南京名校高三模拟考试(数学)

1、1金太阳新课标资源网南京名校2011届高三模拟考试（数学）（满分160分，考试时间120分钟）第1页共13页金太阳新课标资源网2011. 05填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1.已知全集 U=R,集合 A=x|log»>1,则？uA=2.2i 已知复数z=不,则该复数的虚部为3.已知双曲线过点（2,1）且一条渐近线方程为 x-y=0,则该双曲线的标准方程为4.在如图所示的流程图中,输出的结果是5 .在4ABC中，三边a、b、c所对的角分别为 A、B、C,若 贝U B=.6 .已知向量a与b的夹角为150°,且|a|=2, |b| = J3,则（2a/

2、x x>0 ,7.已知函数f(x)=9-x2-4x xv 0 ,（第4题）A= 30 , a = 1, b = V2,+ b) a若f（x）W3,则x的取值范围是8.如图是函数y=Asin（cox+财A>0, co> 0, |川<5图象的一部分,则此函数的表达式0 金太阳新课标资源网 (第8题)9 .某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a(a>0)元购买住房，年利率为 r(r>0),按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷.如果10年还清，那么每年应还贷款 元.(用a、r表示)x10 .已知函数f(x)=,右函数y=f(x+2)1为奇

3、函数，则实数 a=.x+ aS511 .已知等差数列an的公差不为零且a3、a5、a8依次成等比数列，则一=12 .已知椭圆C:1(a>b>0)的右准线与x轴交于点A,点B的坐标为(0, a),若椭圆上的点 M满足AB= 2AM ,则椭圆C的离心率为 .13 .在平面直角坐标系 xOy 中，集合 M = (x, y)|x+ y< 1,且 x>0, y>0 , N=(x y, x+y)|(x, y)CM,则当(x, y)CN 时，z= x- 2y 的最大值为 .4x+ k 2x+ 114 .已知函数f(x)=4X+2X+1，若对于任意实数Xi、x2、x3 ,均存在以

4、f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是 .二、解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.15 .(本小题满分14分)某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示.(1)估计该次考试该学科的平均成绩；(2)为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在7090之间的试卷中任选 2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在7080之间的概率.16 .(本小题满分14分)在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,且cosA 求 2sin2，+ B + sin42cos 2c

5、+ A 的值； 323 N(2)若a = *,求三角形面积的最大值.17 .(本小题满分14分)如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD为矩形，ABXB 的中点.求证：(1) MN /平面 ABP;13.,M、N分别为AC、PD(2)平面 ABPL平面 APC的充要条件是 BPXPC.第13页共13页金太阳新课标资源网18 .(本小题满分16分)已知直线li、12分别与抛物线x2=4y相切于点A、B,且A、B两点的横坐标分别为 a、 b(a、bC R).(1)求直线1i、12的方程；(2)若l1、l2与x轴分别交于P、Q,且l1、l2交于点R,经过P、Q、R三点作。C.当a=4, b=

6、2时，求。C的方程；当a, b变化时，OC是否过定点？若是， 求出所有定点坐标； 若不是，请说明理由.19.(本小题满分16分)已知数列 an的前n(1)求证：an 2为(2)是否存在实数k, 数k的取值范围；若不存在Sn,且 Sn=2n+ 7 2an.等比数列；使得anWn3+kn2+9n对于任意的nCN都成立？若存在，求出实,说明理由.20 .(本小题满分16分)1 C已知函数 f(x)=2ax2-2x+2+lnx, aC R.(1)当a=0时，求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在(1, +oo )上只有一个极值点，求实数 a的取值范围；(3)对于任意x1、x2C(0,1,都有|x-

7、x2|w |f(x1)f(x2)|,求实数a的取值范围南京市名校2011届高三模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21 .选做题在A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.A.选彳41 :几何证明选讲如图，D为 ABC的BC边上的一点，O 01经过点B、D,交AB于另一点E,。2经 过点C、D,交AC于另一点F,。1、。02交于点G.求证：（1） / BAC+Z EGF= 180 °（2） / EAG = / EFG .（8） 彳42:矩阵与变换已知M= 32 , 3= 4 ,试计算M9 62 -25C.选彳44:坐标

8、系与参数方程x=2cosQx=2t+2,已知曲线（。为参数）和曲线（t为参数）相交于两点 A、B,y= v3sin 0y=3t求A、B的坐标.D.选彳45:不等式选讲1已知x、y均为正数，且 x>y,求证：2x+ x2_ 2xy y2>2y+3.必做题第22、23题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.22.如图，已知正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AB=2, AAi = 4, E为BC的中点，F 为直线CCi上的动点，设cTf= ?fc.(1)当 仁1时，求二面角 F DE C的余弦值；(2)当入为何值时，有 BDiXEF?23.某养鸡场对疑

