勾股定理典型解题技巧及练习

1、细心整理欢迎下载专题复习一勾股定理常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,253、常见平方数：5,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,17112121 ；1221 4 4；1 321 6 9；142196 ；152225 ； 16225617 2289 ；18 2324 ；19 23 6 1；2024 0 0； 212441；2224842223529 ；2425 7 6；2526 2 5；2626 7 6； 277294、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由 a 2 +b 2 =c 2 可得a 2 = c 2 - b 2 =

2、c+b c-b（平方差公式）例如，已知c=61, b=60,就222a= c- b= 61+60 61-60 =121,就 a=11已 知 c=41, b=40, 就a 2 = c 2 - b 2 = 41+40 41-40 =81,就 a=9已 知 c=17, b=8, 就2a= c22- b= 17+8 17-8 =25 x 9=52 x 32= 5 x 3 2就 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；a如图， cd 为斜边 ab 的中线，过d 作 d eac于 e,dfbc于 f在 rt ade和 rtdbf 中，eddae=bdf ,ad=dbade=dbf

3、rt ade rt dbf ea=fd,有因 cedf 为矩形，fd=ce=ea=1/2 cacb rt ade rt cde cd=ad=db=1/2 ab6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半f7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点；该点称三角形的内心（内切圆圆心）；9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点；该点称三角形的垂心10、任意三角形三个边上的中线相交于一点；该点称三角形的重心；11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点；该点称三角形的外心（外接圆圆心）；12、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

4、，a-b c a+b13、三角形面积运算公式：s= 1 底边长 x高214 、垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；15 、点 a 沿某一条线段（ef）折叠至点b，折线 ef；就折线ef垂直平分线段ab；16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判定：依据勾股定理a 2 +b 2 =c 2 可判定 c 边的对角c 是否为直角；如 a 2 +b 2 >c 2 ， 就 c 为锐角；如 a 2 +b 2 =c 2就 c 为直角；如 a 2 +b 2 <c 2 ，就 c 为钝角；细心整理欢迎下载专题归类：专题一、勾股定理与面积在 rtabc 中，c=9

5、0 , a、b 为直角边， c 为斜边； h 为斜边上的高；就 rtabc 的面积：s= 12abs= 12h*c（公式）1) 已知任意两边长，求面积： 已知 a、b, 就 s=1/2 ab已知 a、c, 依据b2=c2-a2 ，开平方根得b值，利用s=1ab 求解2例题 1： 在 rt abc 中，c= 90 , a=3, 斜边 c=5，就 rtabc 的面积 s=；rtabc, a=3, c=5, 就 b=4,11s=ab=22x 3 x 4=6又如， 三条边分别是5,12,13 的三角形的面积是； 52+122 =25+144=169=132 该三角形为直角三角形，且5,12 为直角边1

6、1s=ab=22x 5 x12=302) 已知周长（ a+b+c）和斜边长c ，或已知（ a+b ）及 c，求面积 :在 rt abc 中， a+b2=a2+b2+2ab, c2 =a2+b2 a+b2-c2 =2ab因此 s= 1 ab= 1 a+b2-c2=1 a+b+c a+b-c244即s=1a+b+c a+b-c41x 周长 x 周长-2c（公式）4例题 2、始终角三角形周长为12 米，斜边长为 5 米，就这个三角形的面积为：；解 s=1 a+b+c a+b-c= 144x 12 x 12-5-5=6 m2 已知直角三角形的周长是2+ 6 ，斜边长 2，求它的面积；s= 1 a+b+

7、c a+b-c =41 2+6 x 2+6 -2-2=41 2+6 x 6 -2=41 x 6 2-2 2 =41 x 2=142 已知直角三角形的斜边中线为，面积为，求它的周长；rt abc中线为 5， 就斜边长 c 为 10,由 a+b 2 =a2 +b2+2ab, c2=a2 +b2得 a+b 2= c 2+2ab=100（+=14 a+b+c=24 已知直角三角形的周长是，面积为，求它的斜边长；2x2 x24）=196 a+bs= 1 x 周长 x 周长 -2c 42 =41 x 56 x 56-2c 56-2c=3 2c=53, c=53/24细心整理欢迎下载3) 已知 a、b，c，

8、（或已知a、b，依据勾股定理求出c），求高h.依据 rtabc 面积运算公式s= 12ab以及 s= 12abh*c得ab= hc h =c例题 3、在 rt abc中，c90，bc=8, ab=10, cd 是斜边的高，求cd的长？c90， ab 为斜边，且 bc=8, ab=10 直角边 ac=6abac * bc6 x 8h =cab=4.810练习： cd是直角三角形abc斜边 ab上的高，如ab=1，ac：bc=4：1，就 cd的长为（）； ab 为斜边，设ac=4x, bc=x,就 4x2 +x2=117x2=1,x2 =1/17ab在 rt abc 中， 斜边 ab 上的高 cd

