函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练

1、函数的周期性练习题一挑选题（共15 小题）1定义在 r 上的函数 f（ x）满意 f（ x） = f（x），f（ x 2） =f（x+2）且 x（ 1，0）时， f（x ）=2x+，就 f（log220）=（）a 1bc 1 d 2设偶函数 f （x）对任意 xr，都有 f（ x+3）=，且当 x 3， 2 时， f （x）=4x，就 f （107.5）=（）a 10 bc 10d3设偶函数 f （x）对任意 xr 都有 f（ x） =且 当 x 3，2时 f（ x） =4x，就 f（ 119.5） =（） a 10 b 10cd4如 f（x）是 r 上周期为5 的奇函数，且满意f （1）=1

2、，f（ 2） =3，就 f（ 8） f（ 4）的值为（） a 1b1c 2 d 25已知 f（ x）是定义在r 上周期为4 的奇函数，当x（0，2 时， f（x）=2x+log2x，就 f（2021）=（）a 2bc2d56设 f （x）是定义在r 上的周期为3 的周期函数，如图表示该函数在区间（ 2，1 上的图象， 就 f（2021）+f（2021）=（）a 3b2c 1d07已知 f（x）是定义在r 上的偶函数， 并满意：，当 2x3，f（x）=x，就 f（5.5）=（） a 5.5b 5.5c 2.5d 2.58奇函数 f（x）满意 f（x+2） =f（x ），当 x（0，1）时， f（

3、 x）=3x+，就 f（ log354）=（）a 2bcd 29定义在 r 上的函数 f（x ）满意 f（ x ）+f（x）=0，且周期是 4，如 f（1）=5，就 f（2021）（）a 5b 5 c 0d310f （x）对于任意实数x 满意条件f（x+2）=，如 f（1）=5，就1f（f（ 5） =（）a 5bcd511已知定义在r 上的函数 f （x ）满意 f（ x+5）=f（x5），且 0x5 时， f（x ）=4 x，就 f （1003）=（）a 1 b 0c1d212函数 f（x）是 r 上最小正周期为2 的周期函数，当0x 2 时 f（x ）=x2 x，就函数 y=f （x）的图

4、象在区间 0，6 上与 x 轴的交点个数为（）a 6b7c 8d913已知函数f （x）是定义在（ ，+）上的奇函数，如对于任意的实 数 x0，都有 f（ x+2）=f（x ），且当 x0 ，2）时，f（ x）=log2（x+1），就 f（2021）+f（ 2021）+f（ 2021）的值为（） a 1b 2 c2d 1 14已知 f （x）是定义在r 上且周期为3 的函数，当x0 ，3）时， f （x ）=|2x24x+1|，就方程f （x）=在 3， 4 解的个数（）a 4b8c9d1015已知最小正周期为2 的函数 f（x）在区间 1，1上的解析式是f （x）=x2，就函数 f（x）在实

5、数集 r 上的图象与函数y=g（ x）=|log5x|的图象的交点的个数是（） a 3b4c5d 6二填空题（共10 小题）16已知定义在r 上的函数 f （x），满意 f（1）=，且对任意的x 都有f（x+3）=，就 f（2021）=17如 y=f （x）是定义在r 上周期为2 的周期函数，且f （x）是偶函数，当 x0， 1 时， f（x）=2x1，就函数 g（ x） =f（x ） log5|x|的零点个数为18定义在 r 上的函数 f（x）满意 f（x）=，就 f（ 2021）的值为19定义在 r 上的函数 f （ x）的图象关于点 （，0）对称，且满意 f （x）=f （ x+），f

6、（ 1）=1，f （0）=2，就 f （ 1）+f （2）+f （3）+f （2021）的值为 =20定义在 r 上的函数 f（x）满意：， 当 x（0，4）时， f（ x） =x2 1，就 f （2021）=21定义在 r 上的函数 f （x）满意 f（ x+6）=f（x）当 3x 1 时， f（x）=（ x+2）2，当 1x 3 时， f （x）=x就f（1）+f（ 2） +f（3）+f（2021） =222如函数 f（ x）是周期为5 的奇函数，且满意f（ 1）=1，f （2）=2，就 f（ 8） f（ 14）=23设 f（ x）是定义在 r 上的以 3 为周期的奇函数， 如 f（2）1

7、，f（2021）=，就实数 a 的取值范畴是24设 f （x）是周期为2 的奇函数，当0x1 时， f（ x） =2x（1x），就=25 如 f （x+2）=， 就 f （+2）.f（ 14）=一挑选题（共15 小题）1【解答】 解： 定义在 r 上的函数 f（ x）满意 f（ x） = f（x）， 函数 f（x）为奇函数又f（ x 2） =f（x+2） 函数 f（x）为周期为4 是周期函数又log232 log220 log2 16 4 log2 205 f（log220）=f（ log2204）=f（ log2）=f（ log2）=f （log2）又x（ 1，0）时， f（x）=2x+，

