2019高考数学理高分大二轮课件专题7第2讲综合大题部分

1、专题专题7 立体几何立体几何 第2 讲 综合大题部分 考情考向分析考情考向分析 1以解答题的形式，借助柱、锥体证明线面、平行、垂直以解答题的形式，借助柱、锥体证明线面、平行、垂直 2利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小 3利用空间向量探索存在性问题及位置关系利用空间向量探索存在性问题及位置关系 1(证垂直平行或求线面角证垂直平行或求线面角)(2018河南天一大联考高中毕业测河南天一大联考高中毕业测试试)如图所示，如图所示， 直三棱柱直三棱柱ABC - A1B1C1中，中，ACBC， CAB45 ，AB2 2，点，点E，F分别是分别是AB，A1C的

2、中点的中点 (1)求证：求证：EF平面平面BB1C1C； (2)若二面角若二面角C - EF - B1的大小为的大小为90，求直线，求直线A1B1与平面与平面B1EF所成角的正弦值所成角的正弦值 2 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 解析解析：(1)证明：如图，连接证明：如图，连接AC1，BC1， 则则FAC1且且F为为AC1的中点，的中点， 又又E为为AB的中点，的中点，EFBC1， 又又BC1?平面平面BB1C1C，EF?平面平面BB1C1C， 故故EF平面平面BB1C1C. (2)因

3、为三棱柱因为三棱柱ABC - A1B1C1是直三棱柱，是直三棱柱， 所以所以CC1平面平面ABC，得，得ACCC1，BCCC1. 因为因为ACBC，CAB45，AB2 2， 3 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 故故ACBC2.以以C为原点，分别以为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立如轴建立如 图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系 设设CC12 (0)，则，则E(1,0,1)，F(0，1)，B1(2,2 ，0)， 4 精准考点突破精准考点

4、突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 CE(1,0,1)，EF(1，0)，FB1(2，1) 取平面取平面CEF的一个法向量为的一个法向量为m(x，y，z)， ? ? ?CEm0，由由? ? ?m0? ?EF ? ? ?xz0，得得? ? ? ?xy0， 令令y1，得，得m(，1，)， 同理可得平面同理可得平面B1EF的一个法向量为的一个法向量为n(，1,3 )， 二面角二面角C - EF - B1的大小为的大小为90， mn213 20， 5 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押

5、题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 223 2解得解得，得，得n(，1，)， 222又又A1B1AB(2,0，2)， 设直线设直线A1B1与平面与平面B1EF所成角为所成角为， |nA1B1|6则则sin |cosn，A1B1|. 6|n| A1B1|6 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 2(证明平行、垂直、求二面角证明平行、垂直、求二面角)已知四棱锥已知四棱锥P - ABCD的底面的底面ABCD是直角梯形，是直角梯形，ADBC，ABBC，AB3，BC2

6、AD2，E为为CD的中点，的中点，PBAE. (1)证明：平面证明：平面PBD平面平面ABCD； (2)若若PBPD，PC与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为 ，求，求 4二面角二面角B - PD - C的余弦值的余弦值 7 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 解析解析：(1)证明：由证明：由ABCD是直角梯形，是直角梯形， AB3，BC2 AD2， 可得可得DC2，BCD3，BD2， 从而从而BCD是等边三角形，是等边三角形， BDC3，BD平分平分ADC， E为为CD的中点，的中点，

7、DEAD1，BDAE， 又又PBAE，PBBDB，AE平面平面PBD， AE? ? 平面平面ABCD，平面平面PBD平面平面ABCD . 8 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 (2)如图，作如图，作POBD于于O，连接，连接OC， 平面平面PBD平面平面ABCD，平面，平面PBD 平面平面ABCDBD，PO平面平面ABCD， PCO为为PC与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PCO， 4 又又PBPD，O为为BD中点，中点，OCBD，OPOC3， 以以OB，OC，OP为为x，y，z轴建

8、立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系， 9 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(1,0,0)，P(0,0，3) PC(0，3，3)，PD(1,0，3)， 设平面设平面PCD的一个法向量的一个法向量n(x，y，z)， ? ? ?nPC0，由由? ? ?PD0? ?n ? ? ?3 y3 z0，得得? ? ? ?x3 z0， 令令z1得得n(3，1,1)， 又平面又平面PBD的一个法向量为的一个法向量为m(0,1,0)， 设二面角设二面角B - PD -

