八年级轴对称与对称轴提高压轴题.

1、优秀学习资料欢迎下载轴对称压轴题1问题背景：如图（ a），点 a 、b 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点c，使 ac 与 bc 的距离之和最小，我们可以作出点b 关于 l 的对称点b，连接 a b 与直线 l 交于点 c，就点 c 即为所求（ 1）实践运用：如图（ b），已知， o 的直径 cd 为 4，点 a 在 o 上， acd=30 °，b 为弧 ad的中点， p 为直径 cd 上一动点，就 bp+ap 的最小值为（ 2）学问拓展：如图（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45 °， bac 的平分线交bc 于点 d ，e、f 分别是线段a

2、d 和 ab 上的动点，求be+ef 的最小值，并写出解答过程2（ 1）观看发觉如图（ 1）：如点 a 、b 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作点 b 关于直线m 的对称点b，连接 ab ，与直线m 的交点就是所求的点p，线段 ab 的长度即为ap+bp 的最小值如图（ 2）：在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作点 b 关于 ad 的对称点，恰好与点c 重合，连接ce 交 ad 于一点，就这点就是所求的点p，故 bp+pe 的最小值为（ 2）实践运用如

3、图（ 3）：已知 o 的直径 cd 为 2，的度数为 60°，点 b 是的中点，在直径cd 上作出点p，使 bp+ap的值最小，就bp+ap 的值最小，就bp+ap 的最小值为（ 3）拓展延长优秀学习资料欢迎下载如图（ 4）：点 p 是四边形 abcd 内一点，分别在边ab 、bc 上作出点m ，点 n ，使 pm+pn+mn的值最小，保留作图痕迹，不写作法如图（ 1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向a 、b 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发觉什么规律？聪慧的小华通过独立摸索，很快得出明白决这个问题的正确方法他把管道l

4、 看成一条直线（图（2） ，问题就转化为，要在直线l 上找一点p，使 ap 与 bp 的和最小他的做法是这样的： 作点 b 关于直线 l 的对称点 b 连接 ab 交直线 l 于点 p，就点 p 为所求请你参考小华的做法解决以下问题如图在 abc 中，点 d 、e 分别是 ab 、ac 边的中点， bc=6 ， bc 边上的高为 4，请你在bc 边上确定一点p，使 pde 得周长最小（ 1）在图中作出点p（保留作图痕迹，不写作法）（ 2）请直接写出pde 周长的最小值：4（ 1）观看发觉：如（ a）图，如点a ， b 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作

5、点b 关于直线l 的对称点b'，连接 ab' ，与直线 l 的交点就是所求的点p再如（ b）图，在等边三角形 abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点p，使 bp+pe 的值最小做法如下： 作点 b 关于 ad 的对称点， 恰好与点 c 重合， 连接 ce 交 ad 于一点， 就这点就是所求的点p，故 bp+pe的最小值为（ 2）实践运用：如（ c）图，已知 o 的直径 cd 为 4， aod 的度数为60°，点 b 是的中点，在直径cd 上找一点p，使 bp+ap的值最小，并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延长：如（ d）

6、图，在四边形abcd 的对角线ac 上找一点 p，使 apb= apd 保留作图痕迹，不必写出作法优秀学习资料欢迎下载5几何模型：条件：如下图，a 、b 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点p，使 pa+pb 的值最小方法：作点a 关于直线 l 的对称点a ，连接 a b 交 l 于点 p，就 pa+pb=a b 的值最小（不必证明） 模型应用：（ 1）如图 1，正方形 abcd的边长为2，e 为 ab 的中点， p 是 ac 上一动点连接bd ，由正方形对称性可知，b与 d 关于直线ac 对称连接ed 交 ac 于 p，就 pb+pe 的最小值是；（ 2）如图 2， o 的半

