ch534泰勒公式课件

1、数学分析数学分析第三第三- -四节四节 泰勒公式泰勒公式一、问题的提出一、问题的提出二、带皮亚诺余项的二、带皮亚诺余项的 泰勒中值定理泰勒中值定理三、带拉格朗日余项的三、带拉格朗日余项的 泰勒中值定理泰勒中值定理四四、应、应 用用重点：泰勒公式的应用重点：泰勒公式的应用难点：泰勒公式的理解难点：泰勒公式的理解ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析一、问题的提出一、问题的提出1.1.设设)(xf在在0 x处连续处连续, ,则有则有2.2.设设)(xf在在0 x处可导处可导, ,则有则有例如例如, , 当当x很小时很小时, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )(

2、)()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析xey xy 1oxey oxy )1ln(xy ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误差误差 )()()(xPxfxR 可估计可估计1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计。、误差不能估计。设函数设函数)(xf在在点点0 x处存在处存在 n 阶导数阶导数, ,)(xP为多为多项式函数项式函数 nnnxxaxxaxxaaxP)()()(

3、)(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 另外另外30sinlimxxxx 613cos1lim20 xxx是否有直观解释是否有直观解释? ?ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x二、带皮亚诺余项的泰勒中值定理二、带皮亚诺余项的泰勒中值定理泰勒泰勒,Taylor,1685-1731,Taylor,1685-1731,英国英国皮亚诺皮亚

4、诺,Peano,1858-1932,Peano,1858-1932,意大利意大利ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析假设假设 nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析)()(!)()(! 2)()()()()()(000)(2000000nnnnnxxox

5、xnxfxxxfxxxfxfxxoxPxf 带皮亚诺余项的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式阶泰勒公式 nkkknxxkxfxP000)()(!)()( 称为称为)(xf在点在点 0 x处处的的 n 次次泰勒泰勒多项式多项式 ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析证明证明 记记),()()(xPxfxRnn 则则)(xRn在在0 x处处存在存在 n 阶导数阶导数, ,且且 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn. . . 0)()(lim00 nnxxxxxR只需证明只需证明.)( !)(lim)()(lim)()(lim1)()(lim0)1(10000000 xxnxRx

6、xnxRxxxRnxxxRnnxxnnxxnnxxnnxx 次利用洛必达法则，得次利用洛必达法则，得连续连续对极限对极限. 0)( !)(lim, 0)(0)(lim0)1(0)(0)1(00 xxnxRxRxxxRnnxxnnnnxx故故因因ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麦克劳林麦克劳林(Maclaurin,1698-1746,(Maclaurin,1698-1746,英国英国) )公式公式).(! 212nnxxonxxxe 解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(

7、nffff代入公式代入公式,得得.)(阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式的的求求nexfx 例例1)()!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxxch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx ch534泰勒公式PPT课件

8、数学分析数学分析解解)(! 31sin33xoxxx .61)(61lim3330 xxxoxxx原式原式例例2 2 利用泰勒公式计算利用泰勒公式计算30sinlimxxxx ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析另证另证),()(! 21)()()(),()(! 21)()()(2222hohxfhxfxfhxfhohxfhxfxfhxf ).()()(lim2220 xfhhohxfh 原式原式).()(2)()(lim20 xfhxfhxfhxfh 例例3 3 设函数设函数 f (x) 二阶可导二阶可导, ,证明证明).(2)()()()(lim2)()(lim)(2)()(lim

9、202020 xfhxfhxfxfhxfhhxfhxfhxfhxfhxfhhh 证明证明ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析带拉格朗日余项的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式阶泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒中值定理三、带拉格朗日余项的泰勒中值定理其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x与与 x之间之间) ). . )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析证明证明 由假设由假设, ,),()()(xPxfxRnn 则则)(xRn在在),(ba内

10、具有内具有 n+1+1 阶导数阶导数, ,且且 两函数两函数)(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及x为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得 )()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnnch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析如此下去如此下去, ,经过经过)1( n次后次后, ,得得两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以 0 x及及1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足

11、柯西中值定理的条件, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之之间间与与在在nx 0, ,也也在在 0 x与与 x 之之间间) ) )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnnch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 上面的定理也称为带拉格朗日余项的泰勒中值定理上面的定理也称为带拉格朗日余项的泰勒中值定理)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()

12、(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林公式麦克劳林公式则由上式得则由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析注意注意: :1.1. 当当0 n时时, ,泰勒公式变成拉泰勒公式变成拉格格朗朗日日中值公式中值公式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.当当00 x, ,泰勒公式称为麦克劳林公式，泰勒公式称为麦克劳林公式， 这时这时 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析解解,)(

13、)()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe.)(克克劳劳林林公公式式阶阶带带拉拉格格朗朗日日余余项项的的麦麦的的求求nexfx 例例4ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估计误差)0( x设设!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexRch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析答答.0)1(4

14、32)1ln(4432之间之间与与介于介于，xxxxxx .3)1ln()(克劳林公式克劳林公式次带拉格朗日余项的麦次带拉格朗日余项的麦的的求求xxf 练习练习ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析四四、应用、应用1 1、求极限、求极限解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式403cos2lim2xxexx 例例5 5 计算计算ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析.0)11ln(1的阶数的阶数时时估计当估计当 nnn)1(2111)1

15、1ln(122nonnnnn 21)1(211(1(1nonn )1(21211(1(1nonn )1(41nnonn 解解例例6 6 .231)11ln(1阶阶的的是是时时，所所以以nnnn ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析. |)()(|)(4|)(|,0)()(,)(2afbfabfbfafbaxf 使使得得则则且且有有上上二二次次可可导导在在区区间间设设 证证 | )(|2| )()(|2 fabafbf）（改换形式改换形式)1(2)(21)()2(21）abfafbaf )2(2)(21)()2(22）abfbfbaf 2212(2)()()()()2()1(）并移项得并

16、移项得abffafbf 4)(2|)(|)(|)()(|221abffafbf 例例7 72 2、证明不等式、证明不等式ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析4)(2| )(| )(| )()(|221abffafbf )(),(max| )(|21 fff取取| )(|4)(| )()(|2 fabafbf则有则有).,(,),(2),(驻点驻点端点端点展点是展点是中点中点目标点是目标点是展函数是展函数是注：注：bxaxbaxxf ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析.32)1ln(432,032432xxxxxxxxx 时时证证明明当当,0 ,)1(432)1ln(14143

17、2xxxxxx ,0 ,)1(5432)1ln(2525432xxxxxxx 证证 例例8 8.32)1ln(43232432xxxxxxxx 所所以以ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析解解31313)811(2)18(7 31)1()(xxf 设设.0,!4)1)(3)(2)(1(!3)2)(1(!2)1(1)1(4)4(32之之间间与与在在xxmmmmxmmmxmmmxxmm 3 3、求近似值、求近似值例例9 981,31 xm令令31313)811(2)18(7 )8 ! 335257612411(233 9192. 1 4000018 ! 438522)81(443 Rch5

18、34泰勒公式PPT课件数学分析数学分析课堂课堂练习题练习题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限xxxxxexxsin20)1(sinlim. 2 )11(lim. 3220sinxxx )111(lim. 10 exxxch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析解答解答2:)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx xxxxxxxxoxoxx3333320)1()(! 3)(! 3! 21lim 31 xxxxxexxsin20)1(sinlim xexxxxx30)1(sinlim 答答:1/2, 1/3, 1/3. ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析

19、 作作 业业 P216: 1(单单), 2(2,4,5), 6(5-8), 10. ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析是是其中其中求求且且有连续的二阶导数有连续的二阶导数设设)(,)()()(lim, 0)0()0(, 0)(,)(0 xuxfxuxuxfffxfxfx .)(,()(轴轴上上的的截截距距处处切切线线在在在在点点曲曲线线xxfxxfy 于是于是轴上的截距为轴上的截距为它在它在切线方程：切线方程：解解,)()()(),)()(xfxfxxuxxXxfxfY 扩展扩展. 0)(lim0 xux),0()(21)(21)0()0()(22之间之间与与介于介于uufufuff

20、uf )(lim)(21lim)(21)(lim)(21)(lim)()(lim000200 xfxuffxfxuufxufxxufuxfxxxx ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析)()()(xfxfxxu 截距为截距为 .)0(1)()()(lim)(lim)()()()(lim)()()(lim)(lim00000fxfxfxfxxfxxfxfxfxfxxxfxfxxfxxfxuxxxxx 而而.21)0(1)0(21)()(lim0 ffxufuxfx故故数学分析数学分析xy xysin 五、小结五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似

21、计算中的应用; ;ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析xy xysin ! 33xxy o五、小结五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结五、小结1 1. .T Taylor

22、aylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小结五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .ch534泰勒公式PPT课件数学分析数学分析2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .ch534泰勒公