高考数列必考最值题型分类

1、高考数列最值题型分类总结题型一、求数列na的最大项、最小项求解数列的最大项最小项通常采用利用均值不等式求最值解不等式组1nnaa，1nnaa构造函数利用单调性法根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项. 1. 基本不等式法例 1. 已知数列na的通项公式为1562nnan， ，求的最大值na分析：nnnnan15611562，nnnn1562156134当且仅当nn156时，等号成立，即156n1315612，且*nn, 将且最大代入，或13121312aan2. 解不等式组例 1. 已知数列na的通项公式为1562nnan， ，求的最大值na1nnaa，156) 1(115622nnnn，

2、解得1312nn或，156)1(115622nnnn，解得1312n变式练习：（1） 已知数列na中，)2(8 .0nann，求数列的最大项 . 分析 可以使用11nnnnaaaa来求数列的最大项. 解析由不等式组11nnnnaaaa，得)1(8 .0)2(8 .0)3(8 .0)2(8 .011nnnnnnnn, 解得32n. na中的最大项为32,aa. （2） 已知等差数列nb的前 n 项和为nt， 且15,1054tt, 求的最大值4a分析：32, 532, 5,101154dadatt2(314mdaa)2()311danda=)23()2(1nmdnma323 ,12nmnm解得3

3、, 1 nm532-1da，9631da，即44a（3）已知数列na中，)2(8.0nann，求数列的最大项 . 分析 可以使用11nnnnaaaa来求数列的最大项 . 解析由不等式组11nnnnaaaa，得)1(8 .0)2(8 .0)3(8 .0)2(8 .011nnnnnnnn, 解得32n. na中的最大项为32,aa. （4） 已知数列na的通项公式nnnna11)1(10， 试求出该数列的最大项 . 3. 构造函数利用单调性（若1nnaa，则此数列为递增数列，若1nnaa，则其为递减数列，若1nnaa，则其为常数列）例 1 数列na中，20172016nnan, 则该数列中的最大项

4、与最小项分别是_ 分析：201720162017120172016nnnan，在区间)2017,(与),2017(上都是减函数 . 45201744， 数 列na在44n时 递 减 ， 在45n时 递 减 ， 借 助2017201620171)(xxf的图像知数列na的最大值为45a，最小值为44a. 例 2. 设函数) 1x0(loglog)x(f2xx2数列na满足), 2, 1n( ,n2)2(fna（1）求na。（2）求na的最小项分析：（1）由已知n2log1lognana222201na2a,n2a1an2nnn解得1nna2n1x0，即12na可知0an1nna2n（2）1nn1

5、1nna22n1) 1n(1n1nn1)1n(1n1a2221n1nnaa，可知数列na是递增数列na的最小项为21a1变式练习：（1） 已知)nn(98n97nan则在数列na的前 30 项中最大项和最小项分别是 _。分析：98n9798198n97nan数列中的项是函数98x97981)x(f上的一个个孤立点，而f(x) 的图象是由x9798y右移98个单位再上移1 个单位得到的，因此f(x) 在)98,(上是减函数。在),98(上也是减函数，从而可知当n=9时na最小， n=10时，na最大。最大项和最小项分别为910a,a。（2） 已知)nn(n131211sn，记1n1n2nssa，

6、求数列na的最小值。分析：1n213n12n1ssa1n1n2n，则2n13n211n21aan1n04n212n212n14n212n21n1naana为递增数列na中的最小项为31a1（3） 已知数列)nn(156nna2n，则该数列中的最大项是第几项？分析：由156nna2n得n156n1an联想函数)0 x(x156xy知函数在)156, 0(上为减函数。在),156(为增函数。当且仅当156x时，函数取最小值，而nn。要使n156n的值最小，应使156n。通过计算验证，可得n=12 或 13 时，na最大。1312aa为数列na中的最大项。（4） 已知无穷数列na的通项公式nnn10

7、) 1n(9a，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。分析：nn1n1nn1n10) 1n(910)2n(9aa1nn10)n8(98n1当时，n1naa，即8321aaaa当 n=8 时，n1naa，即98aa当 n8 时，n1naa，即11109aaa由函数单调性知数列na存在最大项即第8，9 项。4. 根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项. 例 1 设等差数列na的前n项和为ns，已知3a=12，012s,013s，试指出nnasasas,2211中哪一个最小？说明理由. 分析：可以发现ns有正有负，再结合na的正负可以帮助我们解决问题. 解析 由题意可

8、知，0132)(13,02)(62)(67131137612112aaasaaaas0,076aa876210aaaaa141312876210ssssssssnnas中，只有12128877,asasas这六项为负值，其余各项均为正数，nnas的最小项只可能是这六项中的一项, 0111012871287aaasss012128877asasas012128877asasas, 故在nnas中77as最小题型二、求ns的最值求解数列前n 项和主要有单调性法配方法邻项比较法二次函数图像法结论：一般地 , 如果一个数列na的前 n 项和为 :2,nspnqnr其中 :p.q.r为常数 , 且 p0

9、,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是 , 它的首项和公差分别是什么?结论 : 当 r=0 时为等差 , 当r0 时不是一、单调性法例 1 等差数列na中，2338aa，120a，求ns 的最小值，以及相对应的n 的值分析：等差数列的通项公式可化为1()nandad ，它可以看成是关于n 的一次函数，当100ad，时na为减函数且ns 有最大值，取得最大值时的项数n可由100nnaa，来确定；当100ad，时na为增函数且ns 有最小值，取得最大值时的项数n 可由100nnaa，来确定解：设等差数列na的首项为1a ，公差为d，则有111()(2 )38110adadad，解得1222ad，又

