初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题

1、中学数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题 含解析 一挑选题（共16 小题）1如关于 x 的方程x3k=5（xk）+1 的解为负数，就 k 的值为（） akbkck=d k且 k2 2以下各式，属于二元一次方程的个数有（） xy+2xy=7； 4x+1=x y；+y=5； x=y； x2 y2 =2 6x2yx+y+z=1y（ y 1） =2y2y2+x a1b2c3d43关于 x 的一元二次方程有实数根，就实数a 满意（）abca且 a3d4设 ，是方程 x2+9x+1=0 的两根，就（ 2+2021+1）（2+2021+1）的值是（）a0b1c2000d4 000 0005如 a，b，

2、c 为三角形三边，就关于x 的二次方程x2+（a b）x+c2=0 的根的情形是（）a有两个相等的实数根b有两个不相等的实数根c没有实数根d无法确定6已知方程a=，且关于 x 的不等式组只有 4 个整数解，那么b的取值范畴是（）a 1 b 3b2b3 c8b9 d3b4 7观看以下方程：（ 1）；（2）；（ 3）；（4）其中是关于 x 的分式方程的有（）a（1）b（2）c（ 2）（3）d（2）（ 4）8当 1x 2 时， ax+20，就 a 的取值范畴是（）第1页（共 29页）aa 1ba 2ca0da 1 且 a09如关于 x 的不等式整数解共有 2 个，就 m 的取值范畴是（）a3m 4b

3、3m 4c 3 m4d3m4 10为引导居民节省用水， 某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度每年水费的运算方法为： 年交水费 =第一阶梯水价×第一阶梯用水量+其次阶梯水价×其次阶梯用水量 +第三阶梯水价×第三阶梯用水量该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730 元，就该同学家这一年的用水量为（）某市居民用水阶梯水价表阶梯户年用水量 v（m3）水价（元 /m 3）第一阶梯0v1805其次阶梯180v2607第三阶梯a250m3b270m3v260c290m3d310m3911父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面

4、的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2 米如设爸爸的身高为 x 米，儿子的身高为y 米，就可列方程组为（）abcd12方程 3x+y=9 在正整数范畴内的解的个数是（）a1 个 b2 个 c3 个 d有很多个13把一元二次方程x24x+1=0，配成（x+p）2=q 的形式， 就 p、q 的值是（）ap=2，q=5 bp=2，q=3 c p=2，q=5dp=2，q=314如关于 x 的一元二次方程x22xk+1=0 有两个不相等的实数根，就一次函数 y=kx k 的大致图象是（）第2页（共 29页）abcd15在求 3x 的倒数的值时， 嘉淇同学误将 3x 看成了 8x，她求得的值比正

5、确答案小 5依上述情形，所列关系式成立的是（）a= 5b=+5c=8x 5d=8x+516如不等式组的解集是 x 3，就 m 的取值范畴是（）am 3bm 3cm3dm3二填空题（共14 小题） 1217对于实数 x，规定（ xn） =nnx ，如（ x ） =2，就 x=18销售某件商品可获利30 元，如打 9 折每件商品所获利润比原先削减了10元，就该商品的进价是元19如关于 x、y 的二元一次方程组的解是，那么关于 x、y 的二 元一次方程组的解是 x=，y=20已知实数 m，n 满意 m n2=1，就代数式 m2+2n2+4m 1 的最小值等于21已知整数 k 5，如 abc的边长均满

6、意关于x 的方程 x23x+8=0，就abc的周长是22如两个不等实数m、n 满意条件： m2 2m 1=0，n22n1=0，就 m2+n2的值是23某种电脑病毒传播特别快， 假如一台电脑被感染， 经过两轮被感染后就会有144 台电脑被感染每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑24如 m 是实数，就关于x 的方程 x2mx+m+=0 的根的情形是25如关于 x 的方程=+1 无解，就 a 的值是26数学家们在争论15、12、10 这三个数的倒数时发觉：=因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2 也是一组调和数现有第3页（共 29页）一组调和数： x、5、3（x5），就 x 的值是27