9、似有传染病的100只鸡进行抽血化验，根据流行病学理论这些鸡的感染率为10%,为了减少抽检次数，首先把这些鸡平均分成若干组，每组 n只，并把同组的n 只鸡抽到的血混合在一起化验一次，若发现有问题，再分别对该组n只鸡逐只化验.(1)当n=4时，记某一组中病鸡的数量为X,求X的概率分布和数学期望；(2)当n为多少时，化验次数最少？并说明理由.南京市名校2011届高三模拟考试数学参考答案及评分标准1 .（ 8, 2 2, 1 3. X2-y2= 1 4.10 5.45 或 135° 6. 5 7. 1,9 U （8, 3 338, y=2sin2x+6 9. ；1r彳1 10, -2 11.

10、2 12,乎 13. 3 14, -2<k<415 .解：（1）用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.（5分）（2）样本中成绩在7080之间有2人，设其编号为，样本中成绩在8090之间有4人，设其编号为，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：，；，；，；，；.（9分）故从样本中成绩在 7090之间任选2人所有可能结果数为15, （12分）至少有1人成绩在7080之间可能结果数为9,因此，所求概率为P2=0.6,（14分）16 .解：（1） 2sin2 B： C +sin筑os 2+ A 3232=1 + cosB+ C + sinSinA（2 分）33

11、=1 + cos 5f-A + sinSinA 33=1 + cos7TcosA+ sin vsinA+ sin TsinA 3337t7t7t=1 + cos3cosA sin3sinA + sin3sinA7 八= 6.（6分）b2+ c2 a21（2）-= cosA=-2bc32C C Co ."bc= b2+ c2 a2> 2bc a2.（8 分） 3又 a = V3,bc< 4,.一 .3 .99当且仅当b=c=2时，bc=4,故bc的取大值是4.（10分）cosA=4,sinA=22, S=：bcsinAw 3V2.（12 分）3324故三角形面积的最大值是斗

12、.（14分）17 .证明：（1）连结BD,由已知，M为AC和BD的中点.又N为PD的中点,MN/BP. MN?面 ABP, ， MN/面 ABP.(6 分)(2) ABXBP, ABXBC,ABL面 BPC, AB±PC.(8 分)充分性： BPXPC, PC,面 ABP, 平面ABPL平面 APC.(10分) 必要性：过点B作BELAP于巳 平面 ABPL平面 APC, BE,面 APC, BEX PC. PCXAB,PC±W ABP,BP，PC.(14 分) a2b2 x2 . x18.解：(1) A a, 了，B b,记 f(x)=Q f (x)=-,则 1i即y=2

13、x 4；同理得l2的方程为y = bx7.(6分) a 一(2)由题意awb且a、b不为零，联立方程组可求得 P 0 ,的方程为a2 a yZ/xa)，分）Q?R ayb, ab .(8抛物线的焦点 F(0,1), - Kpf=-2, Kpf Kpa= - 1,故 lPF,同理 l2，RF.(10 分) a经过P、Q、R三点的。C就是以FR为直径的圆，一a+ b OC： x x-2- +(y-1)(y-ab) = 0,当 a = 4, b= 2 时，O C： x2+y2x+ 7y-8=0, (14 分)显然当awb且a、b不为零时，O C总过定点F(0,1). (16分)19. (1)证明：n

14、=1 时，a= Si = 2+72a1，解得 a1= 3.(2 分)n>2 时，an= Sn Sn 1 = 2 2an+2an-1,即 3an = 2an 1 + 2,2可信 an 2 = q(an 1 2), 3所以an2是首项为1,公比为2的等比数列.（6分）3（2）解：由（1）可得：an2= 21,32一所以 an=2+ 3 n 1.1<22n 1由2+ 3n台旺酎+得k4+42只需求出 p(n)=+ n2n设 f* g(n) =易得f(n)单调递减，2g n 3g n+ 1 nn19八n+n , (8 分)9 .一 .一n + 9的最大值即可.h(n) =厂+n+12=2故

15、g(n)单调递减,3 n+19h(n)-h(n+1)= n + 1 + n；n+9 , (10 分)2>1,9n十一 n所以 g(n)vg(n+1), (12 分)n2+ n 9n n+ 1 '当 n>3 时，h(n)>h(n+1),故 n>3 时，h(n)单调递减，2 n 1所以n>3时，p(n)=n2+3n n+9随着n的增大而减小，(14分)而 p(1) = -7, p(2) =所以p(n)的最大值为464故k>一所.(16分)20.解：(1)当 a=035 叩 464p(3)=-464，8 1时,，,1八f(x) = 2x+2+lnx,令 f

