平面向量知识点总结材料(精华)

1、必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别 . 向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A（1,2） , B（4,2）,则把向量AB按向量；（1,3）平移后得到的向 量是. 结果：（3，0）2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的 方向是任意的；3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线uuu的单位向量是鴿）；|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反

2、的非零向量 做平行向量，记作：a i/b,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有0）； 三点A B C共线AB呢共线.6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.举例2如下列命题：（1） 若 iaiibi，则a b.(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3 )若AB DC，则ABCD是平行四边形.(4 )若 ABCD 是平行四边形，则AB DDU.(5) 若a b,

3、b c，则 a c.(6) 若；/b , b/C则a/C.其中正确的是:结果：(4) (5)二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如Ab，注意起点在前，终点在后;2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，女口 ?等r b3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量r,5为基底，则平面内的任一向量a可表示为 a yjj (x, y)，称(x, y)为向量a的坐标，a (x, y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同三、平面向量的基本定理定理 设同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量， 则存

4、在唯一实数对(1,2),使a ie 2&.(1)定理核心：a湛泄；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且 表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当时，就说a人心为对向量a的正交分解.举例 3( 1 )若 a(1,1), b (1, 1) , c ( 1,2)，则 c . 结果：1 r 3 r-a _b2 2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BArrrrrr.q (0,0) ,e2 (1, 2)B.G ( 1,2), 仓(5,7)C. q (3,5), 仓(6,10)D. e (2, 3)， e2（3）已知AD,BE分别是 ABC的边BC，AC上的中线，

5、且AUD a，BUEb,则BCr可用向量ar,b表示为:结果：爭我（4 ）已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2DB ， CD rAB sAC，则r s的 值是结果：0.四、实数与向量的积实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如 下:（1）模：丨a |丨丨| a | ；（2）方向：当0时，a的方向与a的方向相同，当 0时，a的 方向与a的方向相反，当 0时，a 0，r注意：a 0.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量 a， b，作OA a， OB b，则把AOB （0）称为向量a , b的夹角.当o时，a, b同向；当 时，a, b反向；当 -时，a,直.

6、2.平面向量的数量积：如果两个非零向量它们的夹角为我们把数量i,bas叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作:ab，r r r r艮卩 a b |a | |b | cos .规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.uuuuuruuiruur uur举例 4（ 1） ABC 中，|AB| 3， |AC| 4， |BC| 5，贝AB BC . 结果:9.（2）已知a i舟，br o, 2 J a kb ,d a b ,c与d的夹角为则k 结果：1.(3 )已知 1 2 , |b| 5 , a b 3，贝Sa b| . 结果：723.(4)已知a,b是两个非零向量

7、，且aiibiia bi,则a与a b的夹角为_ 结果：30。.3.向量b在向量a上的投影：|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知曲3 , |b| 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为结果：124. a b的几何意义：数量积a b等于a的模iai与b在a上的投影的积.5. 向量数量积的性质：设两个非零向量a, b，其夹角为，则:rar bra(2) 当 a、b同向时，a ba11bi，特别地，a2 a a洛洛|借；ra r b rab同向的充要分条件;ra 当|a| |b| ,rarara|>r bb反向的充要分条件；当为锐角时，a b 0，且a、b不同向,a

8、 b 0是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时,0，且a、b不反向；a b o是 为钝角的必要不充分条件(3)非零向量a,的计算公式：cos廉J几洛简.举例6( 1)已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝y的取值范围是. 结果：4或0且£(2) 已知 OFQ的面积为S，且Of FS 1，若2 s舟，则肆，FQ夹角的取值范围是.结果：牯；(3) 已知 a (cosx,sin x) , b (cos y,sin y), 且满足 |ka b | 3 |a kb | (其中k 0).用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小. 结果：ab孚化0）；最小值

9、为1,600 .六、向量的运算1. 几何运算（1 ）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若AB a，BC b，则向量AC叫做a与b的和，即me QB 山A r b r a作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a， AC b，则a b AB AC CA，即由减向量的终 点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7（ 1 ）化简： ABB Be CDr : AB ADD DU uur uur uur uurmruuurr（AB CD） （AC BD） .结果： AD ； CB ； 0

10、 ；（2）若正方形abcd的边长为i，AB a，器b，AC c，则a b Ci.结果：2 2 ；（3） 若O是厶ABC所在平面内一点，且满足OB °C| |OB SC 2OA，贝卜ABC的 形状为. 结果：直角三角形；（4 ）若D为厶ABC的边BC的中点， ABC所在平面内有一点P，满足uuuPA BP需0，设黯，贝S的值为. 结果：2 ；（5 ）若点O是厶ABC的外心，且Oa OB CS 0，贝y ABC的内角C为.o结果. 120 .2.坐标运算：设a (Xi,yi) , b gy2)，贝卩(1 )向量的加减法运算：a b (Xi X2,yi 讨2), a b (Xi x?,%