7、如不等式组有解，就 a 的取值范畴是28如图 a、b、c、d 四人在公园玩跷跷板，依据图中的情形，这四人体重从小到大排列的次序为29在一次数学学问竞赛中，竞赛题共30 题规定：答对一道题得4 分，不答或答错一道题倒扣2 分，得分不低于 60 分者得奖 得奖者至少应答对道题30如关于 x 的不等式的解集为 x2，就 k 的取值范畴是三解答题（共10 小题）31甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为乙因大意，错误地将方程中系数c 写错了，得到的解为；如乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c 的值32解方程组33参与一次篮球联赛的每两队之间都进行两次竞赛，共要竞赛30 场，共有多少 个

8、 队 参 加 比 赛 ？ 34甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校s 千米的军训地参与训练 甲班有一半路程以v1 千米/ 小时的速度行走，另一半路程以v2 千米/ 小时的速度行走；乙班有一半时间以v1 千米/ 小时的速度行走，另一半时间以v2 千米/ 小时的速度行走设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t 1 小时、 t 2 小时（ 1）试用含 s、v1、v2 的代数式表示 t 1 和 t2；（ 2）请你判定甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由35对 x， y 定义一种新运算t，规定： t（x，y） =（其中 a，b 均为非零第4页（共 29页）常数），这里等式右边是通常的四

9、就运算，例如：t（ 0， 1） =b，已知 t（1，1）=2.5，t（4， 2） =4（ 1）求 a，b 的值；（ 2）如关于 m 的不等式组恰好有 2 个整数解，求实数p 的取值范畴36已知 x=3 是关于 x 的不等式的解，求 a 的取值范畴37假如关于 x 的不等（ 2m n）x+m5n0 的解集为 x，试求关于 x 的不等式 mxn 的解集38某养鸡厂方案购买甲、乙两种鸡苗共2000 只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元（ 1）如购买不超过4700 元，应最少购买甲种小鸡苗多少只？（ 2）相关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是 94%和 99%，如要使这两种小鸡

10、苗成活率不低于 96%且购买小鸡苗的总费用最低， 应购买甲、乙两种小鸡各多少只？最少费用是多少元？39为了相应 “足球进校内 ”的号召，某体育用品商店方案购进一批足球，第一次用 6000 元购进 a 品牌足球 m 个，其次次又用6000 元购进 b 品牌足球，购进的b 品牌足球的数量比购进的a 品牌足球多 30 个，并且每个 a 品牌足球的进价是每个 b 品牌足球的进价的（ 1）求 m 的值；（ 2）如这两次购进的a，b 两种品牌的足球分别依据a 元/ 个，a 元/ 个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800 元，求出 a 的最小值 40为满意市场需求，新生活超市在端午节前夕购

11、进价格为3 元/ 个的某品牌粽子，依据市场猜测，该品牌粽子每个售价4 元时，每天能出售500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将削减10 个，为了保护消费者利益，物价部门规定， 该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学学问帮忙超市给该品牌粽 子定价，使超市每天的销售利润为800 元第5页（共 29页）中学数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题 含解析 参考答案与试题解析一挑选题（共16 小题）1（ 2021 春.蓬溪县校级月考） 如关于 x 的方程x 3k=5（xk）+1 的解为负数，就 k 的值为（）akbkck=d k且 k2【分析】 此题第一要解这个关于x 的方程，

12、依据解是负数，可以得到一个关于k的不等式，就可以求出k 的范畴【解答】 解：x3k=5（xk） +1，依据题意得， 解得 k；应选 b【点评】此题是一个方程与不等式的综合题目解关于 x 的不等式是此题的一个难点2（2021 春.文登市校级期中）以下各式，属于二元一次方程的个数有（） xy+2xy=7； 4x+1=x y；+y=5； x=y； x2 y2 =2 6x2yx+y+z=1y（ y 1） =2y2y2+x a1b2c3d4【分析】依据二元一次方程的定义， 从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别【解答】 解：第6页（共 29页） xy+2xy=7，不是二元一次方程，由于其未知数的最高

