初三数学巧解代数问题指导

1、初三数学巧解代数问题三角变换在数学中属于工貝性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅 可使题中各最之间的关系变得肓接明了、结构特征显现，而且代数屮原来繁琐、复杂的运算 变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要关于捕捉已知条件或结论中体 现出的三角函数的各种信息，选収适当的三角代换，从而将代数问题转化为三角问题。1.捕捉“兀2+,2 的信息例1.解不等式j匸；一丄。2分析：由于（vtr+ju + l厂=4,于是令 v3 - x = 2sin 0, jx + 1 = 2coso 0 g 0,712,则原不等式化为2sin& 2cos&>£,

2、所以：2sin > 2cos +丄.2 2rh&0,知可知2cos+丄>0.式(*)两边平方并整理得32cos? 0 + 8cos& _ 2 215<0,解得oscos&v 血。由x = 4cos2-lnj得，1 v 兀 故原不等 8 8式的解集是1- vnl 0例2.给定正整数n和正数m,对于满足条件+ a2+ <m的所有等差数列 av a2,勺, ，试求s = a”+i+%+2 +勺”+1的最大值。分析：由 +色/匕加，可设ax - rcos, = rsin0f 0 < r < vm ，则由 弘严5+加，得d/te.于是s = q

3、”+ +an+2 + +6/2+1="；1 (2% + 3nd)w + l)(“os& +也皿二皿)4二呼£(3sin0-coso) =(zt + l)vtor sin(0 - (p).其屮 sin (p = j , cos 6? = 2v10vlo当il仅当sin(&-炉)=1,且r = 4m时等式成立。这时sin"=cos0=-9"sjnax =二2皿2.捕捉“1x15 1或j1-/ ”的信息例 3设0<lxl<h n>2, n en 求证：(l-x)n+(l + x)n <2n. _ x i + x(分析：由

4、于<1且+“可设"20,珂0,71且吩,(1_兀)”+(1+创= (2sii?0)" 4-(2cos2 oy=2/?(sin2 ey + (cos2 3y< 2气sil? 0 + cos2 &) = t.例 4.己知 a、b 为非负数，且 ji" .ji =ab,求证 a-b2 +b-a2 =1.分 析：jl a，、jl-b，有意义,暗示lals 1, ibls 1, 故 nj 设 a = sin a ,ttb = sin0, o、0,。由已知条件可得，亠7tcos6/cos/? = sinqsin" 即cos(-0) = 0,所以&

5、amp; + 0 = ,-b2 +h-a2 = sin a cos p + cos a sin i - sin(<z + 0) = 1.3.捕捉“”的信息例5.数列%满足a() = + ,nne),求证仏是单调数列。分析：由于匕=与余弦函数的半角公式的结构完全一致,因为a”所以=ea. = cos,4e=cost口0< ecos> cos2” "0 0 尹cos> cos > cos&.42故可设a0 =cos = -, &0,3 即a。<a <a2 < - <an_x <an o故数列a“是单调数列。4.捕

6、捉“ 7x2±l ”的信息例6.解不等式,x *上茸> ov1 + x2 + 兀-分析：考虑到关键是去根号,联想到公式l + tan2=sec2,设x 二 tan",（一守，彳），则原不等式可化为sin& + cos2&0即（2sin&+l）（sin01） <0,解得一丄 vsin&vl,所以一 < 0 < 2 6 2原不等式的解为o35.捕捉“上兰上”的信息 + xy例7.数列a“中，a = v3, an =上巴二> 2）,求a“。1-碍-】分析：由色二上匕d联想到1一碍-1(7v1 + tan(7tan &a

7、mp; + =v 4 丿 1 - tan crjrit由此可令 = tana, h<a < ,贝lj221 + d 1 + tana(兀、a2 = ta叫+ a ,l-al1 - tan av 4丿5)1 + a,5 l-tz21 + tan + a _14丿711 - tan + o丿= tan(2 矜an = tan (/? - 1) + a证明略。故所求通项公式为、兀 7ta” = tan (n - 1)+ ”432 yj r &捕捉和刁”的信息例&解方程组（1 一兀r）忑+ = 2兀 r 伙=1, 2,，n, nkxn+l = xx o分析：若把原式变形为兀

8、+=二可，则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致,1-x/因此可令右牡匕，-）兀22tan1-tan2 0tan 2xk = tan2a 1 (z: = l 2,，n, n + 1)因为兀+ = x,所以 tm2n0= tan6, 2" 0 = m兀 + &(jn ez), 0 = 一 (m ez).2 1于是原方程组的解为=tan2kl m7r2" 1(mw乙2,，n +1).例 9.求 f(x)=1 + x -1 + 2x + x4的值域。分析：将/(q的表达式裂项变形得,l-2x2 +x4p/(x) = +.1 + 2, +十 1 + 2, +-x21 + x

9、2 j由此联想到力能公式，由xg/?,(7ia7i< < ,l222丿ax = tan 2贝uy = sincr + cos2 a 1 sin a 4")1716 当sina = -l, b|jx = -1 时r ymin = - y oj当six冷，即x4土后时，y丿max故/co的值域是丄，11ll 216j7.捕捉“兀+ y + z二xyz ”的信息例1().已知兀、y、z w r,求证:兀y . y z . z x (x - y)(y - z)(z- x)1 + xy 1 + yz 1 + xz(1 + xy)( + yz)(l + xz)分析：由等式的结构联想到

10、aabc中有tan a + tan b 4- tan c = tan a tan b tan c。由此可设 x = tan a, y = tan卩、z = tan/ ,则=tan(a 一 0), =tan(y?- /),1 + xy1 + yz7 y=tan(/ 一 a).1 + xz由于(& 一 0) + (0- y) + (厂 一 a) = 0,所以 tan(6r 一 0) + tan(/?-/) + tan(/ 一 a)=tan(a 一 0) tan(/?- /) tan(/ 一 a)原式成立。8.捕捉“/_沪=”的信息例11.已知x2-y2 =4,求丄上的取值范围。对 x分析：由己知条件x2 -y2 =4联想到公式1 + tan2 a