傅里叶级数与傅里叶变换的关系

1、咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨 摘要通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。关键词：拉普拉斯变换 线性方程 原函数 像函数 反演（一） 拉普拉斯变换的定义 傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数在任一区间满足狄里希利条件，并且在区间上绝对可积。这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。因此需要引入拉普拉斯变换。 拉普拉斯变换

2、常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻的值，而求解它在初始时刻之后的变化情况，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置 为了获得宽松的变换条件，把加工为， 这里是收敛因子，就是说，正的实数的值选得如此之大，以保证在区间上绝对可积，。于是，可以对实施傅里叶变换 将记作，并将改记作，则 （1）其中积分称为拉普拉斯积分，称为的拉普拉斯变换函数.（1）代表从到的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），称为拉普拉斯变换的核。 的傅里叶逆变换是即 由 ，有 所以 又称为像函数，而称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为 （二） 拉普拉斯变换的基本性质 （1） 线性定理 若 ， ，

3、则 （2） 导数定理 （3） 积分定理（4） 相似性定理（5） 位移定理（6） 延迟定理 (7) 卷积定理若 ，则 其中（三） 拉普拉斯变换的反演（1） 有理分式反演法 如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。例1 求 的原函数解；先将这个有理分式分解成分项分式， = =即得 （2） 查表法许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上直接查找很方便，对于一般常见的像函数，都能查出其原函数，有些像函数，虽然不能直接从表中查出其原函数，但可以利用延迟定理，位移定理和卷积定理，在配合查表而解决其反演问题. 例2 求和的原函数解；先将两函

4、数里的位移为 查表得 再应用位移定理，即得 （四） 用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可以归纳为以下”三”步 ，也就是三步求解线性微分，积分方程。（1） 对方程实施拉普拉斯变换，这变换把初始条件也一并考虑。（2） 从变换后的方程解出像函数.。（3） 对求出的像函数进行反演，原函数就是原来方程的解。例 1 求解交流电路的方程 解；第一步对方程实施拉普拉斯变换得 第二步从变换后的方程解出像函数 第三步对像函数进行反演。由于 引用卷积定理完成反演， = = =所得结果的第一部分代表一个稳定的（幅度不变的）振荡，第二部分则是随时间而衰减的， 稳定的振荡部分还

5、可以如下改写； = = =，其中 电工学里常用的复数主抗法或矢量法只给出这个形式的稳定振荡，没有考虑随时间衰减的部分。例 2 两个线圈具有相同的R,L和C.两线圈之间的互感系数为M ，在初级线路有直流电源，其电压为,今接通初级线路中的电钥,问次级电路中的电流的变化情况如何？ 解；先写出电路方程 (2) （3）还有初始条件 第一步对方程进行拉普拉斯变化得到代数方程 (4) （5） 第二步联立（4）（5）求解像函数 第三步进行反演的 把它分解为分项分式， 查表进行反演得到 其中 ， （五） 总结留数法在拉普拉斯反变换中的应用摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于

6、求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数引言采用留数法计算拉氏反变换（或者z反变换）是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。正文1 留数定理复变函数中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。如果l包围的区域有f（z）的奇点，则需要应用留数定理来求解。根据重要例题结论：可以推导出Resf(z)为函数的留数。留数定理即复变函数的回路积分为

7、被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。关于留数的具体求法在课程数学物理方法中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。2、 留数法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。通常有两种求拉普拉斯反变换的方法，即部分分式展开法与围线积分法。部分分式展开法是将像函数分解为若干简单变换式之和，然后逐项反变换求取原函数，此方法仅限于像函数是有理数的情况。围线积分法是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行的，适用范围较宽。由拉普拉斯反变换的定义知道直接求解这个积分是十分困难的，但由复变函数理论知可以将此转换成求F(s)在一个闭合围线内部全部留数的代数和。在此，F(s)est的积分等于围线C

8、内所包围的所有F(s)est的极点的留数之和.积分围线C为如图所示的半径为无穷大的圆弧.三、留数法求有理分式的拉普拉斯反变换若pi为一阶极点，留数若pi为k阶极点，在此例举一具体问题求的拉普拉斯反变换。解：由此看以看出，用留数法求解有理分式的拉普拉斯反变换时，过程与结论形式均与部分分式展开法求解拉普拉斯反变换时相似，结果相同。但在计算重根的留数时，方法比部分分式展开法要简单一些。3、 留数法求无理式的拉普拉斯反变换给定一无理函数，欲求此函数的原函数，首先由其是一无理函数首先可以考虑运用留数法。F（s）的两个极点分别为：则：可见，留数法可以处理无理函数。但是计算上不算简单。事实上，此题可以运用部