13、次数为2； 4x+1=x y，是二元一次方程；+y=5，不是二元一次方程，由于不是整式方程； x=y 是二元一次方程； x2y2 =2 不是二元一次方程，由于其未知数的最高次数为2； 6x2y，不是二元一次方程，由于不是等式； x+y+z=1，不是二元一次方程，由于含有3 个未知数； y（ y1）=2y2y2+x，是二元一次方程，由于变形后为y=x 应选 c【点评】 二元一次方程必需符合以下三个条件：（ 1）方程中只含有2 个未知数；（ 2）含未知数项的最高次数为一次；（ 3）方程是整式方程留意整理后是二元一次方程3（2021.海拉尔区校级三模）关于x 的一元二次方程有实数根，就实数 a 满意

14、（）abca且 a3d【分析】 争论：当a3=0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a 3 0， =（） 24×（ a 3）× 10，然后综合这两种情形即可【解答】 解：当 a3=0，方程变形为x+1=0，此方程为一元一次方程，有 一个实数根；当 a30， =（）2 4×（ a3）× 10，解得 a且 a3所以 a 的取值范畴为 a且 a 3应选 c【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义

15、第7页（共 29页）4（2021.桂平市二模）设， 是方程x2+9x+1=0 的两根，就（ 2+2021+1）（ 2+2021+1）的值是（）a0b1c2000d4 000 000【分析】 欲求（ 2+2021+1）（2+2021+1）的值，先把此代数式变形为两根之 积 或 两 根 之 和 的 形 式 （ 2+2021+1 ）（ 2+2021+1 ） = （ 2+9+1+2000）（ 2+9+1+2000），再利用根与系数的关系代入数值运算即可【解答】 解： ， 是方程 x2+9x+1=0 的两个实数根， += 9， .=1（ 2+2021+1）（2+2021+1）=（2+9+1+2000）（

16、2+9+1+2000） 又 ，是方程 x2+9x+1=0 的两个实数根， 2+9+1=0，2+9+1=0（ 2+9+1+2000）（ 2+9+1+2000）=2000 .2000=2000×2000，而 .=，1（ 2+9+1+2000）（ 2+9+1+2000）=4 000 000应选 d【点评】 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种常常使用的解题方法5（1999.烟台）如 a， b， c 为三角形三边，就关于x 的二次方程x2+（ a b） x+c2=0 的根的情形是（）a有两个相等的实数根b有两个不相等的实数根c没有实数根d无法确定【分析】 先求出 =b24ac，再结合

17、 a，b，c 为三角形的三边，即可判定根的情形【解答】 解：x2+（ ab）x+c2 =0，第8页（共 29页） =b24ac=（ab）2c2=（abc）（ ab+c） a， b， c 为三角形三边， b+ca， a+cb a b c0，ab+c 0（ abc）（ab+c） 0，即二次方程x2+（ab）x+c2=0 无实数根应选 c【点评】 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系6（ 2021.德阳）已知方程a=，且关于 x 的不等式组只有 4 个整数解，那么 b 的取值范畴是（）a 1 b 3b2b3 c8b9 d3b4【分析】分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的

18、解得到 a 的值，经检验确定出分式方程的解，依据已知不等式组只有 4 个正整数解，即可确定出 b 的范畴【解答】 解：分式方程去分母得：3aa2+4a=1，即（ a4）（a+1）=0，解得： a=4 或 a= 1，经检验 a=4 是增根，故分式方程的解为a=1， 已知不等式组解得： 1xb，不等式组只有4 个整数解， 3 b 4 应选： d【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解此题的关键7观看以下方程：（ 1）；（2）；（ 3）；（4）第9页（共 29页）其中是关于 x 的分式方程的有（）a（1）b（2）c（ 2）（3）d（2）（ 4）【分析】 依据分式方程

