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文档简介
1、圆章节学问点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长 的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长 的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定 长的点的 轨迹就是以定点 为圆 心,定长为 半径的 圆;(补充)2、垂直平分 线 :到线段两端距离相等的点的轨迹是 这条 线段的垂直平分 线(也叫中垂线);3、角的平分 线:到角两边距离相等的点的轨迹是 这 个角的平分 线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直 线且到 这条直 线 的距离等于定 长 的两条直 线;5、到两条平行 线距离
2、相等的点的轨迹是:平行于 这 两条平行 线且到两条直 线距离都相等的一条直线;二、点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上dr点 c 在圆内;addr点 b 在圆上;ro bd3、点在圆外dr点a 在圆外;c三、直线与圆 的位置关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切3、直线与圆相交dr无交点 ;dr有一个交点;dr有两个交点;rdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离(图 1)无交点drr ;外切(图 2)有一个交点drr;相交(图 3)有两个交点rrdrr ;内切(图 4)有一个交点drr;内含(图 5)无交点drr;dddrrrrrr. 1. 2. 3ddrrrr. 4. 5五、垂径定理垂径定理
3、:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对 的弧;推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧;(2)弦的垂直平分 线经过圆 心,并且平分弦所 对的两条弧;(3)平分弦所对 的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个 结论 中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论 ,即: ab 是直径abcd cede弧 bc弧 bd弧 ac弧 ad中任意 2 个条件推出其他3 个结论 ;a推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等;cdo即:在 o 中,ab cdoeabcd 弧 ac例题 1、 基本概念弧 bdb
4、1下面四个命题中正确的一个是()a 平分一条直径的弦必垂直于这条直径b平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦c弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心d在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2以下命题中,正确选项()a 过弦的中点的直线平分弦所对的弧b 过弦的中点的直线必过圆心 c弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心d 弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如下列图,假如油的最大深度为 16cm,那么油面宽度ab 是 cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,假如油面宽度是48cm,那么油2的最大深度为 cm.
5、3、如图,已知在o 中,弦 abcd ,且 abcd ,垂足为h , oeab 于e , ofcd 于 f .( 1)求证:四边形oehf是正方形 .( 2)如 ch3 , dh9 ,求圆心o 到弦ab 和 cd的距离 .4、已知: abc 内接于 o,ab=ac ,半径 ob=5cm ,圆心 o 到 bc 的距离为3cm,求 ab 的长15、如图, f 是以 o 为圆心, bc 为直径的半圆上任意一点,a 是的中点, ad bc 于 d,求证: ad=bf.2.例题 3、度数问题.1、已知:在o 中,弦 ab12cm , o 点到ab 的距离等于ab 的一半,求:aob的度数和圆的半径.2、
6、已知: o 的半径 oa1 ,弦 ab 、ac 的长分别是2 、3 .求bac的度数;例题 4、相交问题如图,已知o 的直径 ab 和弦 cd 相交于点e, ae=6cm ,eb=2cm , bed=30 ° ,求 cd 的长 .ceabod例题 5、平行问题在直径为50cm 的 o 中,弦 ab=40cm ,弦 cd=48cm ,且 ab cd ,求: ab 与 cd 之间的距离 .例题 6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦ab,交小圆于c、d 两点,设大圆和小圆的半径分别为a,b .求证: adbda2b2 .例题 7、平行与相像已知:如图,ab 是o 的直径,cd 是弦
7、, aecd于e , bfcd 于f .求证:ecfd .六、圆心角定理圆 心角定理:同 圆或等 圆中,相等的 圆心角所 对的弦相等,所 对的弧相等,弦心距相等;此定理也称1 推 3定理,即上述四个 结论 中,只要知道其中的1 个相等, 就 可以推出其它的3 个结论 ,e即:aobdoe ;abde ;fo ocof;弧 ba弧 bdd七、圆周角定理acb1、圆周角定理:同弧所 对的圆 周角等于它所 对 的圆心的角的一半;c即:aob 和acb 是弧ab 所对的圆 心角和 圆周角boaaob2acb2、圆周角定理的推 论 :推论 1:同弧或等弧所 对的圆周角相等;同 圆 或等 圆中,相等的 圆
