热学(秦允豪编)习题解答第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论

1、For personal use only in study and research;not for commercial use普通物理学教程热学（秦允豪编）习题解答第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论转动，由于粘滞力作用于液面沿切3.1.1分析：如图所示，为圆盘与平板间液柱，盘以 向f、f '，则作用于圆盘，f、f'为一对作用力和反作用力。 液柱边缘各点线速度 u =川Rdudz。沿轴线向下减少，形成梯度M或解：（1 ）盘受力矩（粘滞力的矩，使盘 二t变小，某瞬 间与悬丝转矩平衡）MA 二 R=1（ I盘转惯量，：角加速度）2 d dt= > = mRfFR

2、土dt（2）牛顿粘滞定律f'=即：二 R2(1)=( 2):mR土dtd =T "0 - »：0e md，且 M=fR=mR4f色Adz-(2)mdt0dtdtdu : udzoIn -=0md3.1.2面以旋转，由于被测气体的粘滞性，使内筒 表面受切向粘滞力分析：如图为题述装置的正视图。当外，产生力矩G,当柱体静止不动时，该力矩与悬丝形变（扭转）矩平衡。 在内、外筒间，r r dr处取厚度为dr的圆 柱体（被测气体），其柱面积为 此时作用于该柱面气上 n du “ 卄du 小f. A .2- rLdtdrA = 2：rL，则 体的切向力G = fr =2Lr2内摩

3、擦矩为鱼二 Constdr20L = G r d2分离变量得：-°R' r22兀叫民=-G积分：R2R1= g3lR1 R2 f3.1.3油滴在空气中下落时，受重力与空气浮力作用:43f =V 宀!' gR3!' g3.合力f即作用于油滴（球体）切向的粘滞力（相等）f'=6二 vR(1)按（3.9）式 当ff时,(2)(1) = (2):V = Vmax为收尾速度43RR 3 J _ 亍 g36 二 VmR29 Vmax9 Vmaxa(p-p'g 丿3.1.4（1）由上题结论Re1时f与粘滞力无关。PvR Re0.19 <1（2）雷诺数，

4、当故空气相对于尘埃运动是层流。层流间应存在分子 （微粒）热运动而交流动量，作用于层间切向存在内摩擦力（粘滞力）。3.1.5解：粘滞系数为 从A_ B缓慢流动（可认为是匀速地），从动力学观点看，应有外 力来抵消流体的粘滞力，此外来力就本问题而言是A、B液柱的压强差 P，由图依题提供的参数可得： P = 'gh设dt内通过细管的液体体积为dV由泊肃叶（Poiseuille）定律：瞥:普tNOT : 1、2、dVdt(1)1 2 a dh2：rP8 LIn 2:gr44 La24 La21n22）式中dV为dt内流过L的流体体积， 题给的内径r，若理解为直径，结果系数不同。;gr4dh与dV

5、符号相反。液体流经L , A 3.2.1分析：依题意，少量 为布朗粒子无规行走的扩散。 率假设，2 （15）进入后，3、h/dV =咤 $1降低h，高差为 2，故（2）式2N2 （15）进入大量的 2 （14）中，因为没对流，故可视 2（ 15）“充分”混合意味着，两种分子均匀分布，达平衡态。按等几将等几率地向空间任何方向运动，以O点为原点，某方向为x方. 2向，经t位移在x方向的投影为xt ,显然：xt =0, x t - °kT2D =-爱因斯坦于1905年证明：x t =2Dt，6二r估算：（1）对氮 D =0.200 10m 一丄=一.订 2 1Q sJ（2 ）在t内，若充分

6、混合，可认为每个布朗粒子的径迹已遍及容器所在空间。2丄2x t二r ，r为容器限度r故 = 2D = 2 0.2 104 =2.5 10 s 6.9h7.0h3.2.1如上题所述，N2分子在空气中含量较低，可视为布朗运动。空气分子移动1cm，可视N2分子 x2 =1cm，故经历时间为t42.5s2D 2 0.2 100.4s 二 vt=454 2.5 =1.135 103m： 1.1km1 10，3.3.1如图，空心内轴上任取一点r，并过此点作球壳其面积Q''=_K：dT Adz按付里叶定律，通过 A的热流 dQ' = icdT热量为热传导速率°Adt dzd

7、Q'dlzconst dtdzQ = 此如图：dT 24 丁 drr2 drt2 4 .dT1 Q(厶T =T1 - T2题求) ：T丄4二'r13.3.2 原题大意综述：两金属棒=2 B，用以导热。两热源温A、B （几何尺寸相同），' A 差 T =C ,求：Q A/ B : Q A - B 伸联）分析：令 TUT （称为温压差），Q"对长为L、截面为A的均匀棒，也uT八 片L ,_ AuTIt =L 或ARt = LL L其中AA 称为热阻。与欧姆定律及电阻定律类似，我们称（1 1则:It解：（1）Q A/BRtRta,瓷称为热阻率。达稳态传递的付里叶定律

