D25微分习题课h课件VIP

1、D25微分习题课h二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 D25微分习题课h一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其D25

2、微分习题课h的微分微分,定义定义: : 若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,D25微分习题课h定理定理 : : 函数分析分析: “必要性必要性” )(xfy 在 可微 ,0 x00()()yf xxf x 00()limlim()xxyoxAxx A故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点

3、的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即0d()yAxfxx 反之亦成立。D25微分习题课h说明说明: 当当0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以当0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小.当D25微分习题课h微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量

4、的微分,为称 x记作xdxyxd记D25微分习题课h例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式 (见 P116表)又如又如,D25微分习题课h二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变性微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvv

5、uuvD25微分习题课h例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:dy )1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe211xeD25微分习题课h例例2. 设ddduvv uu v,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:(1)d( )3 dx x(2)d( )sindtt232x1cost说明说

6、明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意: 数学中的反问题往往出现多值性.()ddd uvuvD25微分习题课h)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性 , 例如D25微分习题课h三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxfD25微分习题课h特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似

7、公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x因为因为: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (D25微分习题课h0 x=d1180 x 29sin的近似值 .解解: 设,sin)(xxf取300 x,629x，则180296sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求29sin4848. 029sinD25微分习题课h例例5. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的

8、增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , D25微分习题课h* *四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限D25微分习题课h误差传递公式误差传递公式 : P122已知测量误差限为,x按公式

9、)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x ,D25微分习题课h1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点0 x处的yy ,d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd课堂练习：课堂练习：D25微分习题课h2.(1)xxeed )d(arctanxe211xd xxee21dtan(2).dsinxxx3sec(3). d( )sin2 dxxCx2cos21D25微分习题课h5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321

10、(33)2432511(0048. 33. 计算xx1)1 (D25微分习题课h作业作业P123 1 ; 4 ; 3 (2) , (3) , (5), (9); 10 (1)P125 6 (1); 7; 12(1)D25微分习题课h第二章习题课一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 D25微分习题课h一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数 :xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 :可导可微( 思考 P125

11、题1 )D25微分习题课h 应用应用 :(1) 利用利用导数定义导数定义解决的问题解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他由求导法则推出;2) 求分段函数在分界点分界点处的导数 , 及某些特殊函数在特殊点特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.D25微分习题课h二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3

12、) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;利用莱布尼兹公式.D25微分习题课hEx 1.Ex 1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf D25微分习题课hEx 2.Ex 2.若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f

13、联想到凑导数的定义式220) 1cossin1 (limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f D25微分习题课hEx 3.Ex 3.设)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考 : P125 题3D25微分习题课h)(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0Ex 4.所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导

14、 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. （P125）xxxx120sinlim0)0( fD25微分习题课hEx 5. 求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为22xy2D25微分习题课h求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxddxe11Ex 6. 设D25微分习题课h1. 已知, )1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222课外练习：课外练习：D25微分习题课h方程两边求微分, 得已知,yxexy求.d y解解：xyyxddyd2.)d(dyxeyxxexeyyxyxdD25微分习题课h, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy 3. 设方程组两边同时对 t 求导, 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydd