湖南省中考数学总复习第三单元函数及其图象课时14二次函数的图象和性质课件

1、课时14二次函数的图象和性质中考对接命题点一二次函数的图象201&永州在同一平面直角坐标系中,反比例函数严H0)与二次函数y=ax2-bx(aO)的图象大致是()图 14-12(bX【答案】D【解析】A.抛物线，=处?+加开口方向向Jt,则。>0,对称轴位于丁轴的右侧，则a,b异号，即b<0,所以反 比例函数尸2的图象位于第二四象限，故本选项错误:B.抛物线尸启+加开口方向向上则。>0,对称X轴位于歹轴的左侧，则同号，即b>0,所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误;C.X抛物线尸血牛加开口方向向下，则X0,对称轴位于y轴的右侧，则a,b异号，即b&

2、gt;0,所以反比例函数尹亠X 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D抛物线尸W+加开口方向向下，则X0,对称轴位于尹轴的 右侧，则a,b异号，即Q0,所以反比例函数.V的图象位于第一、三象限，故本选项正确.故选D.X2017长沙抛物线y=2(x3)2+4的顶点坐标是()A. (3,4)B. (-3,4)C. (3,-4)D. (2,4)2017 邵阳若抛物线v=W+bx+c的开口向下，则d的值可能是(写一个即可).【答案】A【解析】抛物线的顶点式是尸心 力尸+恳顶点坐标为仇斤),所以抛物线 =2(.r-3)2+4的顶点坐标是(3,4).【答案】1(答案不唯一)【解析】因为抛物线的开口向下，

3、所以。的值为负数，答案不唯一命题点二二次函数的性质2017-衡阳已知函数 1=（.1尸的图象经过两点&（2丿1）恥丿2），其中。2,则71与乃的大小关系是旳 2（填“或“=”）【答案】【解析】函数1二(*1)2,函数图象 的对称轴是直线丫=1,开口向下.J函数 图象经过两点4(2M)0(QM),d2, 故答案为命题点三 二次函数的图象与系数2018益阳已知二次函ly=ax2+bx+c的图象如图142,贝！J下列说法正确的是（A. ac<0B. b<0C. b2-4ac<0D. a+b+c<02016-长沙已知抛物线y=ax1+bx+c(b>a>0)与

4、x轴最多 有一个交点现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程无实数根;ab+cN0;耳土的最小值为 b-a3.其中，正确结论的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D解析b>a>0.f V0,正确;J抛物线与X轴最多有一个交点,，-4acW0, /.关于x的方ax1+bx+c+2=Q 中=b2-4a(c+2) =b2-4ac-Sa<0,正确; a>0,且抛物线与x轴最多有一个交 点,°x取任何值时/.当x=-l时,d-b+c$O, °正确;当 x=-2 时,4a-2b+c$0,即 d+b+cM 3b-3d,整理得営

5、M3,正确故选D.b-a命题点四二次函数的综合应用2018衡阳如图143,已知直线尸2x+4分别交x轴、y轴于点4/抛物线经过40两点点P是线段曲上动点，过点卩作PC丄x轴于点C,交抛物线于点D若抛物线的解析式为尸2.呼+加+4,设其顶点为M,其对称辛由交48于点N. 求坐标. 是否存在点P,使四边形为菱形?说明理由.当点丹勺横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得如屮Q为顶点的 三角形与"伽相似?若存在，求出满足条件的抛物线的解析式若不存在,请说明理由.(1) 了=2”+2*+4,"=2(X)2 +-,M2 2 2 2 当x气时=2x+4=3. .N点的坐标为片,3).乙

6、乙不存在理由如下:设P点的坐标为(/,2f+4),则点D的坐标为伉2尸+2/+4). .PD=-2Z2+2/+4-(-2/+4)=-2/2+4A若四边形MNPD为菱形，则PD=MN,2尸+4/=?3,解得"气(舍去)血=|,乙乙乙:P点的坐标为(|,1),PN=J(冷2 + (31)2=辰卜側不存在点P使得四边形MNPD为菱形2018衡阳如图143,已知直线尸2卄4分别交x轴、讲由于点40,抛物线经过/力两点点P是线段仍上动点，过点卩作PC丄x轴于点C,交抛物线于点D(2) 当点丹勺横坐标为1时是否存在这样的抛物线，使得如fQ为顶点的 三角形与相似?若存在，求出满足条件的抛物线的解析

