐标轴0 ， 0当时轴0 ，开口向上， 0当时，开口向下2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1的符号打算抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、外形相同.2 平行于轴 或重合 的直线记作. 特殊地，轴记作直线.3. 抛物线yax 2bxca0 中，a , b, c 的作用：(1) 打算开口方向及开口大小，这与中的完全一样 .(2) 和共同打算

3、抛物线对称轴的位置. 由于抛物线的对称轴是直线， 故：时，对称轴为轴； 即、同号 时，对称轴在轴左侧； 即、异号 时，对称轴在轴右侧 .(3) 的大小打算抛物线与轴交点的位置 .当时，抛物线与轴有且只有一个交点0 ， ：，抛物线经过原点；，与轴交于正半轴；，与轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在轴右侧，就.4. 用待定系数法求二次函数的解析式：(1) 一般式：（a0） . 已知图象上三点或三对、的值，通常挑选一般式.(2) 顶点式：（a0） . 已知图象的顶点或对称轴，通常挑选顶点式 . 可以看成的图象平移后所对应的函数.学习必备欢迎下载(3) “交点式

4、”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a0） . 由此得根与系数的关系：.要点诠释：求抛物线yax2bxc（ a 0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、 公式法、 代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应依据实际敏捷挑选和运用要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴 交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情形打算一元二次方程根的情形.(1) 当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，就方程有两个不相等实根；(2) 当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，就方程有两个相等实根；(3) 当二次函数

5、的图象与x 轴没有交点，这时，就方程没有实根.通过下面表格可以直观地观看到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象方程有两个不等实数解的解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定 .(1) 当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，就方程有两个不相等实根；(2) 当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，就方程有两个相等实根；(3) 当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，就方程没有实根.要点四、 利用 二次函数解决实际问题学习必备欢迎下载利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规

6、律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去争论问题. 在争论实际问题时要留意自变量的取值范畴应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1) 建立适当的平面直角坐标系；(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3) 用待定系数法求出抛物线的关系式；(4) 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大 小 值 如求最大利润、最大面积、最小周长等 、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等. 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式 .【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1已知二次函数的图象经

7、过原点及点1 ,1，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，24就该二次函数的解析式为【答案】y1 x21 x 或yx2x 33【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键由题意知另一交点为1 ， 0 或-1 ， 0 因此所求抛物线的解析式有两种设二次函数解析式为yax2bxc c0,就有11 a1 bc ，或c0,11 a1 bc,442442abc0abc0,a解之b c13a1,1，或b1,30c0.因此所求二次函数解析式为y121xx 或yx2x 33【点评 此题简洁出错漏解的错误举一反三：【高清课程名称：二次函数复习学习必备欢迎下载高清 id 号：357019关联的位置名称

8、（播放点名称）： 1 - （ 2）问精讲】2【变式】 已知：抛物线y=x +bx+c 的对称轴为x=1 ，交 x 轴于点 a、ba 在 b 的左侧 ，且 ab=4，交 y 轴于点 c.求此抛物线的函数解析式及其顶点m的坐标 .【答案】 对称轴x=1，且 ab=4抛物线与x 轴的交点为：a-1 ， 0 ， b3， 0b1b=-22c=-31bc02y=x -2x-3为所求 ,x=1 时 y=- 4m1， -4对称轴x=1，且 ab=4抛物线与x 轴的交点为：a-1 ， 0 ， b3， 0b1b=-221bc0c=-3y=x2-2x-3为所求 ,x=1 时 y=-4，m1， -4.类型二、依据二次