9、 C为为， |nm |15则则|cos |. |n|m |5155所求二面角所求二面角B - PD - C的余弦值是的余弦值是. 510 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 3(已知位置探索点已知位置探索点)如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，中，CACBCC12，ACC1CC1B1，直线，直线AC与直线与直线BB1所成的角为所成的角为60. (1)求证：求证：AB1CC1； 1(2)若若AB16，M是是AB1上的点，上的点， 当平面当平面MCC1与平面与平面AB1C夹角

10、的余弦值为夹角的余弦值为 时，时，5AM求求的值的值 MB111 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 解析解析：(1)证明：在三棱柱证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，各侧面均为平行四边形，中，各侧面均为平行四边形， 所以所以BB1CC1， 则则ACC1即为即为AC与与BB1所成的角，所成的角， 所以所以ACC1CC1B160， 如图，连接如图，连接AC1和和B1C， 因为因为CACBCC12， 所以所以ACC1和和B1CC1均为等边三角形，均为等边三角形， 取取CC1的中点的中点O，

11、连，连AO和和B1O， 则则AOCC1，B1OCC1， 又又AOB1OO， 所以所以CC1平面平面AOB1， AB1? ? 平面平面AOB1， 所以所以AB1CC1. 12 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 (2)由由(1)知知AOB1O3，因为，因为AB16， 则则AOB1O222AB1，所以，所以AOB1O， 又又AOCC1，所以，所以AO平面平面BCC1B1， 以以OB1所在直线为所在直线为x轴，轴，OC1所在直线为所在直线为y轴，轴，OA所在直线为所在直线为z轴，轴， 建立如图空间

12、直角坐标系，建立如图空间直角坐标系，则则A(0,0，3)，C(0，1,0)，C1(0,1,0)，B1( 3，0,0)，AC(0，1， 3)，AB1( 3，0，3)，CC1(0,2,0)， 13 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 设设AMtMB1，M(x，y，z)， 则则(x，y，z3)t ( 3x，y，z) 3 t33 t3所以所以x，y0，z，M(，0，)， t1t1t1t13 t3所以所以CM(，1，)， t1t1设平面设平面ACB1的法向量为的法向量为n1(x1，y1，z1)， 平面

13、平面MCC1的法向量为的法向量为n2(x2，y2，z2)， ? ? ?n1AC0，所以所以? ? ?AB10? ?n114 精准考点突破精准考点突破 ? ? ?y1? ? ? ? ?3 x13 z10，3 z10， 增分强化练增分强化练 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 解得解得n1(1，3，1)， ? ? ?n2CC10，? ? ?CM0? ?n2 ? ?2 y20，? ? ? ? ?3 t3x2y2z20.? ?t1? ?t1 解得解得n2(1,0，t) |1t|n1n2|1所以所以|cos | ， 2|n1|n2|5 1t51AM

14、1AM解得解得t 或或t2，即，即 或或2. 2MB12 MB115 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 1向量法求直线和平面所成的角向量法求直线和平面所成的角 设设为直线为直线l与平面与平面所成的角，所成的角，为直线为直线l的方向向量的方向向量v与平面与平面的法向量的法向量n之之间的夹角，则有间的夹角，则有 (如图如图1)或或 (如图如图2)，所以有，所以有sin |cos | 22|vn|cosv，n|.特别地，特别地，0时，时， ，l； 时，时，0，l? ?或或l. |v|n|2216

15、 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 2向量法求二面角向量法求二面角 设二面角设二面角 - l - 的平面角为的平面角为(0)，n1，n2分别为平面分别为平面，的法向量，向量的法向量，向量n1n2n1，n2的夹角为的夹角为，则有，则有 (如图如图3)或或(如图如图4)，其中，其中cos . |n1|n2|17 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 3解决立体几何中探究性问题的基本方法解决立体

16、几何中探究性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在通常假设题中的数学对象存在(或结论成立或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在在 (2)探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用 (3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性

17、问题转化为方程是否有解的利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理问题进行处理 18 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 1混淆混淆“ 两向量关系两向量关系” 和和“ 线面关系线面关系” 典例典例1 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P -ABCD中，底面中，底面ABCD是菱形，是菱形，PD平面平面ABCD，PDAD3，PM2 MD，AN2 NB，DAB60. (1)求证：直线求证：直线AM平面平面PNC； (2)求二面角求二面角D - PC - N的余

18、弦值的余弦值 19 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 解析解析 (1)证明：取证明：取AB的中点的中点E，因为底面，因为底面ABCD是菱形，是菱形，DAB60， 所以所以AED90. 因为因为ABCD， 所以所以EDC90，即，即CDDE. 又又PD平面平面ABCD，CD，DE? ? 平面平面ABCD， 所以所以PDCD，PDDE. 故故DP，DE，DC两两垂直两两垂直 20 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页