7、式;若不存在, 请说明理由.(2) : PD / OB,:. ZBPD= ZABO.如图，当 BDxLPDx 时,ZBDP=90。, ABDiP=ZAOB.:. bBDPs/AOB.点P的横坐标为1,D=1,点D的坐标为(1,4).由题意可知BD关于直线x=f对称,经过BQM的抛物线的解析式为.尸*+2卄4.如图，当 ED2丄AE HZZ>iSP=90o,A ZDiBP=ZAOB. :. DiBP/XAOB黑=警OB AB把兀=1代入y=-2x+4中，得尹=2,把x=0代入尹=-2x+4中，得尸4,"的坐标为(1,2)0的坐标为(0,4).令-2x+4=0,则 x=2,3 的坐

8、标为(2,0).； OA=2,OE=4,BP=J(0-l)2 + (4-2)2 =V55=V42 + 22=2x/5. 牛第APZ>2=|- 82=2+|弓点Di的坐标为(1舟).设经过BQ24的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0将3(0,4)Q2( 1，參(2,0)的坐标代入可得a + b+c=,解得(4a + 2b + c = 0, Lc = 4 抛物线的解析式为歹=-討+3*+4.综上所述，满足条件的抛物线的解析式为严-X+2x+4或尹二|F+3x+4.考点自查考点一二次函数的概念般地，如果尸曲+加+C（M,c是常数如0）,那么y叫做x的二次函数考点二二次函数的图象及画法(

9、b 4ac-b2b二次函数尸W+加+C(殍0)的图象是以点云'飞厂丿为顶点、以直线*=画对称轴的抛物线.用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(dM0)的图象的步骤：(1 )用配方法化成心丿尸+斤的形式;(2) 确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(3) 在对称轴两侧利用对称性描点画图.上述画图象的方法通常叫做“五点法"这五点分别是顶点、图象与x轴的两交点、图象与 讲由的交点以及该点关于对称轴的对称点.考点三二次函数图象的平移抛物线y=d(x/?)2+H殍0)可以通过平移得到抛物线尸处2,如图144,其中力0火0.右移朴右移*个y_a("A円儿 ；".&

10、quot;厂肝令几 亠二斜厂久珂厂ofx+疔:左移林单位 上移f 下移*个 单位右移殊单检一 “ 左移林J 单位上移Mb 卞移IT 单位曲单位厂左務*个 上移圧下移n 单位 护位右静个片初个上移上个熾*个 虹& 亠学位 右移个 单位上移Qb 小位上移上个 单位图 14-4考点四性质对称轴直线X=2a顶点坐标(b 4ac-b2 2a9 4a 丿(b 4ac-b2 2a 4a 丿增减性在对称轴的左侧，即当时/随ZaX的增大而减小;在对称轴的右侧，即 当x>舟r时丿随X的增大而增大，简记: 左减右增在对称轴的左侧，即当点?时丿随X的增大而增Za大:在对称轴的右侧，即当X>

11、3;时丿随X的增大而减 小简记左增右减最值抛物线有最低点当仔申时j有最La小值丿最小值=年严抛物线有最高点，当x=时'有最大值丿最大值Za_4ac-b24a项目字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为）轴ab>O（b与a同号）对称轴在.1轴左侧肋<0（b与a异号）对称轴在'轴右侧cc=Q经过原点c>0与卩轴正半轴相交c<0与卅由负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一的交点（顶点）b2-4ac>0与X轴有两个不同的乂点b2-4ac<0与X轴没有父点特殊 关系当x=l时厂a+b+c当x=1时=