7、径为2，点 a 、b、c 在 o 上， oa ob ， aoc=60 °，p 是 ob 上一动点，求pa+pc 的最小值；（ 3）如图 3， aob=45 °， p 是 aob 内一点， po=10， q、r 分别是 oa 、ob 上的动点，求pqr 周长的最小值6如图，已知平面直角坐标系，a 、b 两点的坐标分别为a（ 2， 3）， b（ 4， 1）（ 1）如 p（ p， 0）是 x 轴上的一个动点，就当p= 时， pab 的周长最短；（ 2）如 c（ a， 0）， d（ a+3， 0）是 x 轴上的两个动点，就当a= 时，四边形abdc 的周长最短；（ 3）设 m ，n

8、 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点m （m， 0）、n（ 0， n），使四边形abmn的周长最短？如存在，恳求出m= ， n= （不必写解答过程） ；如不存在，请说明理由7需要在高速大路旁边修建一个飞机场，使飞机场到a， b 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置优秀学习资料欢迎下载8如下列图，在一笔直的大路mn 的同一旁有两个新开发区a ， b，已知 ab=10 千米，直线ab 与大路 mn 的夹角 aon=30 °，新开发区b 到大路 mn 的距离 bc=3 千米（ 1）新开发区a 到大路 mn 的距离为；（ 2）现要在 mn 上某点 p 处向新开发区a

9、 ，b 修两条大路pa，pb，使点 p 到新开发区a ，b 的距离之和最短此时 pa+pb= （千米）9.如图：（ 1）如把图中小人平移，使点a 平移到点b ，请你在图中画出平移后的小人；（ 2）如图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l 上点 p 处喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点p 的位置10如图，在直角坐标系中，等腰梯形abb 1a 1 的对称轴为y 轴（ 1）请画出：点a 、b 关于原点o 的对称点a 2、 b2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（ 2）连接 a 1a 2、 b1b2（其中 a2 、b 2 为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂

10、直平分线段a 1a 2、b1b2；（ 3）设线段 ab 两端点的坐标分别为a （ 2，4）、b（ 4，2），连接（ 1）中 a 2b2，试问在 x 轴上是否存在点c，使 a 1b 1c 与 a2b 2c 的周长之和最小？如存在，求出点c 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；如不存在， 请说明理由优秀学习资料欢迎下载11某大型农场拟在大路 l 旁修建一个农产品贮存、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 a 、b 的水果集中进行贮存和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置 c，使 a 、b 两地到加工厂 c 的运输路程之和最短 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证

11、明）12阅读懂得如图 1， abc 中，沿 bac 的平分线 ab 1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿b1a 1c 的平分线a 1b2 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿bna nc 的平分线a nbn+1 折叠，点bn 与点 c 重合，无论折叠多少次，只要最终一 次恰好重合，bac 是 abc 的好角小丽展现了确定bac 是abc 的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形abc 顶角 bac 的平分线 ab 1 折叠， 点 b 与点 c 重合；情形二： 如图 3，沿 bac 的平分线ab 1 折叠， 剪掉重复部分； 将余下部分沿b 1a1c的平分线 a 1b2 折叠，此时点b1 与点 c

12、 重合探究发觉（ 1） abc 中， b=2 c，经过两次折叠，bac 是不是 abc 的好角？ （填 “是 ”或“不是 ”）（ 2）小丽经过三次折叠发觉了bac 是 abc 的好角， 请探究 b 与 c（不妨设 b c）之间的等量关系 依据以上内容猜想：如经过n 次折叠 bac 是 abc 的好角，就 b 与 c（不妨设 b c）之间的等量关系为 应用提升（ 3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、 60°、105°，发觉 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角 请你完成，假如一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个

13、角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角13如图， abc 中 ab=ac ，bc=6 ，点 p 从点 b 动身沿射线ba 移动，同时，点q 从点 c 动身沿线段 ac 的延长线移动，已知点p、q 移动的速度相同，pq 与直线 bc 相交于点d （ 1）如图 ，当点 p 为 ab 的中点时，求cd 的长；（ 2）如图 ，过点 p 作直线 bc 的垂线垂足为e，当点 p、 q 在移动的过程中，线段be、de 、cd 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；优秀学习资料欢迎下载14（ 2021.东城区二模）已知：等边abc 中，点 o 是边 ac ， bc 的垂直平分线的交点，m ，n 分