9、分分式展开法与拉普拉斯变换的时间平移特性结合来完成更为简单。4、 小结拉普拉斯变换是一种积分变换, 它是求解线性常微分方程、研究线性系统的一个重要工具,在物理和工程等领域有着广泛的应用。利用拉普拉斯变换法求解定解问题的方法是:在原函数满足的方程中,通过拉普拉斯变换,将原函数变换为像函数,得到关于像函数的方程并进行求解。这一过程相对容易。而为了得到原函数,必须作拉普拉斯逆变换。在一些书上,通过列表的方式给出了一些像函数所对应的原函数,但是,对于表中没有出现的像函数怎样求得原函数,IX 咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用摘 要 本文给出了常微分方程

10、（组）的基本概念性质及两种解法，常数变易法及拉普拉斯变换法，常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要而用常数变易法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度而拉普拉斯变换是实变量函数和复变量函数间的一种函数变换对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多本人是将两种方法进行比较分析拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）过程

11、中的优缺点关键词：常微分方程；常微分方程组；拉普拉斯变换法目 录摘 要.IAbstractII引 言11 常微分方程21.1 常微分方程基本概念21.2 线性微分方程的相关定义及性质41.2.1 引言41.2.2 齐次线性微分方程的解的性质51.2.3 非齐次线性微分方程的定义及性质61.3 线性微分方程的一般理论 61.3.1 齐次线性微分方程组61.3.2 非齐次线性微分方程组的性质定理72 拉普拉斯变换. 72.1 拉普拉斯变换的介绍82.2 拉普拉斯变换的定义性质及部分变换83 微分方程的求解93.1 用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程93.2 用矩阵法求解常系数线性微分方程组11

12、4 拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用124.1 拉普拉斯变换在常微分方程中的应用124.1.1 求解过程说明124.1.2 对比两种方法在常微分方程中的求解134.2 对比两种方法在常微分方程中的求解144.2.1 求解过程说明144.2.2 对比两种方法在常微分方程组中的求解145 探索17结束语21参考文献. .22谢 辞2339 引 言常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题应该说，应用常微分方程理论已经取得了很

13、大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、大朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了

14、非常有力的工具 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量 拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换法求解齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决.在

15、工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用1 常微分方程1.1 常微分方程基本概念 （1）常微分方程和偏微分方程 我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式.如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程方程 就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量方程 就是偏微分方程的例子，这里T是未知函数，x,y,z,t都是自变量方程含有三个自变量，而方程含有两个自变量微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方

16、程的阶数例如，方程是二阶常微分方程，而方程与都是二阶偏微分方程一般的n阶常微分方程具有形式 这里是的已知函数，而且一定含有；y是未知函数，x是自变量我们学习的这门课程是常微分方程.今后，我们把常微分方程简称为“微分方程” ，有时更简称为“方程”（2） 线性和非线性 如果方程的左端为y及的一次有理整式，则称为n阶线性微分方程.例如，方程是二阶线性微分方程.一般阶线性微分方程具有形式 这里是x的已知函数 不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程例如，方程是二阶非线性微分方程，而方程是一阶非线性微分方程（5） 微分方程组 用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组 习惯将一阶常微分方程写成

17、最高阶导数的形式 其中如果把都理解为未知函数，取变换 则n阶方程可以用一阶方程组代替，即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组或更简单的写成向量形式 其中前面提到的线性和非线性，等概念同样适合微分方程组1.2 线性微分方程的相关定义及性质1.2.1 引言 我们讨论如下的阶线性微分方程 ， 其中及都是区间上的连续函数 如果，则方程变为 我们称它为n阶齐次线性微分方程，简称其次线性微分方程，而称一般的方程为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且通常把叫做对应于方程的齐次线性微分方程 定理1 如果及都是区间上的连续函数，则对于任一及任意的，方程存在唯一解，定义于区

18、间上，且满足初值条件 1.2.2 齐次线性微分方程的解的性质首先讨论齐次线性微分方程 ， 定理2（叠加原理） 如果是方程的k个解，则它们的线性组合也是的解，这里是任意常数特别地，当k=n时，即方程有解 它含有n个任意常数 定理3 若函数在区间上线性相关，则在上它们的朗斯基行列式 定理4 如果方程的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即. 定理5 n阶齐次线性微分方程一定存在个线性无关的解定理6（通解结构定理） 如果是方程的n个线性无关的解，则方程的通解可表为 , 其中是任意常数且通解包括了方程的所有解推论 方程的线性无关解得最大个数等于n，因此可得结论：n阶齐次线性微分方程的