12、ab+c若 d+b+c>0,则当 x= 1 时 y>0若ab+c>0,贝！J当x=l时j>0考点五用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法可求二次函数的表达式，确定二次函数表达式一般需要三个独立的条件，根据不同条件 选择不同的设法.船式:皿2+屁（呦.若已知条件是图象上的三个点，将已知条件代入所设一般式，转化为解方程组，求出Q0,C的值顶点式:尸心疔+氐（殍0）若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），将已知条件代入所设顶点式，求出待 定系数，最后将表达式化为一般式.交点式:尸（4七）（灼：2）（殍0）若已知二次函数的图象与工轴的两个交点的横坐标诂

13、也，可以设交点式,然后将图象上的另一点坐标 代入，求出待定系数,最后将交点式化为一般式.考点六二次函数与一元二次方程的关系二次函数加+C（殍0）与一元二次方程祇2+bx+c=0（殍0）有着密切的关系，二次函数的图象与X轴 的交点的横坐标是对应的一元二次方程的实数根抛物线与X轴的交点情况可由典4OC的符号判定.1. 有两个不同交点O O方程有的实数1艮2. 有一个交点o沪一4“啥方程有两个根.3.没有交点。典4处*方程b2-4ac<Q易错警示1二次函数图象的平移易将系数的符号与平移的方向搞反.2.采用待定系数法求二次函数的表达式时，没有掌握表达式的设法导致计算复杂而出错.3利用图象法解方程

14、时，先将方程两边的式子变成两函数，再将两函数的图象在同一坐标系中画出，寻找 出两图象交点的横坐标值，便是方程的解.2018 曲靖一模抛物线u=2(x+3)2向右平移2个单位长度后，得到抛物线v=2(.讪尸,则力为A. -1B. 1C. -5D. 5抛物线与x轴交于点(1,0),(3,0),则该抛物线可设为:心l)(x+3)(殍0)2018-孝感如图145,抛物线y=ax?与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为厦(2,4),8(1,1),贝U方程 心bx+c的解是=1图145探究一二次函数的定义下列函数是二次函数的是A.y=2x+1C.y=*+2(C)B. y=-2x+D. v=x-2r若函数V

15、=d是二次函数且图象开口向上，则"A. -2C. 4或2D. 4或3B. 4从下列两方面来判定二次函 数最高次项的指数为2;最高次项的 系数不为0.探究二二次函数的图象与性质2018-荷泽已知二次函数尸祇2+bx+c的图象如图 146,则一次函数y=bxa与反比例函数尸牛在同一平 面直角坐标系中的图象大致是（）图 14-6图 14-7【答案】B【解析】抛物线开口向上,“0.抛物线对 称轴在y轴右侧,*0. J抛物线与y轴交于正半 轴,c>0.再由二次函数的图象看出，当时y=a+b+c<0. V Z><0,a>0, /.次函数 y=bx+a 的图象经过第一

16、、二、四象限F+b+cvO,反 比例函数严牛的图象位于第二四象限，两个 函数图象都满足的是选项B.故选B.综合二次函数的图象与性质从以下四方面考虑:图象的开口方向决定d的正负:图象的轴 对称性;(3)在对称轴两边的图象的增减性;(4)图象与两坐标轴的交点的含义;(5)求函数的最大(小)值(计算 法:采用顶点坐标式:辨别法:通过函数图象观察点的位置高低).2018 ±海下列对二次函数的图象的描述 正确的是()A. 开口向下B. 励轴是)轴C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的【答案】C【解析】A.l=l>0,抛物线开口向上，选项A 不正确;B.舟斗抛物线的对称轴为直线 选项

17、B不正确;C.当x=0时，尸%2-“。,. 抛物线经 过原点，选项C正确;D.1>0,抛物线的对称轴为 直线x弓,当详时随x值的增大而增大，选项D不正确故选C.201 &德州函ly=ax2-2x+1 y=ax-a(a是常数，且¥0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()【答案】B【解析】当Q0时，二次函数图象的对 称轴在u轴的右侧，一次函数的图象从 左到右上升，排除A,C;当X0时二次函 数图象的对称轴在卅由的左侧排除D. 故选B.2018-黔西南已知:二次函=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标丫与纵坐标i的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是.X