14、别在直线ac ，bc 上，且 mon=60 °（ 1）如图 1，当 cm=cn 时， m 、n 分别在边 ac 、bc 上时，请写出am 、 cn、mn 三者之间的数量关系；（ 2）如图 2，当 cm cn 时， m 、n 分别在边ac 、bc 上时，（1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请你加以证明；如不成立，请说明理由；（ 3）如图 3，当点 m 在边 ac 上，点 n 在 bc的延长线上时，请直接写出线段am 、cn 、mn 三者之间的数量关系15如图，线段cd 垂直平分线段ab ， ca 的延长线交bd 的延长线于e，cb 的延长线交ad 的延长线于f， 求证： de=df 1

15、6如图，在 abc 和 dcb 中， ab=dc ， ac=db ，ac 与 db 交于点 m 求证：（ 1） abc dcb ；（ 2）点 m 在 bc 的垂直平分线上17如图， abc 的边 bc 的垂直平分线de 交 bac 的外角平分线ad 于 d， e 为垂足， df ab 于 f，且 ab ac ，求证： bf=ac+af 18已知 abc 的角平分线ap 与边 bc 的垂直平分线pm 相交于点p，作 pk ab ，pl ac ，垂足分别是k 、l ，求证： bk=cl 优秀学习资料欢迎下载19某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村a 、b 的距离必需相等，且

16、到两条大路m、n 的距离也必需相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（要有作图痕迹）20如图，在 abc 中， ab=ac ， a=120 °， bc=9cm ， ab 的垂直平分线mn 交 bc 于 m ，交 ab 于 n ，求 bm的长21如图，在 abc 中， bac 的平分线与bc 的垂直平分线pq 相交于点p，过点 p 分别作 pn ab 于 n ，pm ac于点 m ，求证： bn=cm 22如图己知在 abc 中， c=90°， b=15 °，de 垂直平分ab ， e 为垂足交bc 于 d， bd=16cm ，求 ac 长优秀学习资料欢

17、迎下载2021 年 10 月中学数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共22 小题）1（ 2021.日照）问题背景：如图（ a），点 a 、b 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点c，使 ac 与 bc 的距离之和最小，我们可以作出点b 关于 l 的对称点b，连接 a b 与直线 l 交于点 c，就点 c 即为所求（ 1）实践运用：如图（ b），已知， o 的直径 cd 为 4，点 a 在 o 上， acd=30 °，b 为弧 ad的中点， p 为直径 cd 上一动点，就 bp+ap 的最小值为2（ 2）学问拓展：如图（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45

18、°， bac 的平分线交bc 于点 d ，e、f 分别是线段ad 和 ab 上的动点，求be+ef 的最小值，并写出解答过程考点 ：轴对称 -最短路线问题分析：（1）找点 a 或点 b 关于 cd 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和mn 的交点 p 就是所求作的位置依据题意先求出cae ，再依据勾股定理求出ae ，即可得出pa+pb 的最小值；（2）第一在斜边ac 上截取 ab =ab ，连结 bb ，再过点b作 bf ab ，垂足为f，交 ad 于 e，连结 be，就线段b f 的长即为所求解答：解：（ 1）作点 b 关于 cd 的对称点e，连接 ae 交 cd 于点 p

19、此时 pa+pb 最小，且等于ae 作直径 ac ，连接 ce依据垂径定理得弧bd= 弧 de acd=30 °， aod=60 °， doe=30 °， aoe=90 °， cae=45 °，又 ac 为圆的直径，aec =90 °， c= cae=45 °，ce=ae=ac =2，即 ap+bp 的最小值是2故答案为： 2；（2）如图，在斜边ac 上截取 ab =ab ，连结 bb ad 平分 bac ，点 b 与点 b关于直线 ad 对称过点 b 作 bf ab ，垂足为f，交 ad 于 e，连结 be，就线段 bf