19、所有解构成一个n维线性空间方程的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组显然，基本解组不是唯一的特别地，当时称其为标准基本解组1.2.3 非齐次线性微分方程的定义及性质 考虑n阶非齐次线性微分方程 ， 易见方程是它的特殊情形性质1 如果是方程的解，而是方程的解，则也是方程的解性质2 方程的任意两个解之差必为方程的解定理7 设为方程的基本解组，而是方程的某一解，则方程的通解可表示为， 其中为任意常数1.3 线性微分方程的一般理论 定义 线性微分方程组 ， 的一般理论，主要是研究它的解的结构问题如果，则称为非齐次线性的如果，则方程的形式为 ， 称为齐次线性的通常称为对应于的齐次线性微分方程组1.3

20、.1 齐次线性微分方程组定理8（叠加原理） 如果和是的解，则它们的线性组合也是的解，这里是任意常数定理9 如果向量函数在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式定理10 如果的解线性无关，那么，它们的朗斯基行列式定理11 齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关的解定理12 如果是的n个线性无关的解，则的任一解均可表为这里是相应的确定常数1.3.2 非齐次线性微分方程组的性质定理 非齐次线性微分方程， 的解的结构问题，这里是区间上的已知连续矩阵，是区间上的已知n维连续列向量向量通常称为强迫项，因为如果描述一个力学系统，就代表外力性质1 如果是的解，是对应的齐次线性微分方程组的解则是的解性质2 如果和

21、是的两个解，则是的解定理13 设是的基解矩阵，是的某一解，则的任一解都可表为 , 这里c是确定的常数列向量2 拉普拉斯变换2.1 拉普拉斯变换的介绍 拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数s的代数方程（组）通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解方法十分简单方便，为工程技术工作者所普遍采用当然，方法本身也有一定局限性，他要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不是用了2.2 拉普拉斯变换的定义性质及部分变换定义 由积分所定义的确定于复平面上的复函数s的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式 ，

22、这里M，为某两个正常数我们将称为原函数，而称为像函数定理1 如果对向量函数，存在常数及使不等式 对所有充分大的t成立，则初值问题的解及其导数均像一样满足类似的不等式，从而它们的拉普拉斯变换都存在拉普拉斯部分变换表：序号原函数像函数 F(s)的定义域1234563 微分方程的求解 3.1 用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程 定义 n阶常系数非齐次线性微分方程 ， 对应的n阶常系数齐次线性微分方程为 ， 其中为常数，为连续函数 基本解组 设为的特征根，可以为实数，也可以为复数对方称变形：其中 ， 为方程的特征方程 当特征根是单根时，设是特征方程的个彼此不相等的根，则相应地方程的基本解组为：若为

23、实数，则的通解表示为若为复根，则的两个实值解为 当特征根有重根时：有k重根时，方程的基本解组为： ；有2k重根时，方程的基本解组为： 定理1 给出方程： 设为方程的基本解组，而是方程的某一解，则方程的通解可表示为，其中为任意常数 对任一n阶常系数非齐次线性微分方程都可以由上述方法求出对应的齐次线性微分的基本解组，再应用常数变易法求得的一个特解，这样，根据定理一即可写出方程的通解表达式例1：求方程的通解解：对应的齐次线性微分方程为. 特征方程的根为 原方程对应的齐次微分方程的基本解组为 应用常数变易法，令将它代入方程，则可得决定和的两个方程及解得：积分得：于是原方程的通解为：其中为任意常数3.2

24、 用矩阵法求解常系数线性微分方程组 定理2 如果矩阵A 具有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为（不必各不相同），那么矩阵 ，是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵类似于常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法：我们先给出非齐次线性微分方程组 的常数变易公式，这里是常数矩阵，是已知的连续向量函数因为对应的齐次线性微分方程组的基解矩阵为，这时我们有，若初值条件是，则，的解就是 例2：设 试求方程满足初值条件的解解：求得 代入公式，得到（利用）我们计算上面的积分如下：利用公式或者分部积分法，得到最后我们得到4 拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用4.1 拉普拉斯变换在常微分方程中的