19、的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判定【解答】 解：（1）（4）中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；而（ 2）（ 3）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程应选 c【点评】判定一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（留意：仅仅是字母不行，必需是表示未知数的字母）8（2021.黄石）当 1 x 2 时， ax+20，就 a 的取值范畴是（）aa 1ba 2ca0da 1 且 a0【分析】 当 x=1 时， a+20；当 x=2，2a+20，解两个不等式，得到a 的范畴，最终综合得到 a 的取值范畴【解答】 解：当 x=1 时， a+20解得：

20、a 2； 当 x=2，2a+20， 解得： a 1， a 的取值范畴为： a 1【点评】 此题考查了不等式的性质，解决此题的关键是熟记不等式的性质9（ 2021.鼓楼区一模） 如关于 x 的不等式整数解共有 2 个，就 m 的取值范畴是（）a3m 4b3m 4c 3 m4d3m4【分析】 第一确定不等式组的解集，先利用含 m 的式子表示，依据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，依据解的情形可以得到关于 m 的不等式，从而求出 m 的范畴【解答】 解：解得不等式组的解集为：2 xm，由于不等式组只有2 个整数解，所以这两个整数解为： 2，3，第10页（共 29页）因此实数 m 的取值范畴是 3m

21、 4应选： c【点评】此题考查了一元一次不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定m 的范畴，是解决此题的关键10（2021.山西模拟） 为引导居民节省用水， 某市出台了城镇居民作用水阶梯水 价制度每年水费的运算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+ 其次阶梯水价×其次阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量该市某同学 家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730 元，就该同学家这一年的用水量为（）某市居民用水阶梯水价表阶梯户年用水量 v（m3）水价（元 /m 3）第一阶梯0v1805其次阶梯180v2607第三阶梯a250m3b270m3v260c

22、290m3d310m39【分析】 利用表格中数据得出水费不超过1460 元时包括第三阶梯水价费用，进而得出等量系求出即可【解答】 解：设该同学这一年的用水量为x，依据表格知， 180×5+80×7=1460 1730，就该同学家的用水量包括第三阶梯水价费用依题意得： 180×5+80×7+（ x 260）× 9=1730， 解得 x=290应选： c【点评】此题考查了一元一次方程的应用依据表格中数据得出正确是等量关系是解题关键11（2021.河北一模） 父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身

23、身高的，父子二人的身高之第11页（共 29页）和为 3.2 米如设爸爸的身高为x 米，儿子的身高为 y 米，就可列方程组为（）abcd【分析】 依据题意可得两个等量关系：爸爸的身高+儿子的身高 =3.2 米；父亲在水中的身高（ 1）x=儿子在水中的身高（ 1）y，依据等量关系可列出方程组【解答】 解：设爸爸的身高为 x 米，儿子的身高为 y 米，由题意得：，应选： d【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意， 找出题目中的等量关系， 解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的12（ 2021 春.沈丘县期末）方程3x+y=9 在正整数范畴内的解的个数是（

24、）a1 个 b2 个 c3 个 d有很多个【分析】 由题意求方程的解且要使 x，y 都是正整数，将方程移项将 x 和 y 相互表示出来，在由题意要求 x0，y0 依据以上两个条件可夹出合适的 x 值从而代入方程得到相应的 y 值【解答】 解：由题意求方程 3x+y=9 的解且要使 x，y 都是正整数， y=93x0， x2，又 x 0 且 x 为正整数， x 值只能是 x=1，2，代入方程得相应的 y 值为 y=6，3方程 3x+y=9 的解是：，； 应选： b【点评】此题是求不定方程的整数解，主要考查方程的移项，合并同类项，系数第12页（共 29页）化为 1 等技能， 先将方程做适当变形，

25、确定其中一个未知数的取值范畴，然后枚举出适合条件的全部整数值，再求出另一个未知数的值13（2021.安徽模拟）把一元二次方程x2 4x+1=0，配成（ x+p）2=q 的形式，就p、q 的值是（）ap=2，q=5 bp=2，q=3 c p=2，q=5dp=2，q=3【分析】 移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得【解答】 解： x2 4x=1， x24x+4=1+4，即（ x2）2=3， 就 p= 2， q=3，应选： b【点评】此题主要考查解一元二次方程的才能，娴熟把握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点挑选 合适、简便的方法是解题的关键