20、的长即为所求 （点到直线的距离最短）优秀学习资料欢迎下载在 rt afb 中， bac=45 °， ab =ab=10 ，b f=ab s.in45°=ab .sin45°=10 ×=5，be+ef 的最小值为点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等学问，依据已知得出对应点p位置是解题关键2（ 2021.六盘水）（1）观看发觉如图（ 1）：如点 a 、b 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作点 b 关于直线m 的对称点b，连接 ab ，与直线m 的交点就是所求的点p，线段 ab 的长度即

21、为ap+bp 的最小值如图（ 2）：在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作点 b 关于 ad 的对称点，恰好与点c 重合，连接ce 交 ad 于一点，就这点就是所求的点p，故 bp+pe 的最小值为（ 2）实践运用如图（ 3）：已知 o 的直径 cd 为 2，的度数为 60°，点 b 是的中点，在直径cd 上作出点p，使 bp+ap的值最小，就bp+ap 的值最小，就bp+ap 的最小值为（ 3）拓展延长优秀学习资料欢迎下载如图（ 4）：点 p 是四边形 abcd 内一点，分别在边ab

22、、bc 上作出点m ，点 n ，使 pm+pn+mn的值最小，保留作图痕迹，不写作法考点 ：圆的综合题；轴对称-最短路线问题专题 ：压轴题分析：（1）观看发觉：利用作法得到ce 的长为 bp+pe 的最小值；由ab=2 ，点 e 是 ab 的中点，依据等边三角形的性质得到ce ab ， bce= bca=30 °， be=1 ，再依据含30 度的直角三角形三边的关系得ce=；（2）实践运用：过b 点作弦 be cd ，连结 ae 交 cd 于 p 点，连结 ob 、oe 、oa 、 pb，依据垂径定理得到cd 平分 be，即点 e 与点 b 关于 cd 对称，就ae 的长就是bp+a

23、p 的最小值；由于的度数为60°，点 b 是的中点得到boc=30 °，aoc=60 °，所以 aoe=60 °+30°=90°，于是可判定 oae 为等腰直角三角形，就ae=oa=；（3）拓展延长：分别作出点p 关于 ab 和 bc 的对称点 e 和 f，然后连结ef， ef 交 ab 于 m 、交 bc 于 n解答：解：（ 1）观看发觉如图（ 2），ce 的长为 bp+pe 的最小值，在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点ce ab ， bce= bca=30 °，be=1 ，ce=be=；故答案

24、为；（2）实践运用如图（ 3），过 b 点作弦 be cd ，连结 ae 交 cd 于 p 点，连结 ob 、oe、oa 、pb，be cd ，cd 平分 be，即点 e 与点 b 关于 cd 对称，的度数为60°，点 b 是的中点， boc=30 °， aoc=60 °， eoc=30 °， aoe=60 °+30 °=90 °，oa=oe=1 ，ae=oa=，ae 的长就是bp+ap 的最小值故答案为；（3）拓展延长如图（ 4）点评：此题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中常常用到

25、，同时娴熟把握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题优秀学习资料欢迎下载3（ 2021.凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们摸索课本中的探究题如图（ 1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向a 、b 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发觉什么规律？聪慧的小华通过独立摸索，很快得出明白决这个问题的正确方法他把管道l 看成一条直线（图（2） ，问题就转化为，要在直线l 上找一点p，使 ap 与 bp 的和最小他的做法是这样的： 作点 b 关于直线 l 的对称点 b 连接 ab 交直线 l 于点 p，就点 p 为所求请你参考小华的做法解决