16、 (x) = 2 = 、' 'x1 2x 10,解出：0Vx x所以f(x)的单调增区间. .1(2)令 f (x) = ax-x+； x1 -10, 2 或 0，2 .(3分)ax2 - 2x+ 1=0,x分)f(x)在(i , + °°)上只有一个极值点？r(x)=o在(1, +8)上只有一个根且不是重根.(5令 g(x) = ax2- 2x+ 1, xC (1, 十°0 ),当a=0时，当a>0时, vav 1;当a<0时, > 1;矛盾.综上所述，实数g(x)=- 2x+ 1,不在(1,g(x)= ax2- 2x+ 1,在

17、(1g(x)= ax2- 2x+ 1,在(1十 °°)上有一个根，舍去；,+8)上只有一个根且不是重根 ？ g(1)<0? 0+ °° )上只有一个根且不是重根 ？ g(1)>0? aa的取值范围是0vav 1.(8分)注：可以合并为：ag(1)<0? 0<a<1.(3)当x1 = x2,显然满足，以下讨论X1Wx2的情况.当 a>1 时，f' (x) =1 ax2-2x+ 1 axa xC(0,1,4(0,1, a即f(x)在(0,1上单调递增.x1 ax-a (io 分)2-1+ 1 >1->0

18、,得到 f (x)> 0, aa对于任意Xi、X2 (0,1,不妨设X1VX2,则有f(X1)Vf(X2),且X2>X1代入不等式 |x1 X2 |< |f(x1)f(X2)|? f(x2) f(X1)>X2x1? f(X2) X2> f(x1) X1,0 金太阳新课标资源网 第17页共13页金太阳新课标资源网i 引入新函数：h(x)=f(x)x=/ax23x+ 2+ lnx, h' (x) = ax- 3+11= ax x3x+ 1，所以问题转化为h' (x)>0, xC (0,1上恒成立一 o- 3x-1 3x-1? ax 3x+ 1 A

19、 0? a A 2 ? aA2 maxxx . 3x 1 一. 令l(x)=3xx2，通过求导或不等式判断都可以:r (x) = 2A3,当 0V xv 2, l' (x)>0; 1<x<1, l' (x)V0, x33所以当 x= I， l(x)max=l f =,所以 a*；(13 分)3344当 av 1 且 aw 0 时，f' (x) =-4a>0,且 k(1)=a- 1V0;ax2 2x+ 1x,令 k(x)= ax2 2x+ 1=0,方程判别式 A= 4所以f(x)在(0,1)上只有一个极大值.不妨设极大值点为x1，记A(x1，f(x

20、1)，在 A 点处的切线的斜率为 0；过A点作一条割线 AB,肯定存在点 B(x2, f(x2)使得|kAB|V1.因为|kAB|慢慢 _ 、|f x1 f x2 |. j变成0.这样存在x1、x2,使得 * 刈 V 1与|x1 x2|W |f(x1) f(x2)|矛盾.当a = 0时，f(x)在(0,1)上只有一个极大值，同样得出矛盾.综上所述，求实数a的取值范围为a>9.(16分)南京市高三数学附加题参考答案第页（共2页）南京市名校2011届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A.证明：连结GD,由B、D、E、G四点共圆，可得/ EGA=/B,同理/ FGA =/ C,故

21、/ BAC+Z EGF = / BAC+Z B+Z C= 180 .(5 分)(2)由题知E、G、F、A四点共圆，故/ EAG = /EFG.(10分)心32B.解：由=(卜 3)(入+ 2) + 4=%一卜 2 = 0,-2 入+ 2得方=2,次=- 1.(4分)2当4=2时，对应的特征向量为01=；1当加=一1时，对应的特征向量为02=, 3= %+2(X2, (8分)2 5所以 M93= 29 2 +(- 1)92 1 = 1 022 .(10 分)125083C. (2,0)和 1, 2 (10 分)D.证明： 因为 x> 0, y>0, x y>0,所以 2x+ 2

22、 2v+v22y=2(xy)+(4 分)x 2xyyx y=(x-y) + (x-y) + 1-2> 3、lx- y 2 1 = 3, x y yx y1所以 2x+ x2-2xy+y2>2y+3.(10 分)22 . (1)解：建立空间直角坐标系，则 E(1,0,0), F(0,0,1), EF = (-1,0,1).设平面 ABCD 的法向量为 n,则 n= (0,0,1). D(0, 2,0), F(0,0,2),EF = (-1,0,2), DF = (0,2,2).设平面FDE的法向量为 m,则m-DF =0, m EF = 0, m=(2, - 1,1). (4分)/、_ m n _6"cos