18、1012 y 0343 【答案】(3,0)【解析】丁抛物线尸aF+bx+c经过(0,3),(2,3) 两点,对称轴"学=1点(-1,0)关于对称轴的 对称点为(3,0),因此它的图象与x轴的另一个交 点坐标是(3,0).探究三求二次函数的表达式2018-宁波已知抛物线歹二孑2+bx+c经过点(1,0),求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=-bx+c平移，使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.解:(1 )把(1,0)和(0,|)代入 y 二尹+bx+c,得(b解得C=-1,32,抛物线的函数表达式为尸-尹-x+j.(2) >=-|x2-x+|=-i(

19、x+1 )2+2, 顶点坐标为(-1,2),将抛物线尸十宀+笄移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度(答案不唯一),平移后的函数表达式为y=-|x22018 毕节将抛物线向左平移2个单位长度, 再向下平移5个单位长度,平移后所得新抛物线的表达 式为 ()A. y=-5B.尹=+5C. y=(x-2)2-5D. y=(x-2)2+5【答案】A【解析】根据“左加右减,上加下减”的 规律可知，将抛物线尸疋向左平移2个 单位长度，再向下平移5个单位长度，平 移后所得新抛物线的表达式为 y=(x+2)25,故选 A.2018-义乌学校拓展小组研制了绘图智能

20、机器人(如图149)，顺次输入点匕,厶,卩3的坐标，机器人 能根据图绘制图形若图形是线段，求出线段的长度;若图形是抛物线,求出抛物线的函数关系式.请根 据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式(1冶(4,0),局(0,0),卩3(6,6).(2)鬥(0,0)出(4,0)尸3(6,6)解: VPi(4,0)2(0,0),4-0=4>0, 绘制线段 PiPi,PiPi=4.(2) I P(0,0)j2(4,0)P(6,6),00=0, /.绘制抛物线.设y=ax(x-4)把点(6,6)的坐标代入得d弓，“弓x(x4),即 y=x2-2x.探究四二次函数的图象与系数2018-烟台如图

21、14-10,-次函数尸祇2+fot+c的图象与x轴交于点出1,0)0(3,0).下列结论:2d"=0;(d+c)2<，；当1"<3时严0;当。=1时，将抛物线先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度, 得到抛物线卩=(x2)22.其中正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】丁 /(-1,0)0(3,0), /.对称轴是直线1, .12°+b=0,又T a H 0,bH 0,°误，可以排除A选项;°当x=-l时，厂0"+0=0,°0+<?=/?,(。+<)2=员错误， 可以排除B,C选

22、项，当-l<x<3时，抛物线在x轴下方,严0,正确;当a=l时，抛物线 尸(x+1)(x_3)*-2.3=(x-1)2_4,将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得抛物线 y=(x-l-1 )2-4+2=(.2)2-2, 正确故选 D.掌握二次函数图象与性质要“四看':看开口決定d的符号（>0=开口向上,d<on开口向下）;（2 看与y轴的交点位于x轴的上方还是下方，决定c的符号咬于上方nc>0,交于下方nc<0,交于原点之=0）; 看与x轴的交点横坐标，便是后+加+尸0的解;（4）对称轴在y轴左侧还是右侧，决定寻的符号.Za201

23、8陕西对于抛物线.1=处2+(2/1片+。3,当 x= 1时丿0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】T抛物线丁=处2+(2°1)%+°3当x=l时y>0a+2d-1 +a3 >0.解得 a> 1 2a 2a ' 4a4a4a '抛物线顶点坐标为(-缪，窪)， . b _ 2a-l 4ac-h2 _4a(a-3)-(2a-l)2 _-8a-l2a，4a竽 vo,響 vo,该抛物线的顶点一定在第三象限.故选C.2018威海二次函数尸处2+0x+c的图象如图14-11，下列结论错误的是（

24、）A. abc<0B. a+c<bC. b2+Sa>4acD. 2a+b>0【答案】D【解析】由函数图象的开口向下，得*0.由函数图象 与y轴交点在y轴的正半轴上得00.由对称轴在 轴的右侧，得£>0,所以b>0,所以"cvO,A正确;当 x=-l时，函数值为负，故a-b+c<0,所以a+c<b,B正确; 由图象可知>2,4ac-b-<Sa,b2+Sa>4ac,则 C 正 确:f <1,所以>2°,即2a+b<0、故D错误故选D.za【答案】D2018-岳阳在同一直角坐标系中，二次