26、以下问题如图在 abc 中，点 d 、e 分别是 ab 、ac 边的中点， bc=6 ， bc 边上的高为 4，请你在bc 边上确定一点p，使 pde 得周长最小（ 1）在图中作出点p（保留作图痕迹，不写作法）（ 2）请直接写出pde 周长的最小值：8考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：压轴题分析：（1）依据供应材料de 不变， 只要求出dp+pe 的最小值即可，作d 点关于 bc 的对称点d，连接 de，与 bc 交于点 p， p 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出de 的值，即可得出答案 解答：解：（ 1）作 d 点关于 bc 的对称点d，连接 de，与 bc 交于点 p，

27、p 点即为所求；（2）点 d 、e 分别是 ab 、ac 边的中点，de 为 abc 中位线，bc=6 ， bc 边上的高为4，de=3 ， dd =4，d e=5， pde 周长的最小值为：de+d e=3+5=8 ，故答案为： 8优秀学习资料欢迎下载点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的学问，依据已知得出要求 pde 周长的最小值，求出 dp+pe 的最小值即可是解题关键4（ 2021.淮安）（ 1）观看发觉：如（ a）图，如点a ， b 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作点b 关于直线l 的对称点b'，连接 ab

28、9; ，与直线 l 的交点就是所求的点p再如（ b）图，在等边三角形 abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点p，使 bp+pe 的值最小做法如下： 作点 b 关于 ad 的对称点， 恰好与点 c 重合， 连接 ce 交 ad 于一点， 就这点就是所求的点p，故 bp+pe的最小值为（ 2）实践运用：如（ c）图，已知 o 的直径 cd 为 4， aod 的度数为60°，点 b 是的中点，在直径cd 上找一点p，使 bp+ap的值最小，并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延长：如（ d）图，在四边形abcd 的对角线ac 上找一点 p，使 a

29、pb= apd 保留作图痕迹，不必写出作法考点 ：轴对称 -最短路线问题分析：（1）第一由等边三角形的性质知，ce ab ，在直角 bce 中， bec=90 °bc=2 ， be=1 ，由勾股定理可求出 ce 的长度，从而得出结果；（2）要在直径cd 上找一点 p，使 pa+pb 的值最小， 设 a 是 a 关于 cd 的对称点， 连接 a b ，与 cd的交点即为点p此时 pa+pb=a b 是最小值，可证 oa b 是等腰直角三角形，从而得出结果（3）画点 b 关于 ac 的对称点b ，延长 db 交 ac 于点 p就点 p 即为所求解答：解：（ 1） bp+pe 的最小值 =

30、（2）作点 a 关于 cd 的对称点a ，连接 a b，交 cd 于点 p，连接 oa ， aa ， ob 点 a 与 a 关于 cd 对称， aod 的度数为60°， a od= aod=60 °， pa=pa，点 b 是的中点， bod=30 °， a ob= a od+ bod=90 °，优秀学习资料欢迎下载 o 的直径 cd 为 4，oa=oa =2，a b=2pa+pb=pa +pb=a b=2（3）如图 d：第一过点b 作 bb ac 于 o，且 ob=ob ，连接 db 并延长交ac 于 p（由 ac 是 bb 的垂直平分线，可得apb=

31、apd ）点评：此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边5（ 2021.漳州）几何模型：条件：如下图，a 、b 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点p，使 pa+pb 的值最小方法：作点a 关于直线 l 的对称点a ，连接 a b 交 l 于点 p，就 pa+pb=a b 的值最小（不必证明） 模型应用：（ 1）如图 1，正方形 abcd的边长为2，e 为 ab 的中点， p 是 ac 上一动点连接bd ，由正方形对称性可知，b与 d 关于直线ac 对称连接ed 交 ac 于