8、f（log2） =1故 f （log220）=1故 选 c2【解答】解：由于 f（x+3）=，故有 （fx+6 ）=f（ x）函数 f （x）是以 6 为周期的函数f（107.5）=f（ 6×17+5.5）=f（ 5.5）=应选 b 3【解答】 解： 函数 f（x）对任意xr 都有 f （x）=， f（x+3） =，就 f（ x+6）=f（ x），即函数 f（x）的周期为6，3 f（119.5） =f（20×60.5）=f（ 0.5） =，又偶函数 f （x），当 x 3， 2 时，有 f（ x） =4x， f（119.5） =应选： c4【解答】 解： f（ x）是 r

9、上周期为 5 的奇函数， f （ x）=f （x）， f（1）=f（ 1），可得 f（ 1）=f（ 1） = 1，由于 f （2）=f（ 2），可得 f （ 2）=f （2）=3， f（8）=f（ 8 5） =f（3）=f（ 3 5） =f（ 2）=3， f（4）=f（45）=f （ 1）=1， f（8） f（4）= 3（ 1）=2， 故 选 c； 5【解答】 解： f（ x）的周期为4，2021=4×5041， f（2021）=f（ 1），又 f（ x）是定义在r 上的奇函数，所以 f （2021）=f（ 1） = 21log21=2，应选： a 6【解答】 解：由图象知f（ 1）

10、 =1，f （ 1）=2， f（x ）是定义在r 上的周期为3 的周期函数， f（2021）+f（ 2021） =f（1）+f（ 1）=1+2=3， 应选： a7【解答】解：，=f（ x） f（x+4） =f（x），即函数 f（ x）的一个周期为4 f（5.5）=f（ 1.5+4）=f（ 1.5） f（x ）是定义在r 上的偶函数 f（5.5）=f（ 1.5） =f（ 1.5）=f （ 1.5+4） =f（2.5） 当 2x3，f（ x） =x f（2.5）=2.5 f（5.5）=2.5应选 d 8【解答】 解： f （x+2）+2=f （x+2）=f （x）， f（x ）是以 4 为周期的奇

11、函数， 又， f（log354）=2，应选： a 49【解答】 解：在 r上的函数 f（x）满意 f（ x） +f（x）=0就： f（ x）= f（x） 所以函数是奇函数由于函数周期是4， 所以 f （2021）=f（504×41）=f（ 1） = f（1）= 5应选： b10【解答】 解： f （x+2） = f（x+2+2 ）=f（ x） f（x ）是以 4 为周期的函数 f（5）=f（ 1+4）=f（ 1） = 5f（f（ 5） =f （ 5） =f（ 5+4）=f（ 1）又f（ 1）= f（f （5） =应选 b 11【解答】 解： f （x+5）=f （x5）， f（x+1

12、0）=f （x），就函数 f（x）是周期为10 的周期函数，就 f（ 1003） =f（1000+3）=f （3）=4 3=1，应选： c 12【解答】 解：当 0x2 时， f（x）=x2 x=0 解得 x=0 或 x=1，由于 f （x）是 r 上最小正周期为2 的周期函数，故 f（ x） =0 在区间 0， 6）上解的个数为6，又由于 f（6）=f（ 0） =0，故 f （x） =0 在区间 0， 6 上解的个数为7，即函数 y=f（ x）的图象在区间 0，6 上与 x 轴的交点的个数为7，应选： b 13【解答】 解： f （x+2） =f（x）， f（ 2021） =f（2021）=

13、f（ 0）=log21=0， f（x ）为 r 上的奇函数， f （ 2021）=f （2021）=f （1）=1 f（2021）+f（ 2021）+f（ 2021）=01+0=1 故 选 a 14【解答】 解：由题意知， f（x）是定义在r 上且周期为3 的函数，当 x0， 3）时， f （x）=|2x24x+1|，在同一坐标系中画出函数f（ x）与 y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f （x）与 y=在区间 3， 4 上有 10 个交点（互不相同） ，所以方程f（x ）=在 3，4 解的个数是10 个，应选： d 15【解答】 解： 函数 f （x）的最小正周期为2， f（x+2） =

14、f（x）， f（x ）=x2，y=g（x） =|log5x| 作图如下：5 函数 f（x）在实数集r 上的图象与函数y=g（x ）=|log5x|的图象的交点的个数为 5，应选： c二填空题（共10 小题）16【解答】 解： 对任意的 x 都有 f（ x+3）=， f（x+6） =f（ x）， 函数 f（x）为周期函数，且周期t=6， f（2021）=f（ 335×6+4） =f（4）=f（ 1+3）=5故答案为： 517【解答】 解：当 x0，1 时， f（x）=2x 1，函数 y=f（ x）的周期为2， xx 1，0 时，f（ x）=21，可作出函数的图象；图象关于y 轴对称的偶

