A24隐函数求导课件

1、A24隐函数求导PPT课件 2-4隐函数及由参数方程所确定函数的导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数 相关变化率相关变化率0 隐函数的导数隐函数的导数0 对数求导法对数求导法0由参数方程所确定函数的导数由参数方程所确定函数的导数0相关变化率相关变化率A24隐函数求导PPT课件一、隐函数的导数一、隐函数的导数 102定义定义: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函函数数该该区区间间内内确确定定了了一一个个隐隐在在那那么么就就说说方方程程的的值值存存在在唯唯一一的的相相应应地地总总有有满满足足这这方方程程间间内内的的任任意意值值时时取取某某区区当当中中设设在在方方程程.)(形形

2、式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?A24隐函数求导PPT课件例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.A24

3、隐函数求导PPT课件2)2)设设 y=y(x) 由方程由方程 ey =xe f(y) 确定确定, f 二阶可导二阶可导, f 1, 求求 y .解解 方程两边对方程两边对x求导求导: ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1 )()(1 yfxyyfxyfy 332)(1 )()(1 yfxyfxyfx A24隐函数求导PPT课件3) 函数函数y=y(x)由方程由方程0)sin(222 xyeyxx所确定所确定, dxdyxyyxyyxeyx2)cos(2)cos(222222 求求y 解：解：02)

4、22()cos(222 yxyeyyxyxxA24隐函数求导PPT课件例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.A24隐函数求导PPT课件例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解

5、解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxyA24隐函数求导PPT课件二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘

6、和和幂幂指指函函xvxuA24隐函数求导PPT课件例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设A24隐函数求导PPT课件例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx A2

7、4隐函数求导PPT课件一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf A24隐函数求导PPT课件三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数 P106.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消

8、参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?tA24隐函数求导PPT课件),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytxA24隐函数求导PPT课件,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)(

9、)()()()(322tttttdxyd 即即A24隐函数求导PPT课件 x=OT-PQ=r-rsin=r(-sin) y=TC-QC=r(1-cos)注：摆线也叫旋轮线，是数学、力学和物理上比较最要的曲线，伽注：摆线也叫旋轮线，是数学、力学和物理上比较最要的曲线，伽利略第一位研究（意大利利略第一位研究（意大利,15641642），他提出按旋轮线的形太造），他提出按旋轮线的形太造桥；后来伯努利（瑞士数学家桥；后来伯努利（瑞士数学家16671748）证明倒摆线是最速降线；）证明倒摆线是最速降线；惠更斯（荷兰物理学家惠更斯（荷兰物理学家16291659）证明摆线是等时曲线即不管质）证明摆线是等时曲

10、线即不管质点点P在倒摆线的哪个位置，滑到底部所需的时间相同，钟摆要按摆在倒摆线的哪个位置，滑到底部所需的时间相同，钟摆要按摆线的弧摆动，无论摆幅大小，钟摆完成一次摆动所用时间相同线的弧摆动，无论摆幅大小，钟摆完成一次摆动所用时间相同 A24隐函数求导PPT课件例例解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttaxA24隐函数求导PPT课件.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即2) 设

11、设 ),1(,)(3tefyxfx 其中其中f 可导可导, 且且., 0)0(0 tdxdyf求求3)0()0(3)()1(30330 fftfefedxdytttt解：解：A24隐函数求导PPT课件3) 求求 对数螺线对数螺线 e 在点在点)2/,(),(2/ e处的切线的直角坐标方程。处的切线的直角坐标方程。.2/ eyx解：解： sinsin,coscoseyex曲线在点曲线在点处的切线的斜率为处的切线的斜率为1sincoscossin2/)2/,(2/ eeeeye因此，所求切线方程为因此，所求切线方程为),0(2 xey 即即)2/,(2/ e点点的直角的直角 坐标为坐标为)2/,(

12、2/ e), 0(2/ eA24隐函数求导PPT课件例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在ttA24隐函数求导PPT课件)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin000

13、0 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv A24隐函数求导PPT课件例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsi

14、ncos3sec22 tatsin3sec4 A24隐函数求导PPT课件四、四、 相关变化率相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与它们的变化率它们的变化率之间存在函数关系时之间存在函数关系时与与当变量当变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?A24隐函数求导PPT课件1.1.先建立先建立x,yx,y之间的函数关系之间的函数关系F(x,y)=0,F(x,

15、y)=0,2.2.方程方程F(x,y)=0F(x,y)=0两边对两边对t t求导求导, ,得到得到 与与 的关系式的关系式. .dtdxdtdy解决这类问题的一般途径是解决这类问题的一般途径是: :例例 以每秒以每秒10cm3 的速度给气球打气的速度给气球打气,当气球半径为当气球半径为5cm时时,气球表面的增长率是多少气球表面的增长率是多少?./44108,4,/104,34252552323scmrrdtdrdrdAdtdArAscmdtdrrdtdvrVrrr A24隐函数求导PPT课件例例1 1解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时

16、时当当气气球球高高度度为为分分米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的的仰仰角角为为观观察察员员视视线线其其高高度度为为分分钟钟后后设设气气球球上上升升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140分分米米 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500A24隐函数求导PPT课件例拉船靠岸问题拉船靠岸问题在离水面高度为h（米），有人用绳子拉船靠岸，若绳子长L（米）船离岸s（米），问当收船的速度为v0（m/s）时船的速度v多少？A24隐函数求导PPT课件例3如图是一个高4米底半径2米的圆锥容器，若以 2米3/秒速度注水，求水深3米时水面的上长速度。 解：V=1/3 r3h 由相似三角形中 得： r/h=2/4, r=h/2 V=h3/12 9842dtdVhdtdhA24隐函数求导PPT课件