32、 p，就 pb+pe 的最小值是；（ 2）如图 2， o 的半径为2，点 a 、b、c 在 o 上， oa ob ， aoc=60 °，p 是 ob 上一动点，求pa+pc 的最小值；（ 3）如图 3， aob=45 °， p 是 aob 内一点， po=10， q、r 分别是 oa 、ob 上的动点，求pqr 周长的最小值考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：压轴题；动点型分析：（1）由题意易得pb+pe=pd+pe=de ，在 ade 中，依据勾股定理求得即可；（2）作 a 关于 ob 的对称点a ，连接 a c，交 ob 于 p，求 a c 的长，即是pa+pc 的最

33、小值；（3）作出点 p 关于直线oa 的对称点m ，关于直线ob 的对称点n ，连接 mn ，它分别与oa ，ob的交点 q、r，这时三角形pef 的周长 =mn ，只要求mn 的长就行了解答：解：（ 1）四边形abcd 是正方形，ac 垂直平分bd ，pb=pd ，由题意易得： pb+pe=pd+pe=de ，在 ade 中，依据勾股定理得，de=；优秀学习资料欢迎下载（2）作 a 关于 ob 的对称点a ，连接 a c，交 ob 于 p，pa+pc 的最小值即为a c 的长， aoc=60 ° a oc=120 °作 od ac 于 d，就 a od=60 °

34、oa =oa=2a d=；（3）分别作点p 关于 oa 、ob 的对称点m 、n，连接 om 、on 、mn ， mn 交 oa 、ob 于点 q、 r，连接 pr、pq，此时 pqr 周长的最小值等于mn 由轴对称性质可得，om=on=op=10 ， moa= poa ， nob= pob， mon=2 aob=2 ×45°=90 °，在 rt mon 中， mn=10即 pqr 周长的最小值等于10点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关学问6（ 2006.湖州）如图，已知平面直角坐标系，a 、b 两点

35、的坐标分别为a （2， 3）， b（4， 1）（ 1）如 p（ p， 0）是 x 轴上的一个动点，就当p=时， pab 的周长最短；（ 2）如 c（ a， 0）， d（ a+3， 0）是 x 轴上的两个动点，就当a=时，四边形abdc的周长最短；（ 3）设 m ，n 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点m （m， 0）、n（ 0， n），使四边形abmn的周长最短？如存在，恳求出m=，n=（不必写解答过程） ；如不存在，请说明理由考点 ：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质专题 ：压轴题分析：（1）依据题意，设出并找到b（ 4， 1）关于 x 轴的对称点是b'，其

36、坐标为（ 4，1），进而可得直线 ab' 的解析式，进而可得答案；优秀学习资料欢迎下载（2）过 a 点作 ae x 轴于点 e，且延长ae ，取 a'e=ae 做点 f（ 1， 1），连接 a'f 利用两点间的线段最短，可知四边形abdc 的周长最短等于a'f+cd+ab ，从而确定c 点的坐标值（3）依据对称轴的性质，可得存在使四边形abmn周长最短的点m 、n，当且仅当m=，n=；时成立解答：解：（ 1）设点 b （4， 1）关于 x 轴的对称点是b'，其坐标为（4， 1），设直线 ab' 的解析式为y=kx+b ，把 a （ 2， 3），b

37、'（ 4， 1）代入得：，解得，y=2x 7，令 y=0 得 x=，即 p=（2）过 a 点作 ae x 轴于点 e，且延长ae ，取 a'e=ae 做点 f（ 1， 1），连接 a'f 那么 a'（2， 3）直线 a'f 的解析式为，即 y=4x 5，c 点的坐标为（ a， 0），且在直线a'f 上，a=（3）存在使四边形abmn周长最短的点m 、n，作 a 关于 y 轴的对称点a ，作 b 关于 x 轴的对称点b，连接 a b ，与 x 轴、 y 轴的交点即为点m 、 n，a （ 2， 3）， b（4， 1），直线 a b的解析式为： y=x