19、上页 下页下页 末页末页 以以D为坐标原点，为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线分别为所在的直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标 系，如图所示系，如图所示 21 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 3 3 13 33则则D(0,0,0)，P(0,0,3)，N(， ，0)，C(0,3,0)，A(， ，0)，M(0,0,1)，所以所以AM22223 33(， ，1)，PC(0,3，3)， 223 35NC(， ，0) 22设平面设平面PNC的法向量为的法向量为n

20、(x，y，z)， ? ? ?nPC0，则则? ? ?NC0，? ?n ? ?3 y3 z0，? ?即即? ?3 35xy0，? ? ?22 5 3令令z1，得平面，得平面PNC的一个法向量为的一个法向量为n(，1,1)， 922 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 3 35 33所以所以AMn 110， 292即即AMn， 又又AM? ? 平面平面PNC， 所以直线所以直线AM平面平面PNC . (2)由题意得，平面由题意得，平面PDC的一个法向量为的一个法向量为m(1,0,0) 5 3由由

21、(1)知平面知平面PNC的一个法向量为的一个法向量为n(，1,1)， 9m n5 79所以所以cosm，n. |m |n|79由图形可知，所求二面角为锐二面角，由图形可知，所求二面角为锐二面角， 5 79所以二面角所以二面角D - PC - N的余弦值为的余弦值为. 7923 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 易错防范易错防范 利用向量法证明立体几何问题的注意点：建立空间直角坐标系时，一利用向量法证明立体几何问题的注意点：建立空间直角坐标系时，一定要有三线垂直或先证明三线垂直；证明线面平行

22、时，证明了直线的方向向量和定要有三线垂直或先证明三线垂直；证明线面平行时，证明了直线的方向向量和平面的法向量垂直后，不要忘记说明直线不在平面上；用向量法来证明平行与垂平面的法向量垂直后，不要忘记说明直线不在平面上；用向量法来证明平行与垂直，尤其是利用向量法来证明正方体、长方体、直四棱柱中的相关问题时，避免了直，尤其是利用向量法来证明正方体、长方体、直四棱柱中的相关问题时，避免了繁杂的推理论证，把几何问题代数化，但是向量法要求计算必须准确无误繁杂的推理论证，把几何问题代数化，但是向量法要求计算必须准确无误 24 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强

23、化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 2混淆混淆“ 两向量夹角两向量夹角” 与与“ 空间角空间角” 典例典例2 (2018江西宜春段考江西宜春段考)如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P - ABCD的的底面底面ABCD为平行四边形，平面为平行四边形，平面PAB平面平面ABCD，PBPC，ABC45，E是线段是线段PA上靠近点上靠近点A的三等分点的三等分点 (1)求证：求证：ABPC； (2)若若PAB是边长为是边长为2的等边三角形，求直线的等边三角形，求直线DE与平面与平面PBC所成角的正弦值所成角的正弦值 25 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练

24、真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 解析解析 (1)证明：作证明：作POAB于于O，连接，连接OC. 因为平面因为平面PAB平面平面ABCD，且平面，且平面PAB 平面平面ABCDAB， 所以所以PO平面平面ABCD .(利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理) 因为因为PBPC，所以，所以POBPOC， 所以所以OBOC. 因为因为ABC45，所以，所以BOC90， 即即OCAB . 又又POCOO，所以，所以AB平面平面POC . 因为因为PC? ? 平面平面POC，所以，所以ABPC.(利用线面垂直的判定定理与性质定理利用线面垂直的判定定理与

25、性质定理) 26 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 (2) 因为因为PAB是边长为是边长为2的等边三角形，的等边三角形， 所以所以PO3，OAOBOC1. 依题意建立如图所示的空间直角坐标系，依题意建立如图所示的空间直角坐标系， 27 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 则则P(0,0，3)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，(利用条件建立空间直角坐标系并写利用条件建立空间直角坐标系并写出相关点的坐标出相关点的坐标) 所以所以PB(1,0，3)，BC(1,1,0)， 设平面设平面 PBC 的法向量为的法向量为n(x，y，z)，(设出或求出相关向量的坐标设出或求出相关向量的坐标) ? ? ?nPBx3 z0，则则? ? ?BCxy0，? ?n令令x3， 28 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 可得平面可得平面PBC的一个法向量为的