8、dc周角所 对的弧是等弧;即:在 o 中,c 、d 都是所 对的圆周角boa cd推论 2:半圆或直径所 对的圆周角是直角; 圆 周角是直角所 对 的弧是c半圆,所对的弦是直径;即:在 o 中,ab 是直径或c90boac90ab 是直径推论 3:如三角形一 边上的中 线等于 这边 的一半,那么 这 个三角形是直c角三角形;即:在abc 中,ocoaobabc是直角三角形或c90boa注:此推论实 是初二年 级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜 边上的中线等于斜 边的一半的逆定理;【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,依据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个确定是半圆环形
9、?【例 2】如图,已知o 中, ab 为直径, ab=10cm,弦 ac=6cm, acb的平分线交4o于 d,求 bc、ad和 bd的长【例 3】如下列图,已知ab为o 的直径, ac为弦, odbc,交ac于 d, bc=4cm( 1)求证: acod;( 2)求 od的长;( 3)如 2sina 1=0,求o 的直径【例 4】四边形abcd中, abdc, bc=b, ab=ac=ad=,a 如图,求bd的长【例 5】如图 1,ab是半o 的直径,过a、b 两点作半o 的弦,当两弦交点恰好落在半o上 c 点时,就有 ac·acbc·bc=ab2( 1)如图 2,如两弦
10、交于点p 在半o 内,就 ap·ac bp·bd=ab2 是否成立?请说明理由( 2)如图 3,如两弦 ac、bd的延长线交于p 点,就 ab2=参照( 1)填写相应结论,并证明你填写结论的正确性八、圆内接四 边形圆的内接四 边形定理:圆的内接四 边形的 对角互 补,外角等于它的内 对角;即:在 o 中,四边形abcdcd是内接四 边形cbad180bd180daecbae例 1、如图 7-107 ,o 中,两弦abcd, m是 ab的中点,过m点作弦 de求证: e, m, o, c四点共圆九、切线的性 质与判定定理(1)切线的判定定理: 过 半径外端且垂直于半径的直线
11、是切 线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即:mnoa 且 mn过 半径oa 外端mn是 o 的切 线o(2)性质定理:切线垂直于 过切点的半径(如上 图 )推论 1:过圆 心垂直于切 线的直 线 必过切点;推论 2:过切点垂直于切线的直 线 必过圆 心;以上三个定理及推论也称二推肯定理:man即: 过圆 心; 过切点; 垂直切 线 ,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个;十、切线长 定理切线长 定理:从圆外一点引 圆的两条切 线,它们的切 线长 相等,这点和 圆心的 连线 平分两条切 线的夹角;即:pa 、pb 是的两条切 线papbpo 平分bbpaopa利用切线性质运算
12、线段的长度例 1: 如图,已知: ab是o 的直径, p为延长线上的一点,pc切o于 c,cdab 于 d,又 pc=4,o 的半径为 3求: od的长利用切线性质运算角的度数例 2: 如图,已知: ab是o 的直径, cd切o 于 c,aecd 于 e,bc的延长线与ae的延长线交于f,且af=bf求:a 的度数6利用切线性质证明角相等例 3: 如图,已知: ab为o 的直径,过a 作弦 ac、ad,并延长与过b 的切线交于m、n求证:mcn= mdn利用切线性质证线段相等例 4: 如图,已知: ab是o 直径, coab, cd切o于 d, ad交 co于 e求证: cd=ce利用切线性质
13、证两直线垂直例 5: 如图,已知: abc 中, ab=ac,以 ab 为直径作 o,交bc于 d, de切o于 d,交 ac于 e求证: deac十一、圆幂 定理d(1)相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘 积 相等;bopca即:在 o 中,弦 ab 、cd 相交于点 p ,papbpcpd(2)推论:假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条项;cboea线段的比例中即:在 o 中,直径abcd ,dce2ae be(3)切割 线定理 :从圆外一点引 圆的切 线 和割 线,切线长圆交点的两条 线段长的比例中 项;即:在 o 中,pa 是切 线,pb 是割 线p是
14、这点到割 线与aedocb pa2pc pb(4)割线定理 :从圆外一点引 圆的两条割 线,这 一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积 相等(如上图);即:在 o 中,pb 、pe 是割 线pcpbpdpe例1. 如图 1,正方形abcd的边长为 1,以 bc为直径;在正方形内作半圆o,过 a 作半圆切线,切点为f,交 cd于 e,求 de: ae的值;例2. o中的两条弦ab 与 cd相交于 e,如 ae 6cm, be 2cm,cd 7cm,那么 ce cm;图2例3. 如图 3, p 是o外一点, pc切o 于点 c, pab是o的割线,交o 于 a、b 两点,假如pa: pb1:
15、4, pc 12cm,o的半径为 10cm,就圆心o到 ab的距离是 cm;图3例4. 如图 4, ab 为o的直径,过b 点作o 的切线 bc, oc交o于点 e,ae 的延长线交bc于点 d,(1)求证:8;( 2)如 ab bc 2厘米,求ce、cd的长;图4例5. 如图 5, pa、pc切o于 a、c,pdb为割线;求证:ad·bc cd·ab图5例6. 如图 6,在直角三角形abc中, a 90° ,以 ab边为直径作 o,交斜边bc于点 d,过 d点作o 的切线交 ac于 e;图6求证: bc 2oe;十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两 圆圆 心的
16、连线 垂直并且平分 这 两个 圆的的公共弦;a如图:o1o2 垂直平分ab ;o1o2即:o1 、 o2 相交于a 、b 两点bo1o2 垂直平分abab十三、圆的公切 线co1两圆公切 线长 的运算公式:2(1)公切线长 :rto o c 中, ab2coo222o oco;121122(2)外公切线长 :co2 是半径之差;内公切 线长 :co2 是半径之和;十四、圆内正多 边形的 运算c(1)正三角形在 o 中 abc;是正三角形,有关 运算在rtbod中进行:obdaod : bd : ob1:3 : 2bcoaed(2)正四边形同理,四边形的有关 运算在rtoae 中进行,oe : ae : oa1:1:2 :(3)正六边形同理,六边形的有关 运算在rtoab中进行,
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