高考数学抛物线试题汇编

1、-作者xxxx-日期xxxx高考数学抛物线试题汇编【精品文档】第三节抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()(A)(B)1 (C)2(D)4解析:圆x2+y2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y2=16,圆心为(3,0),半径是4,抛物线y2=2px(p>0)的准线是x=-,3+=4,又p>0,解得p=2.故选C.答案:C2.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段A

2、B的中点到y轴的距离为()(A) (B)1 (C) (D)解析:|AF|+|BF|=xA+xB+=3,xA+xB=.线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.故选C.答案:C3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()(A)2 (B)2(C)4 (D)2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,p=2,y2=4x.=4×2,|OM|=2.故选B.答案:B4.(2010年上海卷,理3)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0

3、的距离相等,则点P的轨迹方程是. 解析:由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.答案:y2=8x1 m后,水面宽m. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.x2=-2y.当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入x2=-2y得=6,x0=,水面宽|CD|=2 m.答案:26.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线

4、上,则B到抛物线准线的距离为. 解析:由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为,即B,将其代入y2=2px得1=2p×,解得p=,则B点到准线的距离为+=p=.答案:考点二 抛物线的几何性质及其应用 1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x2+ax-5(a0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为()(A)(-2,-9)(B)(0,-5)(C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率

5、k=0,由y=2x+a得切线斜率为2x0+a,2x0+a=a-2,x0=-1.直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)2+1=5.又a0,a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.答案:A2.(2009年四川卷,理9)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()(A)2 (B)3(C)(D)解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的

6、距离可转化为点P到点F的距离.由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d=2.故选A.答案:A3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=. 解析:F,设AB:y=x-,与y2=2px联立,得x2-3px+=0.xA+xB=3p.|AB|=xA+xB+p=4p=8,得p=2.答案:24.(2010年大纲全国卷,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=. 解析:如图

7、所示,由AB的斜率为,知=60°,又=,M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P,则ABP=60°,BAP=30°.|BP|=|AB|=|BM|,M为焦点,即=1,p=2.答案:2考点三 直线与抛物线位置关系 1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A)(B) (C) (D)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,x1+x2=,x1x2=4,由

8、3;=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+k(x1-2)-2k(x2-2)-2=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MAMB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MPAGBH,所以GAM=AMP=MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以AMGAMF,所以AFM=AGM=90°,则MFAB,所以k=-=2.答案:D2.(2010年辽

9、宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于()(A)4(B)8 (C)8(D)16解析:如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4).设P(x0,4),代入抛物线y2=8x,得8x0=48,x0=6,|PF|=x0+2=8,选B.答案:B3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()(A)(B)(C)(D)2解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,

10、由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=2,A(2,2),直线AF的方程为y=2(x-1).联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B,SAOB=|OF|·|yA-yB|=×1×|2+|=.故选C.答案:C4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则BCF与ACF的面积之比等于()(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,设过点M(,0)的直线方程为y=k(x-),代入y2=2x并整理,得

11、k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=3,因为|BF|=2,所以|BB|=2,x2=2-=,从而x1=2.设点F到直线AC的距离为d,则=.故选A.答案:A5.(2009年大纲全国卷,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()(A)(B) (C)(D)解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=-4,xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB

12、|=xB+2,|FA|=2|FB|,2xB+4=xA+2.xA=2xB+2.将代入得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xA·xB=4.解之得k2=.而k>0,k=,满足>0.故选D.答案:D6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为. 解析:设直线y=a与y轴交于点M,抛物线y=x2上要存在C点,使得ACB为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有交点即可,也就是使|AM|MO|,即a(a>0),所以a1.答案:1,+)7.(2012年重庆卷,理14)过抛物

13、线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=. 解析:由于y2=2x的焦点坐标为,设AB所在直线的方程为y=k,A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,将y=k代入y2=2x,得k2=2x,k2x2-(k2+2)x+=0.x1x2=.而x1+x2+p=x1+x2+1=,x1+x2=.x1=,x2=.|AF|=x1+=+=.答案:8.(2010年重庆卷,理14)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为. 解析:F的坐标为(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y