8、改写为：RtIt（2）1）、（2）为热欧姆定律与热阻定律。12S S 3S（7）（8）-帰亠7 订 7(3)Q A/B =IT(1) utu3S=Rt(4)Rt 墜 2S S2S(5)Q A-B =It(1) drt(3)(3)、(4 )、( 5 )、Rta?tL3 7(6)使用了下列结论:?bL2S(7)(8)3S6'，bLQ A/B3.3.3由(4)、(6)两式:2SQ" ut ,l(A) (1)热敏电阻传递的热流(单位时间传递的热量)，按付里叶定律:It 二-四心Adu2(2) IT来自于焦耳热QItu I(2)tR(3) 联立(1)、( 2)，按能量守恒，源流相等。2

9、T TT0du(B )若 u2d ' aA，u2d:0,T > :R温度逐步升高，最后烧毁。3.3.4 解：球内某点离球心为r处作厚度为dr的球壳，达稳态时在单位时间从球壳传递出6 46的热量。为球壳包围的铀球单位时间产生的热量。热产生率：2,Q. dT A, dT 4兀rdVdr dVdr 43： r3aT12“Hrdr =-3呦T t 尹 H = -3珥Ta -T )= 3珥T -TTa2H0.12 5.5 100.1993K : 0.20K335B71Ri 二R23 -77z r /空/ LXV/= m1KL%A金块（1）臂热阻（设截面积为 S）1 2SLLS , R23L

10、2S ,R - R1R23通过中心O点传出与传入的热流相等。AB 口 2SAOT0Tx'S3LL2T1 T02T0 _ T1 = T0 - Tx22 dT dt -ln2 二T26LC f(2)'-二d2t6CLTQ=CdT = lTdt CdT 6CLIn 2二 d23.3.6( 1)热机运行在 500K、_Qi,Ti_300Q1T1500300K间其效率为（按理想循环）(2)P'-空adz0.4(此步应于dT = -0.05k m dt4章后讨论）P max= HP' = ( 0.4F(O.O54.18X1O x(105 2 =8.36><104

11、kwB1）物体表面总辐射照度E,来自空腔的总辐射出射度M1E WB =疏3.4.132 dt 3L1)物体单位时间、单位表面上吸收的辐射能量为: 发射的能量为：M =：vT4物体净能量流密度为 jt二：v Tj -T4由 dQ =mcpdT 二 CpdTE - YTWJ(3)CpdTSMYATv3 Tw -T dttodtCp4A： Ft2 dTT1 Tw -T4a°TW<TW _T2 J（2）依题意：把（5）式中，C（Cp为热容量）七（c为比热）(4)(5)(6)ca4AacrTwtAJw _T2£aWRtT2.7103W10R铝8.9 103W1w铜：CuRtuC

12、a(7) + ( 8):Cu14.2R10R32.7 103W 14.2R/8.9"03W108.9142 27= 2.3213.6.1解：令被碰分子静止，其余 分子相对于该分子运动，其相对运 动平均速率为：u=“v=4n巾¥ i=nd2(1)CJ12丿r =1 _ nu单位时间，对单位面积碰撞的分子数为4z = e1 ;202J2 Wd 2D=一 n *2v 兀 dnWdZ则44或4 KT(2)(3). 1 1入=7= = L3.6.2*2nb£2n兀d 2 ，取 d3.< 10_l0m12 : 2.5 108m血".0X104 "06

13、 江3.14疋(3.0工1040 )/ “Re （地球半径）3.6.33.6.4(1)kT1.38 10" 27322=1.59汶10 m2P兀d2汉 1.33疋10 5 3.14乂(2.0汉10二0 )二厂d 212丿d2Ve 1(2 ) Z =nve，3.6.5z =二n u2v2 2（UpV可认为v2； 0）1上 -=n2V21'8RT 计(2) Vl2 =8 8314|L 3.144000300+U 11l2"040如0丿2=1.2x10*m兀 x(10A5 ) x2.7x10253.6.6 解:S 二 d 二1 d1 d2 二12.2 10 加 3.6 1

14、0° =2.9 10 J0m(1) 2 2V；v12 = . V-|2DIS（ 1 ）将（1）式记为 10则 z = 7.4 10 m（2）按秦允毫编热学（2 -2用了简化假设V : V当然可用。2 2 2P247 UV1V2= 9.6 10°Jdn2设温度T1时反应速率为1 dt ，t2时为dt応2v = (dA +dB ) nAnB由(3.45 式) 4V8kTr expv- exI KT丿V2 一 T2W. T11 1exp-K 'J2丿，代入数据,V21.7V1，即增加0.7倍。3.6.8已知：人声二九°2， d =3.00:<10°

