南昌大学数学物理方法期末考试试卷a卷答案

1、精品文档南昌大学20082009学年第二学期期末考试试卷参考答案及评分标准试卷编号：6031 (A)卷课程编号：H55020190课程名称：数学物理方法考试形式： 团卷适用班级物理系07各专业姓名：学号：班级： 学院：专业：考试日期：一、填空题(每小题3分，共36分)得分评阅人2.4 .若解析函数f(z)1 .复数 ln( 4) In 4 (2k 1) i (k 0, 1, 2,)题号 -四五七八九十总分累分人签名题分364024100得分2009-1/2(X 6 1dx2008 | 1考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试2口束后，考

2、生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、谙仔细阅读艮页前的说明。5. f(z)1/(z 2)亿3)在2|z|3可展开为洛朗级数:精品文档f(z) 2nz (n1)3(n1)znnO6 .函数f (z) ze1/z在z 0的奇点类型为本性奇点，其留数为 1/2。7 .设 m,n 为整数，贝 U (sin mx cosnx)dx 0。8 .函数f (t) t。I”的傅里叶变换为2( cos sin /)/()。 0 (|t|1)9 . 1 2t 的拉普拉斯变换即 L(1 2t) (1/p 2/ p2)(Rep 0)。10 .数学物理方程定解问题的适定性是指 解军的存在性，唯一性，稳定性。11 .

3、 一根两端(左端为坐标原点而右端x I)固定的弦，用手在离弦左端长为1/5处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为5hx /1(0x1 /5)ut 0, u°5h(l x) /(4I) (I /5 x I)12 .判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“()”中打V,错误的打X若函数f(z)在Z点解析，贝U函数f (z)在z点可导。(V)Uxy2yUUx 6xuyUyy X3y2U是二阶线性齐次偏微分方程。(X)(3)设Z为复数，则lim警0(X)Z c二、求解题(每小题10分，共40分)得分 评阅人1 .用留数定理计算复积分IIzl说明：要求给出必

4、要的文字说明和演算过程。dz23/2( Z 1)( Z 2)解：回路内有两个一阶极点ZiZ2L （2分）其留数为2)2(3分)Resf(zJ 啊心 i) f (z) lim1/(z i)(Zz2i1/2i(i 2)2 (4 31)/50Resf(Z2)同色 i)fiim.1/(z i)(z 2)2z2ic 21/ 2i( i 2)2(4 3i)/50(3分)I 2 i(Resf(zdRe sf(Z2)i/25(2 分)。2 .用留数定理计算实积分dx5 3sinx解：设z铲,贝u sinx （z)(2i),dxdz/(iz).(2 分)于是,2： i3z2d0iz3dz/(iz)1 izn5

5、3(z z1)/(2i)f(z) 1/(3z2l0iz3)的零点 Zii/3, Z23i.其中只有Zi为单位圆内一阶极点（2limzZl 3(z Z2)3( Z1由留数定理得I2i2 一(2分)分),其留数为 Re sf (zi)lim (zzZi8i 2ey y1(0) 1（可使用拉普拉斯变换3 .解常微分方程初值问题瞬孚6y dt dt或其它任何方法）。解：对方程拉普拉斯变换得(p2y p 1)(py-11)6y j（2分），于是y(P 3)(p 1)(pt J2）(P 3)( p 2)1 2) 5p5(P 3)(p1)(p1)(p13 120 p 32/3p 2)13 3tI td 2t

6、（2分）y T4e %20454 33 。类型并寻找自变量函数变4.试判断偏微分方程Uxx2uxy8Uyy2 口乂6 口12xy换使方程能够4 1 （ 8） 36 0故方程为双化为标准形（注意：不必写出标准形）。解：特征方程（巴）22巴80 （ 2分），判别式22（C和C2为任意常数）（4dx dx曲型（2分）。特征方程的解为y 2x。, y 4x C2所以，可化为标准形的自变量函数变换为y2x,y4x.（ 2分）（共24分）0（）满足三、偏微分方程求解题1.求解波动方程UttUxx初始条件u to Yot。 XCOS X的定解问题。（本小题10分）解：由达朗贝尔公式可得U(X21(x t)0

7、 2 xt 2 cos d (4 分)1 2.x - sin I x： x sin d (2 分)2xt xtx 1( x t)2sin( x t) (x t)2sin( x t)2cos L ； %tcos d (2 分)2.(x1 22尹 X t)sin(xt)t) cos( x t) sin( x(Xt) sin(xt) (xt)cos(x t)（1）已知矩形区域o X,0sin( x t) (2 分)y上的拉普拉斯方程uxxuyy0. (0X 50y );试导出其一般解为U(x, y)(Aey n 1ny、 Bne )sin nx .其中An和Bn是只与n有关的系数。（9分）利用的结果

8、求解泊松方程UxxUyysiny （Ox ,0 y ）；u|xou|x siny;u|yo 0, u|y sinxcos<提示：寻找泛定方程的一个特解V,使得经变换u vw后所得w的泛定方程和第一组边值 都是齐次的。（5分）（1）证明：设有试探解uX （x） Y （y），（1分）代入泛定方程和齐次边界条件X"XOX(o) X()YH Y 0. (1 求解本征值问得本征值本征函数X C sin nx 再解丫的微分方程得Y 所以，一般解为0分)2n(nAevu(x, y)(A-nyn 1(n 1,2,3,)123,)sin i nx(2)解：特解Vsin y, w Wyy 0(1分)(Ox(4分)(2(1分)变换U VW使Q y);w|xow|x0 w|yo 0, w|ysinxcosc由(1 )得满足w的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为(1分)nynyw (Ane Bne ) sin nxn 1因为上述解还满足第二组边界条件，于是(i分)AB. o(A.enn 1n 1Be )sinnx -sin2x即 A2 B2 22(e最得解二.1