14、2),=3,(1-x1,-y1)=3(x2-1,y2),1-x1=3x2-3,且-y1=3y2,即x1+3x2=4,y1=-3y2.设直线AB的方程为y=k(x-1),AB中点为P(x0,y0).由得ky2-4y-4k=0.y1y2=-4.=12, =.x1=3,x2=.x0=.中点P到准线x=-1的距离d=-(-1)= .答案:9.(2012年辽宁卷,理15)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为. 解析:y=x2,y=x,由题意P(4,8),k1=y|x=4=4,切线为y=4x-8,Q(-2

15、,2),k2=y|x=-2=-2,切线为y=-2x-2.由得A(1,-4).答案:-410.(2012年北京卷,理12)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则OAF的面积为. 解析:抛物线y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).又直线l倾斜角为60°,直线斜率为,直线方程为y=(x-1).联立方程解得或由已知得A的坐标为(3,2),SOAF=|OF|·|yA|=×1×2=.答案:11.(2012年新课标全国卷,理20)设抛物线C:x2=2py

16、(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90°,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,又点A到l的距离d=|FA|=p,而SABD=4.|BD|·d=4.即×2p×p=4,p=-2(舍去)或p=2,圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直

17、径,ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,ABD=30°,m的斜率为-或,当m的斜率为时,可设n方程为y=x+b.代入x2=2py得x2-px-2pb=0,由于n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0b=-,又m的截距b1=,=3,坐标原点到m、n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的

18、方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,则=,2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y=x.设A(x1,y1),B(x2,y2)（其中y1=,y2=）,则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2.所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理,可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0

19、-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y0-2y=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.所以+-2y0+1=2+2y0+5=2（y0+）2+.所以当y0=-时,|AF|

20、·|BF|取得最小值,且最小值为.13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解:(1)由题意知,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

21、x1,x2是上述方程的两个实数根,从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为（pk1,p+）,=(pk1,p).同理可得点N的坐标为(pk2,p+),=(pk2,p),于是·=p2(k1k2+).因为k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1k2,所以0<k1k2<2=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-p-)2=(p+p)2,化简得x2

22、+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.又k2-k10,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离为d=.故当k1=-时,d取最小值.由题设, =,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是P

23、BQ的角平分线,证明直线l过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,|O1M|=,又|O1A|=,=,化简得y2=8x(x0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=,x1x2=,

24、因为x轴是PBQ的角平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,将代入,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此时>0,直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.(1)求p的值;(2)当M在C2

25、上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为(-1, ),故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-(2-)+=-,y0=-=-.由得p=2.(2)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1x2,由N为线段AB中点知x=,y=.切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+ .y=(x-x2)+ .由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所

26、以x1x2=-.由得x2=y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=y.模拟试题考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用 1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,|PF|CF|-1,当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),|PF|min=-1=4.故选B.答案:B2.(2013山

27、东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为()(A)2 (B)3(C)2 (D)4解析:由-=1得c2=4+5=9.双曲线右焦点为(3,0),抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选B.答案:B考点二 抛物线几何性质的应用 1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系x

28、Oy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是. 解析:线段OA的斜率k=,中点坐标为.所以线段OA的垂直平分线的方程是y-=-2(x-1),令y=0得到x=.即抛物线的焦点为.所以该抛物线的准线方程为x=-.答案:x=-2.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则MAF的平分线所在直线的方程为. 解析:点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,

29、0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF=-2,所以MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.答案:x-2y+4=0考点三 直线与抛物线的位置关系 1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为()(A)(B)(C)1 (D)2解析:易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.由得x2-4kx-4b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,x1+x2

30、=4k,x1·x2=-4b,又|AB|=6,=6,化简得b=-k2,设AB中点为M(x0,y0),则y0=+b=2k2+-k2=k2+=(k2+1)+ -12×-1=2.当且仅当k2+1=,即k2=时,y0取到最小值2.故选D.答案:D2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为()(A)4(B)8(C)16(D)32解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为,所以=4,即p=8.所以抛物线方程为y2=16x,焦点F(4,0),准线方程为x=-4,即K(-4,0),设A(x,y),由于|AK|=|AF|,|y|=x+4,又y2=16x,(x+4)2=16x,即x=4.A(4,±8),SAFK=×8×|y|=32.故选D.答案:D3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2)已知O为原点,求证:MON为定值