9、=cacx bc ab= 4x2=4/174) 直线上摆正方形问题直线 l 上有三个正方形s1、s2、s3，如已知 s1 和 s3 的面积，就 s2 的面积为s2s3s1证明：在 rt abc 和 rtcde 中ab c90，bacbca90，cde90，dcedec90bcadceace =180°正方形 s2 中，ace90 ，ac=cebcadce =90°而dcedec90bca =dec又abc =cde =90°ac=cert abc rt cde bc=des2=ac 2=ab 2+bc2 =ab 2+de2而 s1=ab 2， s3=de2s2=

10、s1+ s3例题 4、在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如下列图 ；已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是s1、s2、 s3、s4，就 s1 s2 s3 s4 等于；解: s1+ s2=1,s3+ s4=332s1ss3s42s1+ s2+ s3+ s4= 1+3 = 41l细心整理欢迎下载8、有一块土地势状如图3 所示，bd90，ab=20 米， bc=15 米， cd=7 米，请计算这块土地的面积；（添加帮助线构造直角三角形）adbc图 39、如右图：在四边形abcd 中， ab=2 ，cd=1 ， a=60 °， b= d =90 &#

11、176;求四边形abcd 的面积；ad证明：延长 ad 和 bc 相交与点e a=6 0° ,b=90 °c e=30° ab=2ae=4,be 2=ae 2-ab 2=12bbe= 23 ，同理可知de=3sabe= 12x ab x be= 12x 2 x23 = 23scde=1x cd x de=21x 1 x32= 13ad2e就四边形 abcd的面积为s abe- scde= 33c2b10、如图 2-3 ，把矩形abcd沿直线 bd向上折叠，使点c 落在 c的位置上，已知ab=.4，bc=8，求：重合部分 ebd的面积c 'bd =cbd =

12、adbbe=de22222ae +ab=be=de=ad-ae22222ae +4 =8-ae=8 +ae-16ae16ae=64-16=48 ae=3s ebd=sabd-s1x 32-abe=21 x 3 x 4=102细心整理欢迎下载11、如图，分别以直角三角形abc 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用s1、s2、s3 表示，就不难证明s1=s2+s3 .(1) 如图，分别以直角三角形abc 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用s1、s2、s3 表示，那么 s1、s2、s3 之间有什么关系？不必证明 (2) 如图，分别以直角三角形abc 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用s1

13、 、s2、s3 表示，请你确定s1、 s2、s3 之间的关系并加以证明；(3) 如分别以直角三角形abc 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用s1、s2、 s3 表示，请你猜想 s1、s2、s3 之间的关系 .专题二、勾股定理与折叠点 a 沿某一条线段（ef）折叠至点b，折线 ef；就折线ef 垂直平分线段ab1、有一个直角三角形纸片，两直角边的长ac=6cm,bc=8cm, 现将直角边ac 沿 ad 对折，使它落在斜边ab 上，且与ae 重合，求 cd 的长？解 ： 设 ce=x ， 就 ae=8-x，bde是 ade 翻 折 而 成 ，cae=be=8-x，d在222rt bce中 ，

14、 be=bc+ce， 即 （ 8-x）2 =62 +x2 ， 解 得 x=1.75，ace=1.75be图 52、有一个直角三角形纸片，两直角边的长ac=8 ，bc=6, 现将顶点 a 折叠至点 b，折线为 de ，求 ce 的长？解：de 为折线，就 de 垂直平分线段 ab ，因此 ae=be be2=ec2+bc2ac-ce 2 =ec2+bc28-ce2=62+ce264-16ce+ ce2=62+ce216ce=64-36=28ce= 28 = 7164adecb细心整理欢迎下载3、如图 4，矩形纸片abcd 的边 ab=10cm,bc=6cm ， e 为 bc 上一点，将矩形纸片沿

15、ae 折叠，点 b 恰好落在 dc 边上的点 g 处，求 be 的长；dgceab图 44、如图，长方形abcd 中， ab=3cm bc=4cm ，将此长方形折叠，使点c 与点 d 重合，折痕为ef ，求 ae 、ef 的长设 ae=x, ef 为折线， ef 为 ac 的垂直平分线，就ce=ae=xd1be=bc-ce=4-xab 2=ae 2-be2= x 2-4-x 2=8x-16=9 x=25/8ef ac eo eo= 158 ef=2x 15 = 15= 25x9afd22225=ae -ao =25 -2=25x25 -16826464o84cbe5、如图 6，在矩形纸片abc