26、14（ 2021.通辽）如关于 x 的一元二次方程x2 2xk+1=0 有两个不相等的实数根，就一次函数y=kx k 的大致图象是（）abcd【分析】第一依据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k 的取值范畴， 然后依据一次函数的性质确定其图象的位置【解答】 解：关于 x 的一元二次方程x22x k+1=0 有两个不相等的实数根，（ 2）24（ k+1） 0， 即 k0， k0，一次函数 y=kxk 的图象位于一、三、四象限， 应选 b【点评】此题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是依据一第13页（共 29页）元二次方程的根的判别式确定k 的取值范畴，难度不大15（2021.河

27、北） 在求 3x 的倒数的值时， 嘉淇同学误将 3x 看成了 8x，她求得的值比正确答案小5依上述情形，所列关系式成立的是（）a= 5b=+5c=8x 5d=8x+5【分析】 依据题意知： 8x 的倒数 +5=3x 的倒数，据此列出方程即可【解答】 解：依据题意，可列方程：=+5， 应选： b【点评】 此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找到3x 的倒数与 8x 的倒数间的等量关系，列出方程16（ 2021.米东区校级一模）如不等式组的解集是 x3，就 m 的取值范畴是（）am 3bm 3cm3dm3【分析】先将每一个不等式解出，然后依据不等式的解集是x3 求出 m 的范畴【解

28、答】 解： x+8 4x1 3x 9 x3 xm不等式组的解集为x3 m3应选（ c）【点评】 此题考查不等式组的解法，解题的关键是娴熟一元一次不等式的解法，以及正确懂得不等式组的解集，此题属于中等题型二填空题（共14 小题） 1217（ 2021.丰台区一模）对于实数x，规定（ xn） =nnx ，如（ x ） =2，就 x= 1第14页（共 29页）【分析】 依据规定，得：当n=2 时，就（ x2）=2，x解方程即可【解答】 解：依据题意得： 2x=2， x= 1故答案为： 1【点评】此题的关键是正确懂得规定的运算， 能够把方程的左边按要求进行转换18（ 2005.乌鲁木齐）销售某件商品可

29、获利30 元，如打 9 折每件商品所获利润比原先削减了 10 元，就该商品的进价是70元【分析】 此题的等量关系为：原售价的9 折=新售价，而原售价 =30+进价，新售价=30+进价 10【解答】 解：设该商品的进价是x 元，就（ 30+x）× 0.9=30+x10解得 x=70，就该商品的进价是70 元【点评】此题第一读懂题目的意思， 依据题目给出的条件， 找出合适的等量关系， 列出方程，再求解19（ 1998.广东）如关于x、y 的二元一次方程组 的解是，那么关于 x、y 的二元一次方程组的解是 x=4，y=3【 分 析 】 本 题 先 代 入 解 求 出 得， 再 将 其 代

30、入 二 元 一 次 方 程 组得到，解出即可【解答】 解：二元一次方程组的解是，有，解得；将代入二元一次方程组，得，解得第15页（共 29页）【点评】此题主要考查二元一次方程组的解法，关键是娴熟把握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法留意：在运用加减消元法消元时， 两边同时乘以或除以一个不为0 的整数或整式，肯定留意不能漏项20（ 2021.南通）已知实数m， n 满意 mn2=1，就代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于4【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形， 依据完全平方式恒大于等于 0，即可确定出最小值【解答】 解： mn2=1，即 n2=m10，m 1，原式

31、 =m2+2m2+4m1=m2+6m+912=（ m+3）212， 就代数式 m2+2n2+4m 1 的最小值等于（ 1+3）2 12=4 故答案为： 4【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质， 娴熟把握完全平方公式是解此题的关键21（ 2021.绵阳）已知整数k 5，如 abc 的边长均满意关于x 的方程x23x+8=0，就 abc的周长是6 或 12 或 10【分析】依据题意得 k0 且（ 3 ）24×80，而整数 k5，就 k=4，方程变形为 x2 6x+8=0，解得 x1=2，x2=4，由于 abc的边长均满意关于 x 的方程 x2 6x+8=0，所以 abc的边长

