高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法教案(含解析)-人

1、. .专心 . 8. 7 立体几何中的向量方法 ( 二) 求空间角和距离最新考纲1. 能用向量方法解决线线、线面、 面面的夹角的计算问题.2. 体会向量方法在研究几何问题中的作用1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，20 ，求法cos|ab|a|b|cosab|a|b|2. 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则 sin|cos| |an|a|n|. 3求二面角的大小(1) 如图，ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小ab，c

2、d (2) 如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足 |cos| |cos n1，n2| ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 (或其补角) 概念方法微思考1利用空间向量如何求线段长度？提示利用 |ab|2abab可以求空间中有向线段的长度2如何求空间点面之间的距离？. .专心 . 提示点面距离的求法：已知ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点b到平面的距离为|bo| |ab|cos ab，n |. 题组一思考辨析1判断下列结论是否正确( 请在括号中打“”或“”)(1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角( ) (2) 直线的方向向量和平

3、面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角( ) (3) 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角( ) (4) 两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是 0 ， ( ) (5) 若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.( ) 题组二教材改编2 已知两平面的法向量分别为m(0 ， 1， 0) ，n(0 ， 1， 1)， 则两平面所成的二面角为( ) a45b135c45或 135d90答案c 解析cosm，nm n|m|n|11222，即m，n45.两平面所成二面角为45或 18045135.3如图，正三棱柱( 底面是正三角

4、形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为22，则ac1与侧面abb1a1所成的角为 _. .专心 . 答案6解析如图，以a为原点，以ab，ae(aeab) ，aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴( 如图 )建立空间直角坐标系，设d为a1b1的中点，则a(0 ， 0，0) ，c1(1 ，3，22) ，d(1，0，22) ，ac1(1 ，3，22) ，ad (1 ，0，22) c1ad为ac1与平面abb1a1所成的角，cosc1adac1，ad|ac1|ad|1，3，22 1，0， 2212932，又c1ad 0，2，c1ad6. 题组三易错自纠4在直三棱柱abca1b1c1中，b

5、ca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为( ) a.110b.25c.3010d.22答案c 解析以点c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. .专心 . 设bccacc12，则可得a(2 ， 0，0) ，b(0，2，0) ，m(1 ，1，2) ，n(1 ，0，2) ，bm(1， 1，2) ，an( 1， 0，2)cosbm，anbm，an|bm|an|1 1 1 02212 12221202223653010. 5已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n12，则

6、l与所成的角为 _答案30解析设l与所成角为，cosm，n12，sin|cos m，n| 12，090，30.题型一求异面直线所成的角例 1 如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec. (1) 证明：平面aec平面afc；(2) 求直线ae与直线cf所成角的余弦值(1) 证明如图所示，连接bd，设bdacg，连接eg，fg，ef. . .专心 . 在菱形abcd中，不妨设gb1. 由abc120，可得aggc3. 由be平面abcd，abbc2，可知aeec. 又aeec，所以eg3，且egac. 在

7、rtebg中，可得be2，故df22. 在 rtfdg中，可得fg62. 在直角梯形bdfe中，由bd2，be2，df22，可得ef322，从而eg2fg2ef2，所以egfg. 又acfgg，ac，fg? 平面afc，所以eg平面afc. 因为eg? 平面aec，所以平面aec平面afc. (2) 解如图，以g为坐标原点，分别以gb，gc所在直线为x轴、y轴， |gb| 为单位长度，建立空间直角坐标系gxyz，由(1) 可得a(0 ，3，0) ，e(1 ， 0，2) ，f1，0，22，c(0 ，3，0) ，所以ae(1 ，3，2) ，cf1，3，22. 故 cosae，cfae，cf|ae|

8、cf|33. 所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为33. . .专心 . 思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1) 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2) 确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3) 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4) 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值跟踪训练1 三棱柱abca1b1c1中，abc为等边三角形，aa1平面abc，aa1ab，n，m分别是a1b1，a1c1的中点，则am与bn所成角的余弦值为( ) a.110b.35c.710d.45答案c 解析如图所示，取ac的中点d，以d为原点，bd，dc

9、，dm所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设ac2，则a(0， 1，0)，m(0 ，0，2) ，b( 3，0，0) ，n32，12，2 ，所以am(0 ，1，2) ，bn32，12， 2 ，所以 cosam，bnam，bn|am| |bn|7255710，故选 c. 题型二求直线与平面所成的角例 2(2018全国 ) 如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf. (1) 证明：平面pef平面abfd；. .专心 . (2) 求dp与平面abfd所成角的正弦值(1) 证明由已知可得bfpf，bfef，

10、pfeff，pf，ef? 平面pef，所以bf平面pef. 又bf? 平面abfd，所以平面pef平面abfd. (2) 解如图，作phef，垂足为h. 由(1) 得，ph平面abfd. 以h为坐标原点，hf的方向为y轴正方向， |bf| 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系hxyz. 由(1) 可得，depe. 又dp2，de1，所以pe3. 又pf1，ef2，所以pepf. 所以ph32，eh32. 则h(0 ， 0，0) ，p0，0，32，d 1，32，0 ，dp 1，32，32，hp 0，0，32. 又hp为平面abfd的法向量，设dp与平面abfd所成的角为，则 sin|cos

11、hp，dp| |hp，dp|hp|dp|34334. 所以dp与平面abfd所成角的正弦值为34. 思维升华若直线l与平面的夹角为，直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹. .专心 . 角为，则2或2，故有 sin |cos| |ln|l|n|. 跟踪训练2(2018全国 ) 如图， 在三棱锥pabc中，abbc22，papbpcac 4，o为ac的中点(1) 证明：po平面abc；(2) 若点m在棱bc上，且二面角mpac为 30，求pc与平面pam所成角的正弦值(1) 证明因为papcac4，o为ac的中点，所以opac，且op23. 如图，连接ob. 因为abbc22ac，所以abc为等

12、腰直角三角形，所以obac，ob12ac 2. 由op2ob2pb2知poob. 因为opob，opac，obaco，ob，ac? 平面abc，所以po平面abc. (2) 解由(1) 知op，ob，oc两两垂直，则以o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示. .专心 . 由已知得o(0 ，0，0)，b(2 ，0， 0) ，a(0 ， 2，0) ，c(0，2，0) ，p(0 ，0，23) ，ap(0 ，2，23) 由(1) 知平面pac的一个法向量为ob(2， 0，0)设m(a， 2a，0)(0 a2)，则am(a，4a，0) 设平面

13、pam的法向量为n(x，y，z) 由apn0，amn0，得2y23z0，ax 4a y0，可取y3a，得平面pam的一个法向量为n(3(a4) ，3a，a) ，所以 cosob，nob，n|ob，|n|23a423a423a2a2. 由已知可得 |cos ob，n | cos3032，所以23|a4|23a423a2a232，解得a 4( 舍去 ) 或a43. 所以n 833，433，43. 又pc(0 ，2， 23) ，所以 cospc，n34. 所以pc与平面pam所成角的正弦值为34. 题型三求二面角例 3(2018济南模拟) 如图 1，在高为6的等腰梯形abcd中，abcd，且cd 6

14、，ab12，将它沿对称轴oo1折起，使平面ado1o平面bco1o. 如图 2，点p为bc中点，点e在线段ab上( 不同于a，b两点 ) ，连接oe并延长至点q，使aqob. . .专心 . (1) 证明：od平面paq；(2) 若be2ae，求二面角cbqa的余弦值(1) 证明由题设知oa，ob，oo1两两垂直，所以以o为坐标原点，oa，ob，oo1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设aq的长度为m，则相关各点的坐标为o(0 ，0，0)，a(6 ，0，0) ，b(0，6， 0) ，c(0，3， 6)，d(3 ，0，6) ，q(6 ，m ，0)点p为bc中点，p0，

15、92，3 ，od(3 ，0，6) ，aq(0 ，m ，0) ，pq 6，m92， 3 ，odaq0，odpq0，odaq，odpq，且aq与pq不共线，od平面paq. (2) 解be2ae，aqob，aq12ob 3，则q(6 ， 3，0) ，qb( 6，3，0) ，bc(0 ， 3，6) 设平面cbq的法向量为n1(x，y，z) ，n1qb，0，n1bc，0 6x3y0， 3y6z0，令z1，则y2，x1，则n1(1 ，2，1) ，易知平面abq的一个法向量为n2 (0 ，0，1) ，设二面角cbqa的平面角为，由图可知，为锐角，则cosn1n2|n1| |n2|66. 思维升华利用向量法

16、求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两. .专心 . 种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解跟踪训练3(2018全国 ) 如图，边长为2 的正方形abcd所在的平面与半圆弧cd所在平面垂直，m是cd上异于c，d的点(1) 证明：平面amd平面bmc；(2) 当三棱锥mabc体积最大时，求平面mab与平面mcd所成二面角的正弦值(1) 证明由题设知，平面cmd平面abcd，交线为cd. 因为bccd，bc? 平面abcd，所以bc平面cmd，又dm? 平面cmd，故bcdm. 因为m为cd上异于c，d的点，且dc为直径，所以