10、当100nnaa，时，ns 有最小值解222(1)02220nn，得 1112n 所以当11n或12n时，ns 取得最小值，最小值为1112132ss例 2. 等差数列na中，1490,ass，则 n 的取值为多少时？ns最大分析：等差数列的前n 项和ns是关于 n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。解析：由条件1490,ass可知， d0,d0 时，满足100mmaa的项数 m使得ms取最大 . (2)(2) 当1a0 时，满足100mmaa的项数 m使得取最小值。例 1. 已知等差数列na中，1102029ass，问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值分析：结合等差数列的前

11、n项和公式对应的二次函数图象我们可得：满足11nnnnssss，的ns 最小，满足11nnnnssss，的ns 最大解：设此等差数列的公差为d，由1102029ass，得10(101)20(201)1029202922dd ，解得2d，230nsnn由11nnnnssss，得222230(1)30(1)30(1)30(1)nnnnnnnn，解得293122n，当15n时，ns 最大，最大值为225编注：因为1112200aaal，则15n时，0na；16n时，0na故15s 最大例 2：已知等差数列 an 的 an243n，则前多少项和最大？分析：由an243n知当8n时，0na，当9n时，0

12、na，前 8项或前 7项的和取最大值. 例 3. 已知等差数列 bn的通项 bn2n-17, 则前多少项和最小 ? 分析：由 bn2n17n 知当8n时，0na，当9n时，0na，前 8 项的和取最小值. 题型三、求满足数列特定条件的n 的最值例 1已知等差数列na中，23a，67a，设11nnnbaa，则使12100101nbbbl成立的最大n的值为（）a 98b 99c100d101分析：设等差数列na的公差为d，则11357adad，解得121ad，111naandn. 1111111nnnbaannnn，1211111111223111nnbbbnnnnll，解不等式12100101n

13、bbbl，得1001101nn，解得100n. 因此，使12100101nbbbl成立的最大n的值为100. 例 2设等差数列na的前n项和为ns，且836ss，2121nnaa，则使12111116nsss的最大正整数n的值为 _分析：等差数列na的前n项和为ns，且836ss，2121nnaa，可得：1185618()adad11222(1)1andand，解得11a，1d，nan，(1)2nn ns，1112()1nsnn，12111111112112(1)223116nnsssnnn，解得11n，使12111116nsss的最大正整数n的值为 10例 3设数列na满足*164nnnaa

14、nan，其中11a.（）证明：32nnaa是等比数列；（）令112nnba，设数列(21)nnb的前 n 项和为ns，求使2019ns成立的最大自然数n 的值 .分析：（ ）*164nnnaananq1163346224nnnnnnaaaaaa6312628nnnnaaaa2(3)(2)nnaa322nnaa32nnaa是首项为113132212aa，公比为2的等比数列（ ）由（ ）知，322nnnaa，即2111222nnnnnabaa，21212nnnbn（）（）123s1 23 25 2.(21) 2nnn23412s1 23 25 2.(21) 2nnn ， 减 得11231142s1

15、 22(22.2 )(21) 222(21) 212nnnnnnn1(32 ) 26nn. 1s(23) 26nnn2111ss(21) 2(23) 22210nnnnnnnn（），sn单调递增 . 76s92611582019q，87s11 2628222019. 故使s2019n成立的最大自然数6n. 例 4已知递增的等比数列na满足23428aaa，且32a是2a，4a的等差中项. （1）求na的通项公式；（2）若12lognnnbaa，123nnsbbbbl求使1230nnsn成立的n的最小值.分析：（1）由已知23428aaa且32a是24,aa的等差中项得2343242822aaa

16、aaa，解得38a，代入32422aaa，可得8820qq，解得2q =或12q，因为na递增等比数列，所以2q =，因为38a，所以218a q，所以12a，所以12 22nnnag（2）由12lognnnbaa，所以122log 22nnnnbngg，231231 1 222322nnsbbbnllg，234121 222322nnsnlg，两式相减得：23112 1222222212nnnnnsnnlgg，所以1122nnsn，使1230nnsng，整理得1232,15,4nnn，所以使1230nnsng成立的正整数n的最小值为5例 5已知数列 an为等比数列， a1=2，公比 q0，且

17、 a2,6,a3成等差数列 .（）求数列 an的通项公式；（）设2lognnba,12233 411111.nnntb bb bb bb b,求使99100nt的 n 的最大值 .分析：（ ）数列 an为等比数列， a12，公比 q0，且 a2，6，a3成等差数列故： 122q+2q2，解得： q2 或 3（负值舍去） ，故：12 22nnna（ ）由（ ）得： bnlog2ann，所以：1111111nnb bn nnn，所以：12233411111nnntb bb bb bb bl，1111112231nnl，1nn，所以：使99100nt 的 n 的最大值为：991100nn，解得： n

18、99，故： n 的最大值为98题型四、求满足条件的参数的最值解决参数有关的最值问题，主要是分离变量，构造新的函数1已知递增等比数列na，11a，且1a，22a，3a成等差数列，设数列nb的前n项和为ns，点,np n s在抛物线2yx=上（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设nnnbca，数列nc的前n项和为nt，若*21ntann恒成立，求实数a的取值范围分析：（1）由1322(2)aaa即2230qq可得3q或1q因为数列na为递增等比数列，所以3q，11a故na是首项为1，公比为 3 的等比数列所以13nna由点,np n s在抛物线2yx=上，所以2nsn121(2)nnnbssnn验证当1n时，111bs也成立故21nbn（2）因为1213nnnnbnca所以0121135213333nnntl，123111352321333333nnnnntl两式相减有121111332222212111213333331