15、函数y=log5 |x|函数 y=g（ x）的零点，即为函数图象交点横坐标， 当 x5 时， y=log5|x| 1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x0 上有 4 个交点，由对称性知它们在x0 上也有 4 个交点，且它们关于直线y 轴对称，可得函数 g（x） =f（x） log5|x|的零点个数为8；故答案为 8；618【解答】 解：由分段函数可知，当x0 时， f（ x） =f（x1） f （x2）， f（x+1） =f（x） f （x1）=f（ x 1） f（ x 2） f（ x 1）， f（x+1） = f（ x2），即 f（ x+3）=f （x）， f（x+6） =f（x），即当

16、 x 0 时，函数的周期是6 f（2021）=f（ 335×6+3） =f（3）=f （0）=log2（80）=log 28=3，故答案为： 319【解答】解：由 f （ x）= f （ x+）得 f （x+3）=f （x+）+ = f （ x+）=f（x）.所以可得 f（ x）是最小正周期t=3 的周期函数；由 f （x ）的图象关于点（，0）对称，知（ x，y）的对称点是（x，y）即如 y=f（ x），就必 y=f（x），或 y=f（x）而已知 f（x）=f（x+），故 f（x）=f（x+），今以 x 代 x+，得 f（ x） =f（x），故知 f（x）又是 r 上的偶函数于是有

17、：f （1）=f （ 1）=1；f （ 2）=f （23）=f （ 1）=1；f （3）=f （0+3）=f（0）=2； f （1）+f（2）+f（3）=0，以下每连续3 项之和为 0而 2021=3×670，于是 f（2021）=0；故答案为 020【解答】 解：由题意知，定义在r 上的函数 f（x）有，就令 x=x+2 代入得， f（x+4） =f（x ）， 函数 f（x）是周期函数且t=4， f（2021）=f（ 4×502+3） =f（3）， 当 x（0，4）时， f（x ）=x21， f（3）=8即 f（ 2021）=8故答案为： 8721【解答】 解： 当 3x

18、 1 时， f （x）=（ x+2） 2， f（ 3） = 1， f（ 2） =0， 当 1x 3 时， f （x）=x， f（ 1） = 1， f（ 0）=0，f （1） =1，f （2）=2， 又f（ x+6）=f（ x）故 f（ 3） = 1， f（4）=0，f（ 5） = 1， f（ 6）=0， 又2021=335×6+2，故 f（ 1） +f（2）+f（ 3） +f（ 2 012） =335×f （ 1）+f （2）+f（3）+f （4） +f（ 5） +f（6）+f （1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为： 33822【解答】 解：由题意可得， f（

19、 8） =f（810） =f（ 2） = f（2）=2， f（14） =f（14 15） =f （ 1）=f （1）=1，故有 f （8） f （14） = 2（ 1）=1，故答案为 123【解答】 解：解：由 f （x）是定义在r 上的以 3 为周期的奇函数，就 f（ x+3）=f（ x），f （ x ）=f （x）， f（2021）=f（ 3×6722）=f （ 2）=f （2），又 f（ 2） 1， f（2021） 1，即 1，即为0，即有（ 3a 2）（a+1） 0，解得， 1a，故答案为：24【解答】解：f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=2x（ 1

20、 x），=f（）=f（）=2×（1） =，故答案为：25【解答】 解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6）=sin=，同理可得 f（ 14） =f（ 16+2）=log216=4， f（+2）.f（ 14）=×4=，故答案为：三解答题（共5 小题）26【解答】（1）证明： f （x+2）= f（x）， f（x+4） = f（ x+2）=f（x）， f（x ）是周期为4 的周期函数；（ 2）解：当 x 2，0 时， x0，2，由已知得 f（ x）=2（ x）（ x） 2= 2xx2， 又 f（ x）是奇函数， f（ x） = f（x）=2xx2， f（x ）=x2+2x，又当 x2，4 时， x4 2，0， f（x 4）=（x4）2+2（x4），又 f（ x）是周期为4 的周期函数， f（x ）=f （x 4） =（ x 4） 2+2（x4） =x26x+8，8从而求得 x2， 4 时， f（x）=x26x+8；（ 3）解： f（0）=0， f（2）=0，f（ 1） =1，f （3）=1， 又 f（ x）是周期为4 的周期函数， f（0）+f（ 1） +f （2）+f（ 3） =f（4）+f（ 5） +f（6）+f（7）=f（2 000） +f（2 001）+f （2 002）+f（ 2