38、 ，m （， 0）， n（ 0，）m=， n=点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了依据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等学问优秀学习资料欢迎下载7（ 2007.庆阳）需要在高速大路旁边修建一个飞机场，使飞机场到a ，b 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：作图题分析：利用轴对称图形的性质可作点a 关于大路的对称点a ，连接 a b，与大路的交点就是点p 的位置解答：解：点 p 就是飞机场所在的位置（ 5 分）点评：此题主要是利用轴对称图形来求最短的距离用到的学问：两点之间线段最短8（ 2006.贵港）如下列图，在一笔直的

39、大路mn 的同一旁有两个新开发区a ， b ，已知 ab=10 千米，直线ab 与大路 mn 的夹角 aon=30 °，新开发区b 到大路 mn 的距离 bc=3 千米（ 1）新开发区a 到大路 mn 的距离为8；（ 2）现要在mn上某点 p 处向新开发区a ，b修两条大路pa，pb，使点 p 到新开发区a ，b 的距离之和最短此时 pa+pb=14（千米）考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：运算题；压轴题分析：（1）先求出ob 的长，从而得出oa 的长，再依据三角函数求得到大路的距离（2）依据切线的性质得ef=cd=bc=3 ，af=ae+ef=ae+bc=11，再依据余弦概念求

40、解解答：解：（ 1） bc=3 ， aoc=30 °，ob=6 过点 a 作 ae mn 于点 e， ao=ab+ob=16，ae=8 即新开发区a 到大路的距离为8 千米；（2）过 d 作 df ae 的延长线（点d 是点 b 关于 mn 的对称点），垂足为f 就 ef=cd=bc=3 ， af=ae+ef=ae+bc=11，过 b 作 bg ae 于 g，bg=df ，bg=ab .cos30°=5，优秀学习资料欢迎下载，连接 pb，就 pb=pd ，pa+pb=pa+pd=ad=14 （千米）点评：此题主要考查同学利用轴对称的性质来综合解三角形的才能9（ 2006.巴

41、中）如图：（ 1）如把图中小人平移，使点a 平移到点b ，请你在图中画出平移后的小人；（ 2）如图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l 上点 p 处喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点p 的位置考点 ：轴对称 -最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换专题 ：作图题分析：依据平移的规律找到点b，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点a 的对称点，连接 a 1b 与 l 相交于点p，即为所求解答：优秀学习资料欢迎下载解：点评：此题考查的是平移变换与最短线路问题最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求

42、出所求的点作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点； 确定图形中的关键点； 利用第一组对应点和平移的性质确定图中全部关键点的对应点； 按原图形次序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形10（ 2003.泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形abb 1a 1 的对称轴为y 轴（ 1）请画出：点a 、b 关于原点o 的对称点a 2、 b2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（ 2）连接 a 1a 2、 b1b2（其中 a2 、b 2 为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂直平分线段a 1a 2、b1b2；（ 3）设线

43、段 ab 两端点的坐标分别为a （ 2，4）、b（ 4，2），连接（ 1）中 a 2b2，试问在 x 轴上是否存在点c，使 a 1b 1c 与 a2b 2c 的周长之和最小？如存在，求出点c 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；如不存在， 请说明理由考点 ：作图 -轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题专题 ：作图题；证明题；压轴题；探究型分析：（1）依据中心对称的方法，找点a 2， b2，连接即可（2）设 a（ x1，y1）、b （x 2， y2）依题意与（ 1）可得 a 1（ x 1， y 1），b 1（ x2， y2）， a2（ x 1，y 1），b2（ x2， y2）

44、，得到 a 1、b1 关于 x 轴的对称点是a 2、b2，所以 x 轴垂直平分线段a1a 2、b1b 2（3）依据 a 1 与 a 2， b1 与 b2 均关于 x 轴对称，连接a 2b 1 交 x 轴于 c，点 c 为所求的点依据题意得 b 1（4， 2）， a 2（ 2， 4）优秀学习资料欢迎下载设直线 a 2b 1 的解析式为y=kx+b 就利用待定系数法解得，所以可求直线a 2b1 的解析式为 y=3x 10令 y=0 ，得 x=，所以 c 的坐标为（，0）即点 c（，0）能使 a 1b 1c 与 a2b2c的周长之和最小解答：解：（ 1）如图， a 2、b2 为所求的点（2）设 a（