17、dmcm. 又bccmc，bc，cm? 平面bmc，所以dm平面bmc. 又dm? 平面amd，故平面amd平面bmc. (2) 解以d为坐标原点，da的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz. 当三棱锥mabc体积最大时，m为cd的中点由题设得d(0 ，0，0)，a(2 ，0，0) ，b(2，2，0) ，c(0 ，2，0) ，m(0 ，1，1) ，am ( 2，1，1) ，ab(0 ，2，0) ，da(2，0，0)，设n(x，y，z) 是平面mab的法向量，则nam，0，nab，0，即2xyz0，2y0.可取n (1 ，0， 2) ，. .专心 . da是平面mcd的一个法向

18、量，因此cosn，danda，|n|da，|55，sin n，da255. 所以平面mab与平面mcd所成二面角的正弦值是255. 利用空间向量求空间角例(12 分 ) 如图，四棱锥sabcd中，abd为正三角形，bcd120，cbcdcs2，bsd90.(1) 求证：ac平面sbd；(2) 若scbd，求二面角asbc的余弦值(1) 证明设acbdo，连接so，如图，因为abad，cbcd，所以ac是bd的垂直平分线，即o为bd的中点，且acbd.1分 在bcd中，因为cbcd2，bcd120，所以bd23，co1. 在 rtsbd中，因为bsd90，o为bd的中点，所以so12bd3. .

19、 .专心 . 在soc中，因为co1，so3，cs2，所以so2co2cs2，所以soac.4分 因为bdsoo，bd，so? 平面sbd，所以ac平面sbd.5 分 (2) 解方法一过点o作oksb于点k，连接ak，ck，如图，由(1) 知ac平面sbd，所以aosb. 因为okaoo，ok，ao? 平面aok，所以sb平面aok.6分 因为ak? 平面aok，所以aksb. 同理可证cksb.7分 所以akc是二面角asbc的平面角因为scbd，由(1) 知acbd，且acscc，ac，sc? 平面sac，所以bd平面sac. 而so? 平面sac，所以sobd. 在 rtsob中，oks

20、oobsb62. 在 rtaok中，akao2ok2422，同理可求ck102.10分 在akc中，cosakcak2ck2ac22akck10535. 所以二面角asbc的余弦值为10535.12 分 方法二因为scbd，由 (1) 知，acbd，且acscc，ac，sc? 平面sac，所以bd平面sac. 而so? 平面sac，所以sobd.6分 由(1) 知，ac平面sbd，so? 平面sbd，. .专心 . 所以soac. 因为acbdo，ac，bd? 平面abcd，所以so平面abcd.7分 以o为原点，oa，ob，os的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则

21、a(3 ， 0，0) ，b(0，3，0) ，c( 1，0，0)，s(0 ，0，3) 所以ab( 3，3，0) ，cb(1 ，3，0) ，sb (0 ，3，3) 8 分 设平面sab的法向量n (x1，y1，z1) ，则ab，n 3x13y10，sb，n3y13z10，令y13，得平面sab的一个法向量为n(1 ，3，3) 同理可得平面scb的一个法向量为m ( 3，1， 1) 10 分 所以 cosn，mnm|n|m|3337510535. 因为二面角asbc是钝角，所以二面角asbc的余弦值为10535.12分 利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(

22、 直线的方向向量、平面的法向量) 坐标；第三步：计算向量的夹角( 或函数值 ) ，并转化为所求角1已知两平面的法向量分别为m(1， 1，0)，n(0 ，1， 1) ，则两平面所成的二面角为( ) . .专心 . a60b120c60或 120d90答案c 解析cosm，nm n|m|n|12212，即m，n120.两平面所成二面角为120或 18012060.2. 如图， 在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1所成角的余弦值为( ) a.55b.53c.56d.54答案a 解析设ca2，则c(0 ，0，0) ，a(2 ，0，0) ，b(0 ，

23、0，1) ，c1(0，2，0)，b1(0 ，2，1) ，可得向量ab1( 2， 2， 1) ，bc1(0 ， 2， 1) ， 由向量的夹角公式得cos ab1，bc1 ab1bc1|ab1|bc1|0 414410411555，故选 a. 3在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 ( ) a.12b.23c.33d.22答案b 解析以a为原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，. .专心 . 则a1(0 ，0，1) ，e1，0，12，d(0 ， 1，0)，a1

