湖南省中考数学总复习第四单元三角形课时21图形的相似课件

1、课时21图形的相似【嶼制】2【暑】»烷 az/bcc 暫專KXC3召5DrbEH2:-ArCF 卜AB2+EF;2l2+E1EF3命题点二相似三角形的性质2018 -永州如图212,在T3C中，点Q是边肋上的一点ZADC= Z/C乩Q=2/D=6,则边勺长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】V ZA=ZA,ZADC=ZACB,:.'ADCs /ACB.:.巻=奚AB A C:.AC2=ADAB=2=16.9：AC>Qy：.AC=4.故选 B.2017湘潭如图213在SBC中Q,E分别是边曲山Cfl勺中点，则"QE与43Cfl勺面积比Siad

2、e：S“bc=A图213【答案】i【解析】£分别是边肿3C的中点,:.DE 是MBC 的中位线, ADEsHABC、°SqLD£ .Sd!5C=（卷）'= G）'=4AB 24命题点三相似三角形的判定2018邵阳如图214,点E是平行四边ABCD的边8C延长线上一点，连接辺交CD于点F连接BF写出图中任意一对相彳疟角形:UDFs（答案不唯一）命题点四位似2018邵阳如图215,在平面直角坐标系中，已知点4(2,4),过点川乍曲丄x轴于点将"03以坐 标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到 COD,则CD的长度是()A. 2B. 1C. 4

3、D. 2【答案】A【解析】点理(2,4),过点厦作曲丄x轴于点从 将/OB以坐标原点O为位似中心缩小为原 图形的，得到 COD.C(1,2),CQ的长度是 2.故选A.2017-长沙如图216,曲O三个顶点的坐标 分别为力(2,4)/(6,0),0(0,0).以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的，可以得到M矽O 已知点8的坐标是(3,0),则点J的坐标是y642Aa/卜O26 x§21-6【答案】(1,2)【解析】根据位似变换的性质及位似比可知 晟的坐标为(1,2).命题点五相似三角形的应用7. 2018-岳阳如图217,九童算术是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾

4、五步，股十二步，问勾中容方几何?"其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步,问:该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步厂该问题的答案是步.图217»课前考点过关(【答案】等【解析】如图,四边形CDEF是正方形,CD=ED.DE/CF.设ED=x CD=xD=nx. 9：DE/ CF,Z4DE=ZC, ZAED= ZB,:. MDEs MCB,:.等=耸即亍非解得x唱如图,四边形DGFE是正方形， 过点 C 作 CPLAB 于点只交 DG 于点 0.设 ED=y. *： Sabc=AC-BC=AB- CP,.12 ><5 =

5、 13CP,解得 CP畔.同理 乙乙JLD60可得 CDGs CAB、篇=系即苧劈解得尸曙v菩,.该直角三角形能容纳的正方形边长最大是鈴步.考点自查考点一比例线段对于四条线段Q,b,C,d,其中两条线段的长度的比洱另U两条线段的长度的t匕#目等，即乂或a : b=c : 0则线段 ClD CtaM叫做成比例线段，简称比例线段.(1)基本性质若上=+，则加= be ； b d a反比裁：若纟仝,则J7.；b cl a jh-(3)等比性质:若严g则鼻債；合比性质若上垃,则学二牛一.b au 黄金分割:如果点P在线段AB上，分 AB为两部分HP与BP*P>BP、且兰=%AB AP 那么称线段

6、AB被点P黄金分割，点P叫 做线段AB的黄金分割 与AB的 比叫做堇金分割比菩=浮AB 2 0.618四条线段aM成比例，记作駅名不能写成其他形式(比例线段旬I页序性);(2)计算线段a,b的比时，必须先把单位统考点二平行线分麋成比例定理:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例;平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.考点三相似图形相似图形形状相同的图形称为相似图形相似三角形我们把一个角对应相等，且一条边对应成比例的两个一角形叫做相似一角形相似多 边形定义我们把对应角相等，并且对应

