ch34泰勒公式课件

1、3.4 泰勒公式泰勒公式 泰勒公式泰勒公式 几个常用函数的泰勒公式几个常用函数的泰勒公式 泰勒公式的应用泰勒公式的应用一、泰勒公式一、泰勒公式1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有例例如如, , 当当x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 以直代曲xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足:1、精确度不高； 2、误差不能估计.本节研究以下两个

2、问题:(1) 是否可选取一简单曲线 n 次代数多项式2010200( )()()() ( )nnnPxaaxxaxxaxxf x即以简单曲线逼近复杂曲线 ?(2) 逼近的误差 是否可给出)()()(xPxf xRnn一个明确的表达式 ?设 y = f (x) 在 x0 处有直至 n 阶的导数 , 下面考虑寻找一 n 次代数多项式 Pn(x) , 使它在 x0 处较好地逼近 f (x) 0 x)(xfy oxy分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在 点相交0 xnnnxxaxxaxxaaxP

3、)()()()(0202010则由 xfxPn)()(00 xfxPn)( )( 00 xfxPn)( )( 00!)( 202xfa xfa )( !022)( 011xfa 10)( xfa 1)(0 xfa 0 xfxPkkn)()()()(00 xfa k kk)(!)(0!)()(kxfa kk0 xfxPnnn)()()()(00 xfa n nn)(!)(0!)()(nxfa nn0即n,k , kxfa kk210!)()( xxnxfxxxfxfxPnnn)(!)()( )()()(00000称多项式 为函数 在点 处关于的泰勒多项式.（唯一确定） nP x f x0 xx0

4、 xx例求函数 y =ln(1+x) 的关于 x 幂的 n 次泰勒多项式 解取 x0 = 0 ,n , , , k , yk210)()(下面计算, xxy11)( , xxy2111)()()( . xnxynn)()()()()(11121n , , k kxky kxkkk21111110101)!()()()!()()()(knkknxkyxP00!)()()(nnxnxxx13213121)(定定理理 8 8（泰泰勒勒公公式式I I） 如如果果函函数数)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶的的导导数数, ,则则当当x在在),(b

5、a内内时时, , )(xf可可以以表表示示为为)(0 xx 的的一一个个 n次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和: : 称 为函数 在点 处的n阶泰勒公式. nnxxoxPxf0 xf0 xx 也是用n次多项式来近似函数 xf的截断误差.余项 nnnxxoxPxfxR0 为 佩亚诺型余项,)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!

6、)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 阶泰勒公式阶泰勒公式拉格朗日形式的余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项.)()(0nnxxoxR 即即 1010) 1(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR 0)()(lim00 nnxxxxxR及及证明:注意:1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 3.拉格朗日型余项主要用于证明命题，皮亚诺型余项主要用于求极限.)(!)0(! 2)0()0()0()

7、()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林(Maclaurin)公式二、几个常用的 n 阶泰勒公式 ( 在 x0 = 0 处 )(1) f (x) = sinx知知由由 , ,k kxxf , f k)()sin()()()(21200 )sin()()(20 kfk取 n = 2m , 则有其中 介于 0 与 x 之间 , , m , mk , mk , m21121201)(! )()(!sin mx x xxxmm12153121531212212mx mm! )()(si

8、n( (2) f (x) = cosx知知由由 , 1,2,k kxxf , f k)()cos()()()(210 )cos()()(20 kfk取 n = 2m+1 , 则有其中 介于 0 与 x 之间 , , , , )( , 2121120mmkmkm)!()(!cosmxxxxmm214212422222222mxmm)!()(cos( (3) f (x) = e x1321321nnxxnenxxxxe)!(! 其中 介于 0 与 x 之间(4) f (x) = ln(1+x) xkxf , f kkk)()!()()()()(111001由由1113211113211nnnnnx