24、d(0 ，1， 1) ，a1e 1，0，12. 设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z) ，则有a1d，n10，a1e，n10，即yz0，112z0，y 2，z 2，n1(1 ，2，2) 平面abcd的一个法向量为n2(0 ，0，1) ，cosn1，n223123，即所成的锐二面角的余弦值为23. 4在正方体abcda1b1c1d1中，ac与b1d所成角的大小为( ) a.6b.4c.3d.2答案d 解析以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则a(0 ， 0，0) ，c(1，1，0) ，b1(1 ，0，1) ，

25、d(0 ，1，0) ac(1 ，1，0) ，b1d ( 1，1， 1) ，acb1d1( 1) 110( 1) 0，acb1d，ac与b1d所成的角为2. . .专心 . 5(2018上饶模拟) 已知正三棱柱abca1b1c1，abaa12，则异面直线ab1与ca1所成角的余弦值为 ( ) a0b14c.14d.12答案c 解析以a为原点，在平面abc内过a作ac的垂线为x轴，以ac所在直线为y轴，以aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则a(0 ， 0，0) ，b1(3，1，2) ，a1(0 ，0， 2) ，c(0 ，2， 0) ，ab1(3，1，2) ，a1c(0 ，2， 2) ，设异

26、面直线ab1和a1c所成的角为，则 cos|ab1a1c|ab1| |a1c| 2|8814. 异面直线ab1和a1c所成的角的余弦值为14. 6(2018 上海松江、闵行区模拟) 如图，点a，b，c分别在空间直角坐标系oxyz的三条坐标轴上，oc(0 ，0，2) ，平面abc的法向量为n(2，1，2) ，设二面角cabo的大小为，则 cos等于 ( ) a.43b.53c.23d23答案c 解析由题意可知，平面abo的一个法向量为oc (0 ，0， 2)，由图可知，二面角cabo为锐角，. .专心 . 由空间向量的结论可知，cos|oc，n|oc，|n|4|2323. 7在三棱锥pabc中，

27、pa平面abc，bac90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，abac1，pa2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为_答案55解析以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由abac1，pa2，得a(0 ， 0，0) ，b(1，0，0) ，c(0 ，1，0)，p(0 ，0，2) ，d12，0， 0 ，e12，12，0 ，f0，12， 1 . pa(0 ，0， 2) ，de 0，12，0 ，df 12，12，1 . 设平面def的法向量为n(x，y，z) ，则由nde， 0，ndf， 0，得y0，xy2z0.取z1，则n(2 ，0，1)

28、，设直线pa与平面def所成的角为，则 sin|cos n，pa| |pa，n|pa，|n|55，直线pa与平面def所成角的正弦值为55. 8. 如图，在正方形abcd中，efab，若沿ef将正方形折成一个二面角后，aeedad. .专心 . 112，则af与ce所成角的余弦值为_答案45解析aeedad112，aeed，即ae，de，ef两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设abefcd 2，则e(0 ， 0，0) ，a(1，0，0) ，f(0 ，2，0) ，c(0，2，1) ，af( 1，2，0) ，ec (0 ，2， 1) ，cosaf，ecaf，ec|af|ec|45，af与

29、ce所成角的余弦值为45. 9. 如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是 _答案60解析以b点为坐标原点，以bc所在直线为x轴，ba所在直线为y轴，bb1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，. .专心 . 则c1(2 ，0，2) ，e(0 ，1， 0) ，f(0 ，0，1) ，则ef(0 ， 1，1) ，bc1(2 ，0，2) ，efbc12，cosef，bc1ef，bc1|ef|bc1|222212，异面直线所成角的范围是(0，90 ，ef和bc1所成的角为60.

30、10 (2018福州质检 ) 已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的锐二面角的正切值为_答案23解析方法一延长fe，cb相交于点g，连接ag，如图所示设正方体的棱长为3，则gbbc3，作bhag于点h，连接eh，则ehb为所求锐二面角的平面角bh322，eb1，tan ehbebbh23. 方法二如图，以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系dxyz，. .专心 . 设da1，由已知条件得a(1 ，0，0)，e1，1，13，f0，1，23，ae 0， 1，1

31、3，af 1，1，23，设平面aef的法向量为n(x，y，z) ，由nae，0，naf，0，得y13z 0，xy23z0.令y1，z 3，x 1，则n ( 1，1， 3)，取平面abc的法向量为m(0 ，0， 1)，设平面aef与平面abc所成的锐二面角为，则 cos|cos n，m | 31111，tan23. 11(2018皖江八校联考) 如图，在几何体abca1b1c1中，平面a1acc1底面abc，四边形a1acc1是正方形，b1c1bc，q是a1b的中点，且acbc2b1c1，acb23. (1) 证明：b1qa1c；(2) 求直线ac与平面a1bb1所成角的正弦值(1) 证明如图所