11、y2).举例 8( i )已知点 A(2,3) , B(5,4) , C(7,i°)，若 AP AB Ac( R)，则当 时，点P在第一、三象限的角平分线上 结果：；(2 )已知 A(2,3)， B(1,4)，且 iAB (sin x,cosy)， x,y (-,-)， 贝H x y .结果：石或兀；(3 )已知作用在点A0,1 )的三个力(3,4) , F2 (2,5) , F3 (3,1)，贝怡力F F FU F3的终点坐标是.结果：(9,1).(2)实数与向量的积：a(Xi,yi)( x, yi).(3 )若 A(x,yi) , B(x2,y2),则 AB (X2 Xi,y2

12、yi),即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标举例9设A(2,3) , B( 1,5)，且AC 1AB , Ad 3AB，则C,D的坐标分别是.结果：(山丄7,9).(4) 平面向量数量积：a b X1X2 yiy2.举例10已知向量 a (sinxcosx) , b (sin x,sinx) , C ( 1,0).(1 )若x 3，求向量a、C的夹角；(2 )若X 3_,_，函数f(x) ab的最大值为2，求 的值.结果：(1 ) 15O0 ；(2 ) 2 或 2 1.(5) 向量的模：a2 |ja|2 X2 y2诂|x2 y2 .举例ii已知a,b均为单位向量，

13、它们的夹角为60。，那么ia 3bi=. 结果： '-13 .(6) 两点间的距离：若A(x,yi) , B(X22),则|AB|辰 儿)2 5 yj2 .举例12 如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy 60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP x& ye2，其中黑分别为与x轴、y轴同 方向的单位向量，则P点斜坐标为Z）.（1 ）若点P的斜坐标为（2, 2），求P到。的距离|PO| ；（2 ）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程. 结果：（1） 2 ； （ 2） x2 y2 xy 1 0 .七、向量的运算律1.交换律:ra r b

14、r bra r b r b ra rar br c rar c)/ r b r ararar b rer c)/r bra ra r c)/ r b r b r a rrar a rc-lb r b 舀rcra举例13 给出下列命题：a（bc）abac :a（bc）（ab）c ； r2r2r2(ab)2|a|2 2|a|b|b|2； 若abr 0，则a 0或b 0 ；若a b c b则a c ； 訂a2 ；rr 2r2r2rr2r2rrr2(ab)ab(ab)a2abb .其中正确的是.结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个 向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘

15、以一个实数，两边同时取模, 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一a（bC） （ab）C，为什么?个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2 ）向量的“乘法”不满足结合律，即八、向量平行（共线）的充要条件rar brar bra(|a|t>|)2xi y2yiX20 .时，a与b共线且方向相举例 14(1)若向量 a (x,i)，b (4,x)，当 x同.结果：2.(2)已知 a (1,1)，b (4, x) , U a 2b， V 2a b，且 U/ /V，则 x .果: 4.文案大全(3)设 PA (k,12)uuPB (4,5),PC (10,k),则 k时A

16、,B,C共线. 结果:2 或 11.九、向量垂直的充要条件y2%B远BAA他B-Buuag aLulrACwtTAC举例15(1)已知 OA ( 1,2) , OB (3,m),(2 )以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B 90，则点B的坐标是.结果：(1,3)或(3， 1);(3)已知n (a,b)向量n m，且由侖，则m的坐标是.结果：*或(b, a).十、线段的定比分点1. 定义：设点P是直线RP2上异于R、P2的任意一点，若存在一个实 数，使PP- PP2,则实数 叫做点p分有向线段PPP2所成的比，p点叫 做有向线段PP的以定比为 的定比分点.2. 的符号与

17、分点p的位置之间的关系(1 ) P内分线段器，即点P在线段RP2上0 ；(2) P外分线段 餵时，点P在线段PP2的延长线上1，点P在线段PP2的反向延长线上10 .注：若点P分有向线段議所成的比为，则点P分有向线段霭所成的 比为-.举例16若点P分AB所成的比为；，则A分BP所成的比为结果:3. 线段的定比分点坐标公式:设F?(x1,y1) , F2(X2,y2)，点P(x,y)分有向线段PR所成的比为，则定比分XiX2点坐标公式为y1 ( 1). y1讨21特别地，当1时，就得到线段PP2的中点坐标公式yXi X22% y?2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(xy) , (X

18、i,yi)、(“2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和 终点，并根据这些点确定对应的定比举例17( 1 )若M(3, 2) , N(6, D，且MP IMn，则点P的坐标为.结果：(6,7)；(2 )已知 A(a,°)，B(3,2 a)， 直线y 与线段ab交于m，且 AMf 2 MB ， 则结果：2或4.十一、平移公式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y)，贝卩x x h,；曲线f(x,y) 0按 y y k.向量舌(h,k)平移得曲线f(x h,y k) 0.说明：(1 )函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2 )向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18( 1 )按向量a把(2,3)平移到0, 2)，贝y按向量a把点(7,2)平移到点. 结果：(8,3)；(2 )函数y sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y cos2x1，贝ya. 结果：(4,1).十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;2.模的性质：洁| |b|诂b|向|b|.(1)右边等号成立条件：a、b同向或a、b中有0 a ba b；