16、d 中， ab= 33 ，bc=6, 沿 ef 折叠后，点c 落在 ab 边上的点 p 处，点 d 落在 q 点处，ad 与 pq 相交于点 h ，bpe= 30（1）求 be、qf 的长（2）求四边形qpef 的面积；qa hfdpbec图 6细心整理欢迎下载7、已知，如图，长方形abcd中， ab=3cmad=9cm，将此长方形折叠，使点b 与点 d 重合，折痕为ef，就 abe的面积为d专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度1、如图 7，铁路上a、b 两站相距25 千米， c、d 为两村庄， daab 于 a 点， cbab 于点 b， da=15 千米， cb=10 千米，现在要在铁路

17、上建设一个土特产收购站e，使得 c、d 两村庄到收购站 的距离相等，就收购站e 应建在距离a 站多远的距离？aebcd图 72、一架长为 5 米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端 b 距离底 c 为 3 米，假如梯子的顶端 a 沿墙下滑 1 米到 d 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动 1 米到 e 处吗？请给出证明；adcbe3、 abc 中， ab=ac=20 ， bc=32 ， ad15 ,d 是 bc 上一点，且ad ac ，求 bd 的长细心整理欢迎下载专题四、勾股数的应用1、以下是勾股数的一组是（）a4,5,6,b5,7,12c12,13,15d14 ,48,50

18、2、一个直角三角形的三边长是不大于10 的三个连续偶数，就它的周长是；3、以下是勾股数的一组是（）a2,3,4,b5,6,7,c9,40,41d1024254、观看下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中 a,b,c 为正整数，且a<b<c（ 1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论（ 2）：当 a=21 时，求 b,c 的值c=b+1, b+c=a 2,3,4,53 2 +4 2 =5 25,12,135 2 +12 2 =13 27,24,257 2 +24 2 =25 29,40,419 2 +40 2 =41 2222.21,b,c21+b=c专题五、勾股定理及逆定理有关的

19、几何证明1、 在四边形abcd 中，c 是直角， ab=13,bc=3,cd=4,ad=12证明： adbddcab22、cd 是abc 中 ab 边上的高，且cd=addb ，试说明acb= 90cadb3、在正方形abcd 中， e 是 bc 的中点， f 为 cd 上一点1且 cf=cd 试说明 aef 是直角三角形；4a dfb ec细心整理欢迎下载4、 abc 三边的长为a,b, c，依据以下条件判定abc 的外形222（ 1）： a+b+c+200=12a+16b+20c ；（ 2）： a 3 -a 2 b+ab 2 -ac 2 +bc 2 -b 3 =025、试判定，三边长分别为

20、2n +2n ， 2n+1 ， 2n2+2n+1（n 为正整数） .的三角形是否是直角三角形？6、如图 2-12 ， abc中， c=90°， m是 bc的中点， md ab于 d求： ad2-bd 27、 在abc中， bc=a,ac=b,ab=c, 如c= 90 ，如下图 1依据勾股定理可以得出： a 2 +b 2 =c2,如abc不是直角三角形，如图2与图3，请你类比勾股定理猜想a 2 +b2 与c2的关系，并且证明你的结论；abcc babca图1图2图38、如图abc 中，bac90 , abac , p 为 bc 上任意一点，求证：bp 2cp 22 ap 2 abpc细

21、心整理欢迎下载专题六、勾股定理与旋转1、在等腰rt abc 中，cab= 90 ， p 是三角形内一点，且pa=1,pb=3,pc=7求：cpa 的大小？cpab2、 如图，在等腰 abc 中， acb=90 °， d、e 为斜边 ab 上的点， 且 dce=45°；求证： de 2=ad 2+be2；cbade3、如下列图， abc 是等腰直角三角形， ab=ac ，d 是斜边 bc 的中点， e、f 分别是ab、ac 边上的点，且 de df ，如 be=12， cf=5求线段 ef 的长；4、已知，如图 abc 中，acb=90°，ac=bc ，p 是 abc 内一点， 且 pa=3，pb=1 ，pc=2 ，求 bpc ；cpab细心整理欢迎下载5、如图， 在abc 中，b900 ，m 为 ab 上一点， am=bc ，n 为 ab 上一点， cn=bm ，连接 an 、cm 交于点 p；求apm 的大小；c npbma专题七、最短路线问题1、 有一正方体盒子，