32、可以为 2、2、2 或 4、4、4 或 4、4、2，然后分别运算三角形周长【解答】 解：依据题意得 k0 且（ 3）24×80， 解得 k，整数 k5， k=4，方程变形为 x26x+8=0，解得 x1 =2， x2 =4， abc的边长均满意关于x 的方程 x2 6x+8=0，第16页（共 29页） abc的边长为 2、2、2 或 4、4、4 或 4、4、2 abc的周长为 6 或 12 或 10 故答案为： 6 或 12 或 10【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；

33、当 0，方程没有实数根也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系22（ 2021.黔东南州）如两个不等实数m、n 满意条件： m2 2m 1=0，n22n 1=0，就 m2+n2 的值是6【分析】 依据题意知， m、n 是关于 x 的方程 x2 2x1=0 的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2 +n2 的值【解答】解：由题意知， m、n 是关于 x 的方程 x2 2x1=0 的两个根， 就 m+n=2， mn=1所以， m2+n2=（ m+n）22mn=2×22×（ 1） =6 故答案是： 6【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相

34、结合解题是一种常常使用的解题方法23（2021.武城县模拟）某种电脑病毒传播特别快，假如一台电脑被感染，经过 两轮被感染后就会有144 台电脑被感染每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑【分析】 此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，就第一轮共感染x+1 台，其次轮共感染x（x+1）+x+1=（x+1）（ x+1）台，依据题意列方程解答即可【解答】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，依据题意列方程得（ x+1） 2=144解得 x1=11， x2= 13（不符合题意，舍去） ， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11 台电脑第17页（共 29页）【点评】找到关键描述语， 找到

35、等量关系精确的列出方程是解决问题的关键判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解24（ 2003.内蒙古）如 m 是实数，就关于x 的方程 x2 mx+m+=0 的根的情形是无解【分析】运算一元二次方程的根的判别式的值的符号后，再依据根的判别式与根的关系求解【解答】解：关于 x 的方程 x2mx+m+=0 可化为 2x2 2mx+m 2+2m+3=0， =（ 2m）24×2×（ m2+2m+3） = 4m216m24=4（m+2） 2 8 0方程没有实数根【点评】 总结：一元二次方程根的情形与判别式的关系：（ 1） 0. 方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0. 方程有两

36、个相等的实数根；（ 3） 0. 方程没有实数根25（ 2021.绥化）如关于 x 的方程=+1 无解，就 a 的值是2 或 1【分析】把方程去分母得到一个整式方程，值把方程的增根 x=2 代入即可求得a 的【解答】 解： x2=0，解得： x=2方程去分母，得： ax=4+x2，即（ a1）x=2当 a10 时，把 x=2 代入方程得： 2a=4+22， 解得： a=2当 a1=0，即 a=1 时，原方程无解 故答案是： 2 或 1【点评】 第一依据题意写出a 的新方程，然后解出a 的值26（2021.大丰市一模） 数学家们在争论15、12、10 这三个数的倒数时发觉：=因此就将具有这样性质的

37、三个数称之为调和数，如6、3、2 也第18页（共 29页）是一组调和数现有一组调和数：x、5、3（ x 5），就 x 的值是15【分析】 依据题意，利用已知规律求未知数，从x5 判定， x 相当于已知规律中的 15【解答】 解： x5 x 相当于已知调和数15， 代入得，=，解得， x=15经检验得出： x=15 是原方程的解故答案为： 15【点评】此题主要考查了分式方程的应用，解决此题的关键是通过观看分析，未知调和数利用已知调和数来解得 27（ 2021.宁夏）如不等式组有解，就 a 的取值范畴是a 1【分析】 先解出不等式组的解集，依据已知不等式组有解，即可求出 a 的取值范畴【解答】 解

