南航矩阵论试卷

1、南京航空航天大学2015级硕士研究生共5页第1页2015 2016学年第1学期 矩阵论课程考试A卷考试日期：2015年12月28日课程编号：A080001命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩2 11一、（20分）设3阶矩阵A 0 10.1 101 .求A的特征多项式和初等因子；2 .求A的最小多项式和Jordan标准形；1 0 03.问：A与矩阵B 1 1 0是否相似？并说明理由.1 1 1案及评分标准：1 .特征多项式为f( ) (1)3;初等因子为 1,(1)2.1 0 02 .A的最小多项式是 m( ) (1)2, Jordan标准形为J 0 11.0 0 13 .因为B的初等因子为

2、(1)3,与A的初等因子不同，所以A与B不相似. (5分)二、(20 分)设 V X R22|tr(X) 0,映射 使得 (X) X XT, X V.1 .证明V是R2 2的一个子空间，并求它的维数和基；2 .证明 是V的线性变换，并求 在题1所取基下的矩阵;3 .求 的核ker()与值域R()的维数和基； ?4 .证明：V ker( ) R().答案及评分标准:1 .直接验证，知V是线性子空间.V的维数是3, 一组基是100 11,2010 02 .直接验证，知是线性变换.000在题1所取基下白矩阵是A 0 110113 .由于 ker( ) span 1, 2 3，所以 dim( ker(

3、 ) 2 , 1, 2 3为ker()的 一组基；由于 R( ) span 23,所以 dim(R( )1,23是 R()的一组基.4 .由于 dim(ker( ) dim( R( ) 3 dim(V),所以 V ker( ) R().共5页第3页1三、（20分）设非齐次线性方程组Ax 相容，其中A 01作出A的一个满秩分解;2.求A的加号逆A ；3.求方程组Ax的极小范数解（要求解中不含有参数 t） .答案及评分标准:101 011. A的一种满秩分解为A 01BC ;0 111 1(注意：满秩分解不唯一，需要检验). 21一. 12 1112 .因为 B , C (B )T - 12 ,所

4、以3 12131 1541-1A C B -45191 123.由相容性，解得t0,从而极小范数解为(3,6, 3)T.共5页第4页111四、（20分）设矩阵A 1110121求网1,|A ,叫，网2；2 .证明对于C3 3中的任意矩阵B,有曲同2 |AB|2 画网2；3 .证明矩阵幕级数JAk绝对收敛，并求其和.k 0 3答案及评分标准：1. A1 4, Al3, AF 1.200由于AT A030,所以恻2照.0062.由矩阵2范数的相容性,有|ab|2 |a|2|b|2 V6|b|2 .另一方面，由题1的 计算过程知|A11|；,从而2 v2同211A 1ABi12 11A12 网 2

5、专11ABi|2，即闾B1网2.3.已知幕级数4xk的收敛半径为3,且(A) IIAI2 3,则矩阵幕级数k 0 3、Ak绝对收敛，且 k 033 031 k1 ii 1k Ak (I A) 13(3I A) 1121.k 0 3321 27共5页第5页五、（20分）设A,B分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明:1 . AB相似于Hermite半正定矩阵；2 .若 A ABA,贝”I AB| 1 ;3 .若 A BA 1B ,贝 U A B .答案及评分标准：1. A 0 A S2,这里S是可逆的Hermite矩阵，从而S1ABS SHBS.由于 B 0,所以SH BS 0,即AB相似于Hermite半正定矩阵SH BS .2. A ABA (AB) 1.由题1的结论，AB的特征值满足