25、函数丁=/与反 比例函数y(x>0)的图象如图14-12所示，若两个函数图象上X有三个不同的点/(xi")0(X2"),C(X3戸)，其中m为常数，令0>=Xl+X2+X3测 CD 的值为()【解析】根据题意可得20,C三点有两个在 二次函数图象上一个在反比例函数图象上， 不妨设&万两点在二次函数图象上，点C在反 比例函数图象上,二次函数y"图象的对称 轴是.y轴,°xi+x2=o. 点c在反比例函数 y=2x>0)的图象上.*.X3=, /. 3 =X1+X2+X3=.xmntA. 1 B. m C. nr D.m2018-衡

26、阳如图1413,抛物线尸aF+bx+c与x轴交于点处1,0）顶点坐标（1屮）,与y轴的交点在 （0,2）,（0,3）之间（包含端点）,则下列结论:3d+b<0;1 WaW-扌;对于任意实数ni.a+bcmr+bin总成立; 关于x的方程dF+bx+CT"有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）A. 1C. 3D. 4图 14-13a wm®宀+旳+严哥旦胡*壬关.犁军d醴早"=不第阜旨。+旳+严=不第磷则a【）区卑兩竿凰旳第率则 般卫.' i（q+严 w q+。唱3+"旳+严u w。+q+u . 劉¥鲁早诲園双二'冋

27、1="'（叭）皿卑兩竿凰60第率即 遛HF© 弓3 咋 L'£ $ %-沁' £ »9 A乙 g=D-D-=D-q=a .遛fl!.'0>D=%7£=g+D£ :叱=q gg '【碍 j第阜区瞄娜X60第磷聊【出搦】 a【卷场】探究五二次函数与一元二次方程之间的关系2017 郴州设是任意两个实数，用max a,b表示两数中较大者例如:max 1 ,1= l,maxl,2=2,max4,3=4渗照上面的材料，解答下列问题：(1) max 5,2 =,max 0,3 =;若max 3

28、x+1，-x+1 =-x+1，求x的取值范围；求函数卩=迅2工4与y=x+2的图象的交点坐标，函数y=x22x4的图象如图1414所示,请你在图中作出函 数y=x+2的图象，并根据图象直接写出max-x+2rx2-2x-4的最小值.解:5 3(2) T max 3x+1 厂x+1 =-x+13x+1 <-x+1，解得IO.2017郴州设是任意两个实数，用maxa,b表示两数中较大者例如:maxl,l= l,maxl,2=2,max4,3=4参照上面的材料，解答下列问题：求函数卩=込24与y二x+2的图象的交点坐标，函数u=x22x4的图象如图1414所示请你在图中作出函 数卩二x+2的图

29、象，并根据图象直接写出max-x+2yr2-2x-4的最小值.由题意得£耸T解得刖:霍:.交点坐标为（24）和3）. 画出直线尸x+2,如图，观察函数图象可知:当x=3时卫】axx+2*24取得最小值12016永州抛物线y=x2+2r+il与x轴有两个不同的乂点贝山"的取值氾围是A. m<2()B. m>2C. 0<m<2D. m<-2【答案】A【解析】抛物绳=好+2工+加1与暗由 有两个不同的交点,/=决4">0,即4 4加+4>0解得加<2.故选A.2018-镇江已知二次函数i=W4x+舶勺图象的顶点在工轴下方,

30、则实数啲取值范围是-【答案】啟4【解析】二次函数i，W+啲图象 的顶点在丫轴下方,二次函数尸洛 4x+舶勺图象与x轴有两个公共点J b2- 4ac>0,即(4)24刘双>0,解得X4.2018贵阳已知二次函数y二F+x+6及一次函数尹二x+弘将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变猖到一个新函数（如图1415），当直线尸乜+加与新图象有4个交点时"的取值范围是()血A.<?;/<3 4B知<2图 14-15C. -2 </<3D. -6</<-2【答案】D【解析】在抛物线y=-x2+x+6中、令=0,BD-v+x+6=0