7、边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似比相似多边形对应边的比称为相似比考点四相似三角形的判定三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:类型斜三角形直角三角形全等二角 形的判定SASSSSAAS(ASA)HL相似三 角形的判定两边对应成比 例且夹角相等三边对应成比例两角对应相等条直角边与斜边对应成比例考点五相似三角形与相似多边形的性质(1) 相似三角形的对应边成比例；(2)相似三角形的对应角相等；(3)相似三角形的周长之比等于 相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方5)相似三角形对应边上的高之比、对应 边上的中线之比、对应角的平分线之比等于相似比(1) 相似多i力形的对应边成比例:

8、相似多边形的对应角相等；相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.考点六相似三角形的应用几何图形的 证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度、图形的面积等相似二角形在实 际生活中的应用建模思想建立相似二角形的模型常见题 目类型利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；(2) 测量底部可以至哒的物体的高度；(3) 测量底部不可以到达的物体的高度；(4) 测量不可以到达的河的宽度考点七位似1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比：(2) 位似图形对应点的连线或延长线相交于一点：(3) 位似图形的对应边平行(或在一条直线上)；位似图形的对应

9、角相等在平面直角坐标系中如果位似是以原点为位似中心相似比为斤,那么位 似图形对应点的坐标的比等于斤或咗1)确定位似中心O；(2) 连接图形各顶点与位似中心O并延长；(3) 按照相似比取点；(4) 顺次连接各点，所得图形就是所求作的图形.易错警示1.在相似三角形中，对应边成比例,在解题中所列的比例式错误，而导致计算错误.2.在位彳以中，要准确理解位彳以比（位似t匕就是新图形的边与原图形的对应边的长度之比）的含义作图时要 分清在位似中心的同侧还是异侧作图.如图21 &在平面直角坐标系中，点的坐标分别为厦(2,4)力(4,0).以原点O为位似中心，把线段曲缩小为原来的扌；(2) 若中画出的线

10、段为A矽,请写出线段A $的两个端点A仍的坐标；(3) 若线段AB上任意一点M的坐标为S0),请写出缩小后的线段A B上对应点M的坐标.解:(1)如图，线段A 'B即为所求作的线段.(2)A '(1,2)/ (2,0)或 A VI ,2)0 X-2,0).(3)M(黯)或 M(影).1.1+,图218探究一比例及成比例线段2018 -南充如图219,在7BC中JDE&C,3F平分AABCDE延长线于点F,若起)=10D=20C=4,则EF=图219【答案】|【解析】 DE/BC3D=1 £D=2.BC=4、:.需=爺即卜字解得DE=1- T BF平分ZABC

11、: GBF=ZFBC.丈：DEBC、： ZFBC=ZF,：. ZABF=A, 2:.DF=BD=2. '：DF=DE+EF,:.EF=2-|=|.在成比例的线段中要注意:平行线分线段成比例中各线段的对应关系;(2)分清平行线分 线段成比例与相似三角形中对应边成比例的关系2017-娄底湖南地图出版社首发的竖版中 华人民共和国地图，将南海诸岛与中国大陆按同一比 例尺1 6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认 识我国版图,若在这种地图上量得我国南北的图上距离 是82. 09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米(结果精确到1千米).【答案】5500【解析】我国南北的实际距离大约是8

12、2.09 x6700000=550003000(cm)u5500(km).2018舟山如图2110,直线/厶，直线处分别交/“厶于点&5C;直线DF分别交片丛于点已知=，则=iD 7JLVT弋图2110L201°°>s合razTllmfsc 召KCH3ZCH4AC0ds_t3召牒 boEKDmw會黑OW4F團 21111【曇自【耦于】sffltef沛 de. ad.be BC4C 0_t3召聊:.DEf w 血 DEylgH凋=4.耶 OD<OEG!B= OAH2aoBH2b.N UA UD 卜Ac=3tac=4:.0DH2KEH15 EHAEfflRF

13、0OD 土 0沆+0OHAD2S4%+a2H4fflRim 土0也十 0A2H32S 0+442=2.25:.5a+5b2H6.25sa2+b2H1.25.fflRHOB -B-Keuf OA+OA2 H4a+4b2 H 5:.A a =»BnJ*图 21-12探究二相似三角形的判定2017常德如图212在Rt曲C中,ZMC=90。,点Q在5C上,连接过点5作丄血）分别交血厅点如图，若30=34,求证: 如图，若班）=4DC,取曲的中点G,连接CG交Q于点胚求证:GAU2MC;/G2=/F/C.证明:在 RtAABE 和 Rt3BE 中,二 豎:.MEE竺 5DBE. iDC D如图

14、过点G作GH/AD交BC于点H：4G=BGr:.BH=DH.:BD=4DC、设则 BD=4、：BH=DH=2.GH/AD 住窘GM=2MC.如图，过点C作CNLAC交AD的延长线于点N,则CN/AG:. AAGM、NCM,：篇=罟.由知 GM=2MC,：.AG=2NC.AF AR / ZBAC=ZAEB=90。； ZABF= ZCAN=90°- ZBAE.:. ACN /BAF.:.C J V cAF 7 AGc: , A 2CNAG=AFAC :.AGAFAC. C 2 V相似三角形的基本图形如图23QEBC,则心班与MBC称为“平行线型"的相似三角形图2113(2)如图

15、2114,血N与MBC称为“相交线型”的相似三角形图 21-14崔®川空SS詡擦嵋氣怎ugKvm gQPVQN丛7 7|丄、r 丄 eH艮62018江西如图21-17,在中3B=80C=4,C4=6,CZ）曲册是ZA5C的平分线Q咬力CT点E求血的长.解: BD为ZABC的平分线,ZABD= ZDBC.又:ABCD、： /D=ZABD,： ZDBC= ZD,： CD=BC=4.图 21-17JR AP AP Q1又 J AAEB=ZCED,:. AEB/CED,:.=-=2,:.AE=2EC,即 EC=-AE.CD CE CE 429：AC=AE+EC=6,:.AE+AE=6,解得

16、AE=4.乙2015湘潭如图2118在RtU5C中,Z C=90。,将CD沿Q折叠，使点睹在斜边曲上的叔处求证:BMs T/C.已知M=60C= &求线段Q的长度解：(1)证明:I ZC=90°,将2UCD 沿扭)折叠, ZAED=ZC=90：. ZDEB=ZC=90°.又 ZB=ZB,:. BDEs ABAC.在RtZUBC中，由勾股定理，得.45=10.由折叠的性质知4E=AC=6、DE=CD、ZAED=ZC=90°. :.BE=AB-AE= 10-6=4.在RXHBDE中，由勾股定理,得庆+鸟£2=加2,即cD+42=(8CQ)2,解得CD

17、=3.在Rt/UCD中，由勾股定理，得AC2+CD-=AD即62+32=AD2解得AD=3国负值已舍去).探究三相似三角形的性质2018宜宾如图2119,将"EC沿BC边上的中线平移到的位置，已知曲C的面积为 9,阴影三角形部分的面积为4.若山-1,则A'D等于（）2 3A. 2 B. 3 C. - D.-A图 21-193 2【答案A【解析】如图.A9：Sabc=9,Sef=4且40为BC边上的中线Q为EF的中点,Smd£=4s3F=2,Szd=4smc=?将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到厶AfBfC：.AfE/AB. 乙乙乙2D4EsZD4（等）

18、2左詈，即（船）=彳,解得加=2或的=-*舍去）.故选A.2018铜仁已知MBCs'DEF、相似比为2,且曲C的面积为16,则/）前的面积为（C ）A. 32B. 8C. 4D. 162018-重庆A卷要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm,另一个三角形的最短边长为2. 5 cm,则它的最长边长为（C ）A. 3 cm B. 4 cm C. 4. 5 cmD. 5 cm2018玉林如图21-20, ZAOB=GOOA=OB动点 C从点O出发，沿射线防方向移动，以M为边在右侧作等 边三角形宜CD连接3D,则血所在直线与CU所在直线的位置

