高考数学-第一节导数的概念及其应用学案

1、高三数学一轮复习学案组编：校对 : 审核：日期切记：得数学者，得高考自主梳理1.00()()fxxf xx2.（1）0limxyx00()limxyfxx(2)切线的斜率切线斜率的取值范围3.y或 f(x) 40 x1cos xsin xaxln aex1xln a1x5(1)f(x) g(x)(2)f(x)g(x) f(x)g(x) (3)f x g x f x g xg x 2解(1) y xf 1 x f 1 x111xx111(1)11(11)xxxxxxx( 11)xxxx111xx，001(1)limlim11xxyfxxx12. (2) y xf x x f x x1122xxx

2、xx2 x2 x x x2x2 x1x2 x2 x，001( )limlim(2)(2)xxyfxxxxx1x 22. 变式迁移1解 yx0 x21x201 x0 x21 x20 1x0 x21x2012x0 x x2x0 x21x201， y x2x0 xx0 x21x201. 022002()11xxyxxxxy=22002limlim()11xxyxxxxxx2x2x21xx21. 解(1)y(1x) 11x1xx1122xx，y1122()()xx31221122xx. (2)yln xxln x x xln xx2221ln1lnxxxxxx. (3)yxexx(ex)exxexex

3、(x1)(4)ysin xcos xsin x cos xsin x cos x cos2xcos xcos xsin x sin xcos2x1cos2x. 变式迁移2解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3 ex3xex2xln 2 (ln 31)(3e)x2xln 2. (3)yln x x21 ln x x21 x2121xx2 1 ln x 2xx212x21 2x2ln xx x212. 例 3解题导引(1)求复合函数导数的思路流程为：分解复合关系 分解复合关系 分层

4、求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程解(1)y(1sin x)2 2(1sin x) (1sin x) 2(1sin x) cos x 2cos x sin 2x. (2)y122(1)x322232222(1)(1)(1)(1) 1xxxxxxx(3)y (lnx21)1x21 (x21)1x2112(x21)12 (x21)xx2 1. 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos(4

5、)()()(1cos )sin(1sin).xxxxxxxxyxeex eex exexexxx e变式迁移3解(1)设 u13x，yu4. 则 yxyu ux 4u5 (3) 121 3x5. (2)设 yu2，u sin v，v 2x3，则 yxyu uv vx2u cos v 2 高三数学一轮复习学案组编：校对 : 审核：日期切记：得数学者，得高考4sin 2x3 cos 2x32sin 4x23. (3)y(x1x2)x 1x2x(1x2)1x2x21x212x21x2. 例 4解题导引(1)求曲线的切线要注意“过点p 的切线”与“在点 p 处的切线 ”的差异；过点p 的切线中，点p

6、不一定是切点，点p 也不一定在已知曲线上，而在点p 处的切线，必以点 p 为切点(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可(3)解决 “过某点的切线 ”问题，一般是设出切点坐标解决解(1)y x2，在点 p(2,4)处的切线的斜率k y|x24. 曲线在点p(2,4)处的切线方程为y 44(x2)，即 4xy40. (2) 设 曲 线y 13x343与 过 点p(2,4) 的 切 线 相 切 于 点a x0，13x3043，则切线的斜率k y|xx0 x20. 切线方程为y13x3043x20(xx0)，即 yx20 x23x3043. 点 p(2,4)在切线上，

7、 42x2023x3043，即 x303x2040， x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x0 1)(x02)20，解得 x0 1 或 x02，故所求切线方程为4xy40 或 xy 20. (3)设切点为 (x0，y0)，则切线的斜率为kx201，解得 x0 1，故切点为1，53，( 1,1)故所求切线方程为y53x1 和 y1x1，即 3x3y2 0和 x y20. 变式迁移4解f(x)3x26x 2.设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为 y2x. (2)当切点不是原点时，设切点是 (x0，y0)， 则有 y0 x

8、303x202x0，kf (x0)3x206x02，又 ky0 x0 x203x02， 由 得 x032，k14. 所求曲线的切线方程为y14x. 综上，曲线f(x)x33x2 2x 过原点的切线方程为y2x 或 y14x. 典型例题【解析】例 5【答案】（1）1yx（ 2）1yxe解： （1）2 lnyxxx，1x时，0,1yy，这个图象在1x处的切线方程为1yx.（2）设l与这个图象的切点为2000,lnxxx，l方程为2000000ln2 lnyxxxxxxx，由l过点0,0，2000000ln2lnxxxxxx，00ln2ln1xx，0ln1x，01xe，l方程为1yxe.例 6【解析

9、】22ln0 xyx即22lnyxx12yxx，又 4x+4y+1=0 即为14yx令 2x-1x=-1得 x=12与直线 4x+4y+1=0 平行的切线的切点为1 1,ln22 4点p到直线4x+4y+1=0的最小距离是1144212 1ln224232lnd.例 7、已知函数lnfxxa ar与函数2fxxx有公切线 .求a的取值范围；试题解析：212,1fxfxxx，因为函数fx与f x有公共切线， 所以函数fx与f x的图象相切或无交点，当 两 函 数 图 象 相 切 时 ， 设 切 点 的 横 坐 标 为00(0)xx， 则00200121fxfxxx，解得02x或01x（舍去），则

10、22ff，得ln23a，数形结合，得ln23a，即a的取值范围为ln23,随堂练习1.aysinx， y (sinx) cosx. k1cos01，k2cos20， k1k2. 2.a由题知， y axlna，y|x0lna，又切点为 (0，1)，故切线方程为xlnay1 0， a12，故选 a. 高三数学一轮复习学案组编：校对 : 审核：日期切记：得数学者，得高考3.b由题意知f(x) 的图像是以x1 为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0) f(2)f(3) 选 b. 4.d令 ext，则 xlnt，所以 f(t)lnt t，故 f(x) lnxx. 求导得 f(x)1x1，故 f(2 016)12 01612 0172 016.故选 d. 5.1因为f(x) f(4)sinxcosx，所以f(4) f(4)sin4cos4，所以 f(4)2 1.故 f(4)f(4)cos4sin41. 6.2x y10 根据题意可知切点坐标为(0， 1)，f(x)（x 1）（ ex） ex（x1）（x1）2（x 2）ex（x1）2，故切线的斜率为 kf(0)（02）e0（01）2 2，则直线的方程为y(1)(2)(x 0)? 2xy1 0，