25、应用4.1.1 求解过程说明 设给定微分方程 及初始条件其中是常数，而连续且满足原函数的条件。注意，如果是方程的任意解，则及其各阶导数均是原函数 记那么，按原函数微分性质有 ， ，于是，对方程两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质就得到 即 或 ，其中和都是已知多项式，由此，这就是方程的满足所给初始条件的解的像函数而可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式求得4.1.2 对比两种方法在常微分方程中的求解 例1：求方程满足初始条件的解 解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所满足的方程由此，注意到，得直接查拉普拉斯变换表，可得和的原函数分别为和因此，利用线性性质，就求得的原函数为这就是所

26、要求的解例2：求方程的通解解：对应的齐次线性微分方程为，特征方程的根为所以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为，应用常数变易法，令 将它代入方程，则可得决定和的两个方程及解得：积分得：，于是原方程 的通解为：，其中为任意常数通过上面的例题我们发现用常数变易法求解往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度。而拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转换成复数s的代数方程，再通过代数运算进行计算，方法十分简单方便4.2 拉普拉斯变换法在常微分方程组中的应用4.2.1 求解过程说明 首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形 定义 这里是n维向量函数，要求它的每一个分量都存在拉普拉斯变

27、换4.2.2 对比两种方法在常微分方程组中的求解例3：设，试求方程 满足初值条件的解解：求得 代入公式，得到（利用） 我们计算上面的积分如下： 利用公式或者分部积分法，得到最后我们得到例4：利用拉普拉斯变换求解例3. 解：将方程组写成分量形式，即令，以=代入方程组后，对方程组施行拉普拉斯变换（依据定理3，这是可能的）得到即 由此得到取反变换或查拉普拉斯变换表即得所得结果跟例3一致通过上述例题可以看到构造基解矩阵必须是某些特殊的情形，要具体计算矩阵中的积分也是不容易的而应用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程（组）的初值问题是比较快捷的 应用拉普拉斯变换还可以直接去解高阶的常系数线性微分方程组，而

28、不必先化为一阶的常系数线性微分方程组例5.试求方程组满足初始条件的解 解：令，对方程组去拉普拉斯变换，我们得到 整理后得到解上面方程组，即有在取反变换就得到解5 探索拉普拉斯变换可以提供另一种寻求常系数线性微分方程组 的基解矩阵的方法设是满足初始条件的解，我们令对两边取拉普拉斯变换并利用初始条件，得到 因此 方程组是以的n个分量为未知量得n阶线性代数方程组显然，如果s不等于A的特征值，那么 这时，根据克莱姆法则，从方程组中可以唯一地解出因为是s的n次多项式，所以的每一个分量都是s的有理函数，而且关于的分量都是线性的因此，的每一个分量都可以展为部分分式（分母是的整数幂，这里是A的特征值）这样一来

29、，取的反变换就能求得对应于任何初始向量的解，依次令就求得解以作为列向量就构成的一个基解矩阵，且例1：试构造方程组 的一个基解矩阵，其中解：对方程组两边取拉普拉斯变换，得到即 由A的具体元素代入，得到方程组按第一行将展开，得到 根据克莱姆法则，有 到此，最好先将的具体数值代入，再取反变换比较方便些 首先，令 我们得到从得到因此 , 同时，又得从得到，因此同样，可计算得到这样一来，其次，令，我们得到， 从 得 因此 ， 又, 这样一来，最后，令我们得到 , , , 这样一来，综合上面的结果，得到基解矩阵且 . 结束语本文给出了常微分方程的了两种解法，一种是用常数变易法求解常微分方程，另外介绍了用矩

30、阵法求解常微分方程组，另一种是用拉普拉斯变换法求解常微分方程及常微分方程组两种方法相比较而言用通常的解法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度而拉普拉斯变换则可以把微分方程及微分方程组转化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成功复变数s的代数方程（组）通过一些代数运算，即可求出常系数微分方程（组）的解但他却有一定的局限性，在微分方程中它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不是用了在微分方程组中，它对方程中强迫项的性质要求比较高因此并非任何常系数线性微分方程

31、（组）都能用拉普拉斯变换法进行求解这就需要更多的研究者对常微分方程（组）的求解问题在日后加以探讨参考文献1 王柔怀,伍卓群.常微分方程讲义M.北京:人民教育出版社,1979.2 王高雄,周之铭,宋思铭,等.常微分方程M.北京:高等教育出版社,1983.3 施皮格尔MR.高等数学的理论和习题M.上海:上海科学技术出版社,1978.4 蔡燧林.常微分方程（第二版）.武汉：武汉大学出版社，2003.5 JAGERMANDL.Aninveresion technique for the laplace transform J.BSTJ，1992.6 胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法M.北京:科学出版社