9、nnxxxx)()()()ln( kf kk)!()()()(1101其中 介于 0 与 x 之间 则则 f k,)()(10 ,k exf , f xk)()()()(2110由由(5) f (x) = (1+x) , R, xkxf , f kk )()()()()(11110由由 ,k kf k)()()()()(21110 所以有nxnnxxx!)()(!)()(1121112 11111nnxnn )()!()()(其中 介于 0 与 x 之间 21111()2!xnnexxxo xn （1）)()!12()1(! 5! 3sin212153nnnxonxxxxx （2）（3）)()

10、!2()1(! 4! 21cos12242 nnnxonxxxx（4）)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 2! 2)1(1)1(xmmmxxm（5）)(!)1()1(nnxoxnnmmm 带佩亚诺型余项的泰勒公式解：axaxeeaxlnln )()ln(! 31)ln(! 21ln1332xoaxaxax )()(ln! 31)(ln! 21ln133322xoxaxaxa 三、泰勒公式的应用1.利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限例1 求下列函数的极限20)1ln(limxxxx （1）解：（1）原式2220)(2(limxxoxxxx 21 （2）320tan)1ln(21

11、limxxxxx 解（2）原式333220)(32(21limxxoxxxxxx 31 （3） xxcxbxax1)1)(1)(1(lim30解（3）原式xcxbxaxx1)1()1()1(lim3131310 xxocxxobxxoaxx1311311311lim0 3cba 例计算4202xexxxcoslim解)(!cos442421xoxxx因为)(!2221xoxxex)(44228212xoxxe x4202xex xxcoslim1211214440 xxox x)(lim(2) 在无穷小阶的估计中的应用例当 a , b 为何值时 , 量 x (a + b cosx)sinx 是

12、 x 的5 阶无穷小?解xbxaxxxbax22sinsinsin)cos()(!55353xoxxxax)(!)(!)(553523222xoxxxb)()()()(5531521203261xoxbaxbaxba为使之为 5 阶无穷小 , 充要条件是:032601baba解得:3134b , a所以当 时 ,3134b , a原式为 5 阶的无穷小 例试确定常数 a 和 b , 使当 x 0 时231bxaxxxxf arctan)(为 x 尽可能高的无穷小 , 并求此阶数 解23211bxaxxxbxxf)(arctan)()( )(arctan)(321axxxbx又)(arctan8

13、753715131xoxxxxx)(arctan)(321axxxbx)()()(3875327151311axxxoxxxxbx)()()()(875371535131xoxbxbxab0351031bab 令令 解得071553154b , b , a且且所以 , 当 时, 函数 f (x)为 7 阶的 b , a53154无穷小(3) 在近似计算中的应用, xx nfxPxf1nnn)()!()()()()(011 其中 介于 x0 与 x 之间 .则则有有若若 , )b,a(x , Mxf n)()(1 xx nMxPxfnn101)!()()(例计算 e 的值 , 准确到 10-6解

14、先确定 n 为多大时才能保证精度 . , xnenxxxxennx1321321)!(! 令 x =1 得 nene)!(!1131212 (介于 0 与 1之间)n 阶泰勒公式 , 有 利用 ex 的)!()!(1131212nene n 10取 n =10 , 则有61013 )!(n 让让! e10131212)!(13n71828172.(4) 在一些证明题中的应用例如果在 ( a , b ) 内 ,)( xf0证明: 对 (a , b)内的任意 n 个点, xxxn,21有不等式nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121证明令, nxxxxn210则对每一 xi , 利用泰

15、勒公式有ba , xxfxxxfxfxfiiiii 2000021)( )( )()(由 推得,)( xf0n,ixxxfxfxf ii21000)( )()(niiniixxxfxfnx(f 10010)()( )()nii0 xnfnxxxfxfn1000)()( )(所以 ,得到nxfxfxfnxxxfxfnn)()()()()(212101(0)sin(0)xexxxxx ln(1)(1,0)xxxx 常用不等式例设 f (x) 在 0 , 1 上二阶可导 , 且满足 , axf)(, bxf )( 其中 a , b 为非负常数 , 证明: 对任意c( 0 , 1 ) 有 . bacf 22 )( 解 任取c( 0 , 1 ) , 利用泰勒公式有 , cxfcxcfcfxf221)( )( )()( 其中介于 c 与 x 之