15、;0口，求：声波频率。1解:厂厂25 =9.33 汉 10*m2n；22.69 103.14 9 10332-3.558 107s Hz9.33 10"1 丿=(42.53* 汉103 =6.522"03%Z=<rnV7 =d2nV=3.14汇(2.9x10° f x4.0x 1025 x 6.522x103 = 6.89x 1O10s，1江)2 =7.07灯03巧J2 S正是题所给的答案！（2）（P128） 3.31式，应用（1），可见答案有误。（3.31）式是应（3）若去掉（2）所述简化，按赵凯华编（4）对（1）、（ 3）两式可进一步讨论。193.6.7

16、 激活能 E =0.6eV =0.6 1.6 10 J8 一 一O2DIS :（ 1）标准状态下，空气分子的平均自由程为 10 m数量级。依题意对标准状态下 分子。若02独立存在计算黑=9.33 10°m无误。但，若作为混合气体（空气）计算,该题无此意。（2）在0P度时，声速为Cs332%。（见赵力学P308）4（3）声波频率在16Hz 20000Hz之间，低于16Hz 10 Hz称为次声波，高于此至85 10 Hz称为超声波。（赵凯华力学P307）依此题计算应为超声波。（4）此题答案为3540 Hz（?）3.7.1已知：几=10cm，在1000段自由程中。求：（1）多少段长于10c

17、m ？ （ 1）多少段长于50 cm ？ （ 3）多少段长于 5cm短于10cm ？（4）多少段在9.9cm 10cm之间。（5）多少段刚好为10cm？、N解：自由程大于X的几率是“卞x e=自由程介于x x dx的几率是dN"N4（2 ）电子与气体分子碰撞的平均自由程为二 nx4i(1) N 二 N0e ' =104 e 二 3678.7 ： 3679 (段)50(2) N -104e° -104e ： 1046.738 10 =67 (段)5(3) 长于 5cm 的段数：N1 =104e 10 =6065.3 (段)N =6065.3 -3678.7 = 238

18、6.6 ： 2387 (段)9.9(4) 长于 9.9cm 的段数：N1 "04e 10 =3715.8N =3715.8 3678.7 =37.1 俺 37 (段)(5 )对统计规律而言，此题无解。3.7.2(1)(2)3.7.3(1)8 8.31 3002014 乂 32汇10° .丿二 N°eIn 2s445.5vt=e 一 =经t，残存分子的自由程应大于x = vtNeI。 N°1037e10010=445.5m s'-10In 0.37vt一1 n 2vt二 10.06cm4kTPlP广旦邛0竺AP250=20cm10= e_2

19、6;= 0.6065I =100A 0.61 ： 61A3.7.4残存分子为9°% 20cm所对应的P。分析：（1）电子与气体分子的碰撞截面、：，因电子de I： d气，故de可忽略不计。则:.=1 二d2 J 二44(2)veV气，故气体分子可认为是静止不动的。-Ve14扎= Zn、 n；xN_r /l.匸44kTD扎_:解：N0n 二二d2P3.7.5（ 1）铍原子自由程达'时，未被碰撞的概率为:该概率相当于自由程超过'的原子数所占的百分比，即为减弱的原子束强度与原来的原子1束强度之比，为e，故有:铍原子束自T =1273K高温，热运动比真空中T空=300K剧烈，

20、且9 29 （空气），)/ 1 ee/九 eK = K由题设条件：，=1m ,=1m。故可忽略空气运动，故铍 '与z关系为:V束其是铍原子束平均速率。Z二二V束n空Pg n 空 kT空1n空=CT /ukT空二=10'0m2P空 = 0.41Pa（2）求v束1 _ nv1nf v dv v4（a）铍蒸气单位时间通过小孔单位面积原子数为速率间隔在v v dv的原子，在单位时间通过小孔单位面积原子数为:射出的原子束中，速率在 v v dv间的概率为:1hf v dv vFvdv，叫1nv v4匚F（v）Jf（v）F v是原子束中原子速率分布：8kTv 二v ,F （v ）= 4兀原

21、子束平均速率为：oO1 oa 2v束二 o vF v dvv f v dv代入得：|mv2沏旦希8kT 2二kT103DIS :1屁=jfv2F（vdv同法：-4kT4RT =2.17 103（3）铍原子每进入一束所需时间为:1 厂 4.9 10*sv 束2.04 103（4）速率在v v dv之间的原子，在 dt内与dS发生完全非弹性碰撞（沉积在壁上）的 原子数为：n'F vdvtdSn'原子束碰撞前的原子数密度，它与刚进入容器时的原子数密度n0的关系为:,n。 n':e （第（1 ）问可知）每个原子与壁完全非弹性碰撞予壁冲量为mv，dS，dt内总冲量mvh'FvdvvdtdSP 二 ° mvn'F v vdv 二门何 ° v2F v dven0m-r n0 m 4kT4kTrbv束 =ee m m10-316-3/n。=10 cm =10 mP=2.6"0 PaDIS :由（1）陽=0.41PaP =0.41P束2.6 10,= 1.58 103（倍）仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in