32、,2001.7 刘林平，常系数线性微分方程的拉普拉斯变换法期刊论文-内蒙古农业报2006.8 钱伟长.微分方程的理论及其解法（第一版）.北京：国防工业出版社，1992.9 复旦大学数学系. 微分方程及其数值解M.上海:上海人民出版社, 1975.10 王高雄.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2003.快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方

33、法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换.虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用Abstr

34、actFast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a

35、new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and

36、 many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calc

37、ulation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at t

38、he expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words F

39、ast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used目录摘要ABSTRACT 绪论快速傅里叶变换原理快速傅里叶的实际应用快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用 引言实验原理及结果结论采用异步实现的快速傅里叶变换处理器 引言实验原理及结果结论快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用引言实验原理及结果结论参考文献 绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数

40、学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过傅立叶变换（D

41、FT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。.快速傅里叶变换原理数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。DFT 存在的不足是计算量太大,很难进行实时处理。计算一个N 点的DFT ,一般需要次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.因此,当N较大或要求对信号进行实时处理时,往往难以实现所需的运算速度。1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey发现了DFT的一种快速算法,经其他学者进一步改进, 很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换, 简称FFT( The Fast Fo

42、urier Transform)。快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的权函数的对称性和周期性,把N点DFT进行一系列分解和组合,使整个DFT的计算过程变成一系列叠代运算过程,使DFT的运算量大大简化,为DFT及数字信号的实时处理和应用创造了良好的条件。快速傅里叶变换算法如下：由(1)式可知，对每一个n，计算X()须作N次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需次乘法及N(N-1)次复数加法。但以下介绍的快速傅里叶变换的算法，可大大减少运算次数，提高工作效率。当时，n和k可用二进制数表示：又记,则（1）式可改写为 （2）式中： (3)因为所以（2）可改成 （4） (5)则式（）即为式（）

43、的分解形式。将初始数据代入式（）的第一个等式，可得每一组计算数据，一般将痗L-1组计算数据代入式（）的第L个等式，计算后可得第L组计算数据（L，），计算公式也可表示为= （6）式中 （7） 根据式（），第L个数组中每个 的计算只依赖于上一个数组的两个数据这两个数据的标号相差，即，而且这两个数据只用于计算第L个数组中标号的数据（等号右端为二进制数）。当分别取和时，分别有。因此，用上一组的两个数据计算所得的两个新数据仍可储存在原来位置，计算过程中只需要N个存储器。将与称为第L个数组中的对偶结点对。计算每个对偶结点对只需一次乘法，事实上由式（）可得式中： ；别为式（）中取，时对应的P值。因，于是对偶

44、结点的有如下关系：,因此式（）可表示为P的求法：在中，i写成二进制数右移位，就成为颠倒位序得式（）吕，前面的个等式，每个等式均对应一组数据进行计算，每组数据都有N/对结点，根据式（），每对结点只需作次乘法和次加法，因此，每组数据只需N/2次乘法和N次加法，因而完成组数据的计算共需N/2次乘法和N次加法。.快速傅里叶的实际应用:一快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用引言电探测系统是光信号的转换、传输及处理的系统. 系统的各个部分在工作时总会受到一些无用信号的干扰,给光谱峰的检测判别及进一步的数据处理带来了不利因素.对光谱信号进行数字滤波,以获得更真实的光谱信息，显得格外重要. 目前最为通

45、用和有效的信号滤波处理方法是快速傅立叶变换方法.纯水是一种较弱的喇曼散射介质,需要专用的喇曼散射光谱仪器才能获得高信噪比的喇曼光谱.我们以增强型的CCD 探头为探测器,结合普通的分光单色仪,在YAG 激光器532 nm 激光线的激励下获得低信噪比的纯水的喇曼光谱. 信噪比较差的喇曼光谱经过FFT 变换后,用FFT 的逆变换将滤除噪声后的频谱信号转换成为光谱信号,最终获得信噪比较高的纯水的喇曼光谱. 实验原理及结果傅里叶变换的基本表达式为 （） （）式（1）中的x（n）(n=0,2,N-1)是列长为N的输入序列，即实验采集到的时域上的切片数据;x(k)(=0,1,N-1)是列长为N的输出序列，即经过傅里叶变换后的频域上的数据。 对数字化后的光谱信号而言, x(n)是一组离散的实数信号；而X(k)分为实部x