19、关系是（图2120A.平行 B.相交C.垂直 D.平行、相交或垂直【答案】ADBA=ZBAO,所以CU故选 A.【解析】设肋与CD相交于点M因为Z需埸，所1C疇因为Z功纽所以AOB=6Q°,OA=OB以ZUOB为等边三角形因为MCD为等边三角形，所以Z.WM=ZCBM=6QQ.因为 ZAMD= Z CAQ,所以s CA%,所以'AMCs DWS,所以 ZDBA=ZA CD=6Q所以 Z2018 -荆州如图2121,将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中测得相关数据如图所示（图中数据单位:cm）,则钢球的半径为cm（圆锥的壁厚忽略不计）.S21-21【答案】5【解析】如图，设钢球

20、的球心为只连接PC,则PC丄C= 12C+£ C= 12+14 =2 6,03=10,)0=24易知MPCs HABO、缶=备即&备解得 PC=5.BD图 21-22探究四相似三角形的应用2017-凉山州如图2122,若要在宽Q为20米的城南大道两边安装路灯,路 灯的灯臂BC长2米且与灯桩拐成120。角，路灯采用圆锥形灯罩灯罩的轴线CO 与灯臂3選直，当灯罩的轴线过公路路面的中心线时照明效果最好，此时, 路灯的灯柱曲的高应该设计为多少米（结果保留根号）?卜 430120。-.NP3CH60。oc5hnh90。:.NPH30。1DH20*:&"甘DH10 (垛

21、)二 BCH2 米 mRrACPbs召scdagof 2&(垛)S8H23CH4(垛). 卜:pbpcBH AH90r Apcgs zvmo;2ih2i. PA hr.h.h 10&(垛) .:45 hpapb h 10 VJ4(垛)BC 23硼同阳茹斗涉(10&,4)*相似三角形主要应用于求线段的长，在解题中一般转化为两个三角形，结合相似三角形对应边成比例或对应角相等，列出比例式或构造出直角三角形利用方程的思想解出其结果即可2018紹兴学校门口的栏杆如图2123, 栏杆从水平位置劝绕点O旋转至!UC的位置，已 知45丄加,CQ丄3D,垂足分别为BQ*O=46m,CO=

22、l m,则栏杆&应下降的垂直距离CD为（）A1A. 0. 2 m B. 0. 3 mC. 0. 4 m D. 0. 5 m图 21-23【答案】C【解析】由题意可知MOsACDO根据相似 三角形的性质，可得篇=篇-：AO=4 nM5=1.6 m,CO=1 m,；需 CD=1.6 x 1 - 4=0.4(m).故选丄 J u2018泰安九童算术是中国传统数学最重要的 著作，在“勾股"童中有这样一个问题:“今有邑方二百步，各中 开门，出东门十五步有木问:出南门几步而见木厂用今天的话 说，大意是:如图21-24,0边形Z）防G是一座边长为200步（“步” 是古代的长度单位）的正方形

23、小城，东门77位于GD的中点，南 门K位于ED的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多 少步恰好看到位于/处的树木（即点D在直线M上）?请你计算 KC09长为步.2000【解析】四边形QEFG是正方形、QG/KC,：. ZHDs /AOC. 15_ 10015+100 "lOO+KC AH _HD9aooc图 21-24解:由题意可得QFFs ADG4,.DE_EF反一疋*：DE=0.5 m£F=0.25 mX>C=20 m, 普器,解得心0. AB=A CBC=A C+DG= 10+1.5 = 11.5(m). 答旗杆的高度为11.5 m.B图21252015

24、邵阳如图2125,某校数学兴趣小组利用自制的 直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆的高度.他们通过 调整测量位置，使斜边与地面保持平行,并使边DE与旗杆 顶端在同一直线上.已知DE=0. 5 m£F=0. 25 m,目测点2倒 地面的距离DG=1. 5 m,到旗杆的水平距离DC=20 m,求旗杆 的高度.图 21-26探究五位似及应用如图21-26,10x10的正方形网格中，点均在格点上以点4为位似中 心画四边形4BCD；使它与四边形曲CD位彳以，且相似比为2.(1)在图中画出四边形4S CD；%CD是三角形.解:如图.(2)YC'2=42+82=16+64=80Jl)Q=62 +22 =36 +4 =40,CQ'2=62+22=36+4=40,AD-CDDJcd :. MCD是等腰直角三角形.位似图形中的相似比是指“变换后的图形中对应点到相似中心的距离"与“原图