45、 x1，y1）、b （x 2， y2）依题意与（ 1）可得 a 1（ x1， y 1）， b1（ x2，y 2）， a 2（ x1 ， y 1）， b2（ x 2， y2）a 1、b 1 关于 x 轴的对称点是a 2、b2，x 轴垂直平分线段a 1a 2、b1 b2（3）存在符合题意的c 点由（ 2）知 a 1 与 a 2， b1 与 b2 均关于 x 轴对称，连接 a 2b 1 交 x 轴于 c，点 c 为所求的点a （ 2， 4）， b（ 4， 2）依题意及（1）得： b1（ 4， 2）， a2（ 2， 4）设直线 a 2b 1 的解析式为y=kx+b 就有解得直线 a 2b 1 的解析式

46、为y=3x 10，令 y=0 ，得 x=，c 的坐标为（， 0）综上所述，点c（，0）能使 a 1b1c 与 a 2b 2c 的周长之和最小点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质要知道对称轴垂直平分对应点的连线会依据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键11（2001.宜昌）某大型农场拟在大路l 旁修建一个农产品贮存、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地a 、b 的水果集中进行贮存和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置c，使 a、 b 两地到加工厂 c 的运输路程之和最短 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）优秀学习

47、资料欢迎下载考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：作图题分析：作 a 关于直线l 的对称点e，连接 be 交直线 l 于 c，就 c 为所求解答：答：如图：点评：此题主要考查对轴对称最短路线的问题的懂得和把握，依据题意正确画出图形是解此题的关键，12（ 2021.淮安）阅读懂得如图 1， abc 中，沿 bac 的平分线 ab 1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿b1a 1c 的平分线a 1b2 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿bna nc 的平分线a nbn+1 折叠，点bn 与点 c 重合，无论折叠多少次，只要最终一 次恰好重合，bac 是 abc 的好角小丽展现了确定bac 是abc 的

48、好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形abc 顶角 bac 的平分线 ab 1 折叠， 点 b 与点 c 重合；情形二： 如图 3，沿 bac 的平分线ab 1 折叠， 剪掉重复部分； 将余下部分沿b 1a1c的平分线 a 1b2 折叠，此时点b1 与点 c 重合探究发觉（ 1） abc 中， b=2 c，经过两次折叠，bac 是不是 abc 的好角？是（填 “是”或“不是 ”）（ 2）小丽经过三次折叠发觉了bac 是 abc 的好角， 请探究 b 与 c（不妨设 b c）之间的等量关系 依据以上内容猜想：如经过n 次折叠 bac 是 abc 的好角，就 b 与 c（不妨设 b c）之间的

49、等量关系为 b=n c应用提升（ 3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、 60°、105°，发觉 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角 请你完成，假如一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角考点 ：翻折变换（折叠问题） 专题 ：压轴题；规律型分析：（1）在小丽展现的情形二中，如图3，依据依据三角形的外角定理、折叠的性质推知b=2 c；（2）依据折叠的性质、依据三角形的外角定理知a 1a 2b2= c+ a 2b2c=2 c； 依据四边形的外角定理知bac+2 b 2c=

50、180°，依据三角形abc 的内角和定理知bac+ b+ c=180 °，由 可以求得 b=3 c；利用数学归纳法，依据小丽展现的三种情形得出结论：b=n c；（3）利用（ 2）的结论知 b=n c， bac 是 abc 的好角， c=n a ， abc 是 abc 的好优秀学习资料欢迎下载角， a=n b， bca 是 abc 的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是 4、172； 8、168；16、160； 44、132； 88°、88°解答：解：（ 1） abc 中， b=2 c，经过两次折叠，bac 是 abc 的好角；理由如下：小丽展现的情形二中，如图3，沿 bac 的平分线ab 1 折叠， b= aa