38、：由得 x a，由得 x1，故其解集为 ax1， a1，即 a 1， a 的取值范畴是 a 1 故答案为： a 1【点评】考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原就：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了此题是已知不等式组的解集， 求不等式中另一未知数的问题 可以先将另一未知数当作已知数处理， 求出不等式组的解集并与已知解集比较， 进而求得另一个未知数的取值范畴28（2021 春.太原月考）如图a、b、c、d 四人在公园玩跷跷板，依据图中的情第19页（共 29页）况，这四人体重从小到大排列的次序为badc【分析】 先由第一幅图可得ad，其次幅图可得b+d a+c，

39、第三幅图可得 b+c=a+d，再依据等式与不等式的性质即可求解【解答】 解：由题意可得 ad，b+d a+c，b+c=a+d b+c=a+d， c=a+db，代入 b+d a+c 中，得 b+da+a+db， b a， b a 0， a d， b a d b+c=a+d， d c=ba0， d c， b a dc故答案为 badc【点评】此题考查了不等式与等式性质的应用解题的关键是采纳代入法解不等式，并能使用统一的不等号进行连接，此题对式子的变形才能要求比较高，有肯定难度29（ 2021.漳州）在一次数学学问竞赛中，竞赛题共30 题规定：答对一道题得 4 分，不答或答错一道题倒扣2 分，得分不

40、低于60 分者得奖得奖者至少应答对20道题【分析】 答对题所得的分减去不答或答错题所扣的分数应等于60 分，列出不等式进行求解即可【解答】解：设得奖者至少应答对x 道题，就答错或不答的题为30 x 道，依题意得：4x 2（30x） 60第20页（共 29页）解得： x20即得奖者至少应答对20 道题【点评】 解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解30（ 1997.山东）如关于 x 的不等式的解集为 x2，就 k 的取值范畴是k 2【分析】 先化简不等式组，然后利用同小取小的原就可判定k 2，即可求出 k 2，留意不要漏掉相等时的关系【解答】 解：化简关于 x 的不等式为由于不等式组

41、的解集为x 2，所以 k2，即 k 2故填 k 2【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要留意当两数相等时，解集也是x2，不要漏掉相等这个 关系求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小 小找不到三解答题（共10 小题）31（ 2021.安徽模拟）甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为乙因大意，错误地将方程中系数c 写错了，得到的解为；如乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c 的值【分析】所谓“方程组 ”的解，指的是该数值满意方程组中的每一方程的值，依据题意可得，解方程组可得原方程组中a、b、c 的值第21页

42、（共 29页）【解答】 解：把代入到原方程组中，得可求得 c=2，乙仅因抄错了 c 而求得，但它仍是方程 ax+by=1 的解，所以把代入到 ax+by=1 中得 2ab=1，把 2a b=1 与 a+b=1 组成一个二元一次方程组，解得，所以 a=2， b=3， c=2【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法32（ 2021.中山市校级模拟）解方程组【分析】 利用代入消元法将y=x+1 代入第个方程求出即可【解答】 解：， 将代入得：x2（ x+1）2= 5， 解得： x=2，就 y=2+1=3，故方程组的解为：【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，利

43、用代入消元的法得出是解题关键33（2021.中山市模拟） 参与一次篮球联赛的每两队之间都进行两次竞赛，共要竞赛 30 场，共有多少个队参与竞赛？【分析】设共有 x 个队参与竞赛， 依据参与一次篮球联赛的每两队之间都进行两次竞赛，共要竞赛30 场，可列方程求解【解答】 解：设共有 x 个队参与竞赛（ 1 分）第22页（共 29页）由题意得， x（ x 1） =30（3 分）解得， x1=6，x2=5（4 分）经检验， x1=6 符合题意， x2= 5 不符合题意舍去 x1=6（5 分）答：共有 6 个队参与竞赛（ 6 分）【点评】 此题考查懂得题意的才能，设有x 个对，每个对都要参与（x1）场，

44、 依据总场数可列方程求解34（2004.茂名） 甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校s 千米的军训地参与训练 甲班有一半路程以v1 千米/ 小时的速度行走， 另一半路程以 v2 千米/ 小时的速度行走；乙班有一半时间以v1 千米/ 小时的速度行走，另一半时间以 v2 千米/ 小时的速度行走 设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t 1 小时、 t 2 小时（ 1）试用含 s、v1、v2 的代数式表示 t 1 和 t2；（ 2）请你判定甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由【分析】（1）此题的等量关系是路程=速度×时间依据甲到军训基地的时间= 甲在一半路程内以速度v1

