高考数学三轮冲刺大题提分圆锥曲线：存在性问题理

1、1 大题精做 11 圆锥曲线：存在性问题已知1f ，2f 分别为椭圆2222:10 xycabab的左、右焦点，点01,py在椭圆上，且2pfx 轴，12pf f的周长为 6（1）求椭圆的标准方程；（2）过点0,1t的直线与椭圆c 交于a，b两点，设 o 为坐标原点，是否存在常数，使得7oa obta tb恒成立？请说明理由【答案】（1）22143xy； （2）当2 时，7oa obta tb【解析】（1）由题意，11,0f，21,0f，1c，12pf f的周长为6，122226pfpfcac，2a，3b，椭圆的标准方程为22143xy（2）假设存在常数满足条件当过点t的直线ab的斜率不存在时

2、，0, 3a，0,3b，33131327oa obta tb，当2 时，7oa obta tb；当过点t的直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为1ykx，设11,a xy，22,b xy，联立221431xyykx，化简得2234880kxkx，122843kxxk，1 22843x xk1212121211oa obta tbx xy yx xyy21212111kxxk xx2222228 118218117434343kkkkkk，21143，解得2 ，即2时，7oa obta tb；综上所述，当2时，7oa obta tb2 1已知椭圆2222:10yxcabab的离心率为12，短轴

3、长为2 3 （1）求椭圆 c 的方程；（2）设过点0,4a的直线 l 与椭圆 c 交于m、 n 两点，f是椭圆 c 的上焦点问：是否存在直线l ，使得mafmnfss？若存在，求出直线l 的方 程；若不存在，请说明理由2已知点f为抛物线2:20cypx p的焦点，抛物线c 上的点a满足 afao ( o为坐标原点 ) ，且32af（1）求抛物线 c 的方程；（2）若直线:lxmyt 与抛 物线 c 交于不同的两点m， n ，是否存在实数t及定点p，对任意实数m，都有 pmpn ？若存在，求出t的值及点p的坐标；若不存在，请说明理由3 3在圆22:4o xy上取一点p，过点p作x轴的垂线段pd，

4、d为垂足，当点p在圆 o 上运动时，设线段pd中点m的轨迹为e（1）求e的方程；（2）试问在e上是否存在两点m， n 关于直线30:5lykx对称，且以mn 为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由4 1 【答案】（1）22143yx； （2）存在直线: 654 50lxy或 654 50 xy【解析】（1）12ca，3b，且有222abc ，解得24a，23b，椭圆 c 的方程为22143yx（2）由题可知l 的斜率一定存在，设l 为4ykx，设11,mxy，22,n xy，联立222243424360143ykxkxkxyx，2212212224144

5、34024343634kkkxxkx xk，mafmnfss，m为线段 an 的中点，212xx，将代入解得12834kxk将代入得2121834xk将代入解得2365k将式代入式检验成立，65k，即存在直线: 654 50lxy或 65450 xy合题意2 【答案】（1）24yx ； （2）存在4t及点0,0p，对任意实数m，都有 pmpn 【解析】（1） 由 afao 得点a横坐标为4p，由抛物线定义及32af得，3422pp，所以2p，所以抛物线c 的方程为24yx （2）假设存在实数t及定点p，对任意实数m，都有 pmpn ，设00,p xy，211,4ymy，222,4yny，联立2

6、4yxxmyt，得2440ymyt，5 则124yym，124y yt，2221212212+24244yyy yyymt ，由 pmpn ，得221200102044yypmpnxxyyyy22212221200120120164y yyyxxy yyyyy22220000044240 x my mxytxtt，所以00 x，00y，240tt，当0t时不满足题意，所以4t，即存在4t及点0,0p，对任意实数m，都有 pmpn 3 【答案】（1）2214xy； （2）存在，3025yx【解析】（1）设,mx y ，则点,2p xy ，将,2mxy 代入圆22:4o xy，可得2244xy，e

7、的方程为2214xy（2）显然，直线mn 存在斜率，设直线mn 的方程为1yxmk，联立22144yxmkxy，消去y并整理得222248410kxmkxkm，2222816410mkkkm，化为2224kk m ，设11,mxy，22,nxy，则12284mkxxk，22122414kmx xk，依题意omon，可得0omon，12120 xxy y，又2121212122111my yxmxmx xxxmkkkk，2121212122110mx xy yx xxxmkk，22222241181044kmmmkmkkkk，解得22454km，由 mn 的中点1212,22xxyy在直线305ykx上，6 121230225yyxxk，12121130225xmxmxxkkk，化为22330045mkk，把22454km代入化为2103060m