9、函数图象及性质判定代数式的符号2二次函数yax2bxc 的图象如图1 所示，反比例函数ya与正比例函数yb+cxx在同一坐标系中的大致图象可能是【答案】 b；【解析】 由yax 2bxc的图象开口向上得a 0，又b0 ，b 02a由抛物线与y 轴负半轴相交得c 0 a 0，ay的图象在第一、三象限x b+c0，y b+cx的图象在其次、四象限学习必备欢迎下载同时满意 ya和 ybc x 图象的只有bx【点评】 由图 1 得到 a、b、c 的符号及其相互关系，去判定选项的正误.类型三、数形结合3如下列图是二次函数yax2bxc 图象的 一部分，其对称轴为直线x 1，如其与x 轴一交点为 3 ，

10、0 ，就由图象可知，不等式ax2bxc0 的解集是 【思路点拨】依据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点a 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观看图象可得不等式ax2bxc0 的解集 .【答案】 x 3 或 x -1 ；【解析】 依据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点a3 ，0 知， 抛物线与 x 轴的另一个交点为-1 ，0 ，观看图象可知，不等式ax 2bxc0 的解集就是yax2bxc 函数值， y 0 时， x 的取值范畴当x 3 或 x -1 时， y 0，因此不等式ax2bxc0 的解集为x3 或 x-1 【 点 评 】 弄 清a x2b xc0 与 yax 2bxc

11、的 关 系 ， 利 用 数 形 结 合 在 图 象 上 找 出 不 等 式2axbxc0 的解集类型四、函数与方程4已知抛物线y1 x22xc 与 x 轴没有交点求 c 的取值范畴；试确定直线y【答案与解析】cx1 经过的象限，并说明理由（ 1）抛物线与x 轴没有交点，0，即 1 2c 0，解得 c 122 c 12，直线y= 12x 1 随 x 的增大而增大， b=1，直线y= 12x 1 经过第一、二、三象限.学习必备欢迎下载【点评】 抛物线 y举一反三：1 x22x c 与 x 轴没有交点，0，可求 c 的取 值范畴 .【变式 1】无论 x 为何实数，二次函数的图象永久在x 轴的下方的条

12、件是 abcd【答案】 二次函数的图象与 x 轴无交点，就说明y=0 时，方程无解，即又图象永久在x 轴下方，就 答案： b【变式 2】对于二次函数，我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点，就二次函数m 为实数 的零点的个数是a1b 2c 0d 不能确定【答案】 当 y=0 时，即二次函数的零点个数是2 应选 b.类型五、分类争论5已知点 a1 ， 1 在二次函数yx22axb 的图象上(1) 用含 a 的代数式表示b；(2) 假如该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标【思路点拨】2(1) 将 a1， 1 代入函数解析式2 由 b -4ac 0 求

13、出 a【答案与解析】(1) 由于点 a1 ， 1 在二次函数yx22axb 的图象上，所以11-2a+b ，所以 b2a(2) 依据题意，方程x22axb0 有两个相等的实数根，所以4a 24b4 a 28a0 ，解得 a 0 或 a 22当 a 0 时， y x ，这个二次函数的图象的顶点坐标是0 ， 0 当 a 2 时，y x24 x4x2 2 ，学习必备欢迎下载这个二次函数的图象的顶点坐标为2 ，0 所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为0 ， 0 或 2 ， 0 【点评】 二次函数yax2bc a0) 的图象与x 轴只有一个交点时，方程ax 2bxc0 有两个相等的实数根，所以b24ac

14、0 类型六、二次函数与实际问题6为了扩大内需，让惠于农夫，丰富农夫的业余生活，勉励送彩电下乡，国家打算对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴如干元，经调查某商场销售彩电台数y 台 与补贴款额 x 元 之间大致满意图1 所示的一次函数关系随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增大， 但每台彩电的收益z 元 会相应降低且z 与 x 之间也大致满意图2 所示的一次函数关系(1) 在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元.(2) 在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3) 要使该商场销售彩电的总收益 元 最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少 .并求出总收益的最大值【思路点拨】2 依题意设y k1x+800， zk 2x+200 分别将 400 ， 1200 和200 ，160 代入两式求出k1、k 2；3由题意 yz 【答案与解析】1在政府出台补贴措施前，该商场