45、行驶的时间 +甲在另一半路程内以速度v2 行驶的时间来列出关于关于 t 1 的代数式 依据乙以速度 v1 行驶一半时间走的路程 +乙以速度 v2 行驶另一半时间走的路程=总路程 s，来求出关于 t2 的代数式；（ 2）可将表示 t 1 和 t2 的式子相减，依据分式的加减法进行合并化简后，看看当v1， v2 在不同的条件下， t1 和 t 2 谁大谁小即可【解答】 解：（1）由已知，得：=t1=s解得：；（ 2） t1t2=第23页（共 29页）=而 s、v1、v2 都大于零，当 v1=v2 时， t 1t 2=0，即 t 1=t2，当 v1 v2 时， t1t20，即 t1t2综上：当 v1

46、=v2 时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当v1 v2 时，乙班同学先到达军训基地【点评】此题结合实际问题考查了异分母分式的加减运算，先通分， 把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减35（2021.万州区模拟） 对 x，y 定义一种新运算 t，规定：t（x，y）=（其中 a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四就运算，例如：t（ 0， 1）=b，已知 t（1， 1） =2.5，t（4， 2） =4（ 1）求 a，b 的值；（ 2）如关于 m 的不等式组恰好有 2 个整数解，求实数p 的取值范畴【分析】（1）依据题中的新定义列出关于a 与 b 的方程组， 求出方程组的解即可得到 a 与

47、b 的值；（ 2）利用题中的新定义化简已知不等式组，求出解集，依据关于m 的不等式组恰好有 2 个整数解，确定 p 的范畴即可【解答】 解：（1）依据题意得：， +得： 3a=9，即 a=3， 把 a=3 代入得： b=2， 故 a，b 的值分别为 3 和 2；第24页（共 29页）（ 2）依据题意得：，由得： m，由得： mp3，不等式组的解集为p3m，不等式组恰好有2 个整数解，即 m=0，1， 1p30， 解得p2，即实数 p 的取值范畴是p 2【点评】此题主要考查明白二元一次方程组以及解一元一次不等式组，懂得题中的新定义，并娴熟把握一元一次不等式组的解法是解此题的关键36（ 2021.

48、凉山州）已知x=3 是关于 x 的不等式的解，求 a 的取值范畴【分析】 先依据不等式，解此不等式，再对a 分类争论，即可求出 a 的取值范畴【解答】 解：解得（ 143a） x6当 a，x，又 x=3 是关于 x 的不等式的解，就3，解得 a4；当 a，x，又 x=3 是关于 x 的不等式的解，就3，解得 a4（与所设条件不符，舍去） 综上得 a 的取值范畴是a 4【点评】此题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简洁， 留意分类争论是解题的关键第25页（共 29页）37假如关于 x 的不等（ 2m n）x+m5n0 的解集为 x，试求关于 x 的不等式 mxn 的解集【分析】

49、解题时，要先依据已知条件找出m，并且求出 m 的取值范畴，再解关于 x 的不等式 mxn 即可求解【解答】 解：移项得（ 2mn）x5nm，关于 x 的不等（ 2m n） x+m5n0 的解集为 x， 2m n 0，且 x，=， 整理得 n=m，把 n=m 代入 2m n 0 得， 2mm 0，解得 m0， mxn， mxm， x关于 x 的不等式 mxn 的解集是 x【点评】考查了不等式的解集， 留意解含字母系数的一元一次不等式要留意不等式性质 3 的应用，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变38（2021.凤阳县模拟） 某养鸡厂方案购买甲、 乙两种鸡苗共 2000 只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元（ 1）如购买不超过4700 元，应最少购买甲种小鸡苗多少只？（ 2）相关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是 94%和 99%，如要使这两种小鸡苗成活率不低