32、示，连接ac1与a1c交于m点，连接mq. . .专心 . 四边形a1acc1是正方形，m是ac1的中点，又q是a1b的中点，mqbc，mq12bc，又b1c1bc且bc2b1c1，mqb1c1，mqb1c1，四边形b1c1mq是平行四边形，b1qc1m，c1ma1c，b1qa1c. (2) 解平面a1acc1平面abc，平面a1acc1平面abcac，cc1ac，cc1? 平面a1acc1，cc1平面abc. 如图所示，以c为原点，cb，cc1所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，令acbc2b1c12，则c(0 ， 0，0) ，a(3， 1，0) ，a1(3， 1，2) ，b(0 ，

33、2，0) ，b1(0 ，1，2) ，ca(3， 1，0)，b1a1(3， 2，0) ，b1b(0 ，1， 2) ，设平面a1bb1的法向量为n(x，y，z) ，则由nb1a1，nb1b，可得3x2y0，y2z0，可令y 23，则x4，z3，平面a1bb1的一个法向量n(4 ，23，3) ，. .专心 . 设直线ac与平面a1bb1所成的角为，则 sin|nca，|n| |ca，|232319331. 12 (2018赣州模拟 ) 如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，底面abcd为直角梯形，其中abcd，cda90，cd2ab2，ad3，pa5，pd22，点e在棱ad上且ae 1

34、，点f为棱pd的中点(1) 证明：平面bef平面pec；(2) 求二面角abfc的余弦值(1) 证明在 rtabe中，由abae1，得aeb45，同理在 rtcde中，由cdde 2，得dec45，所以bec90，即beec. 在pad中，cospadpa2ad2pd22paad59823555，在pae中，pe2pa2ae22paaecospae 51251554，所以pe2ae2pa2，即pead. 又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，pe? 平面pad，所以pe平面abcd，所以pebe. 又因为cepee，ce，pe? 平面pec，所以be平面pec，所以平面bef平

35、面pec. (2) 解由(1) 知eb，ec，ep两两垂直，故以e为坐标原点，以射线eb，ec，ep分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. .专心 . b(2， 0， 0)，c(0 ， 22， 0) ，p(0 ， 0， 2)，a22，22，0，d( 2， 2， 0) ，f22，22，1，ab22，22，0 ，bf 322，22，1 ，bc ( 2，22，0) ，设平面abf的法向量为m(x1，y1，z1) ，则mab，22x122y10，mbf322x122y1z10，不妨设x11，则m(1， 1，22) ，设平面bfc的法向量为n(x2，y2，z2) ，则nbc，2

36、x222y2 0，nbf，322x222y2z20，不妨设y22，则n(4，2，52) ，记二面角abfc为( 由图知应为钝角) ，则 cos|mn|m| |n|4 220|107011735，故二面角abfc的余弦值为11735. 13. 如图，在四棱锥sabcd中，sa平面abcd，底面abcd为直角梯形，adbc，bad90，且ab4，sa3.e，f分别为线段bc，sb上的一点 ( 端点除外 ) ，满足sfbfcebe，当实数的值为 _时，afe为直角答案916. .专心 . 解析因为sa平面abcd，bad90，以a为坐标原点，ad，ab，as所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所

37、示的空间直角坐标系axyz. ab4，sa3，b(0 ，4，0) ，s(0，0，3) 设bcm，则c(m，4，0) ，sfbfcebe，sffb. afas(abaf) af11(asab) 11(0 ，4， 3)，f0，41，31. 同理可得em1，4，0 ，fem1，41，31. fa 0，41，31，要使afe为直角，即fafe0，则 0m1 41413131 0，169，解得916. 14(2018海南五校模拟) 如图，已知直三棱柱abca1b1c1中，aa1abac1，abac，m，n，q分别是cc1，bc，ac的中点，点p在直线a1b1上运动，且a1pa1b1(0 ， 1) . .

38、专心 . (1) 证明：无论取何值，总有am平面pnq；(2) 是否存在点p，使得平面pmn与平面abc的夹角为60？若存在，试确定点p的位置，若不存在，请说明理由(1) 证明连接a1q. aa1ac1，m，q分别是cc1，ac的中点，rtaa1qrtcam，macqa1a，macaqa1qa1aaqa190，ama1q. n，q分别是bc，ac的中点，nqab. 又abac，nqac. 在直三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，nqaa1. 又acaa1a，ac，aa1? 平面acc1a1，nq平面acc1a1，nqam. 由nqab和aba1b1可得nqa1b1，n，q，a1，p四点共面，a1q? 平面pnq