第五节偏导数的应用

1、在几何上的应用在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面定义定义设设 m 是空间曲线是空间曲线 l 上的一个定点上的一个定点, m*是是 l 上的一个动点上的一个动点, 当当m* 沿曲线沿曲线 l 趋于趋于m 时时 , 割线割线mm* 的极限位置的极限位置 mt （如果极（如果极限存在）限存在） 称为曲线称为曲线 l 在在 m 处的切线处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程下面我们来导出空间曲线的切线方程。设空间曲线的方程。设空间曲线的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.且且导数不同时为零导数不同时为零;),(0000

2、ttzyxm 对应于对应于设设.),(0000*tttzzyyxxm 对应于对应于ozyxm*.m的的方方程程割割线线*mmzzzyyyxxx 000ozyxm*.m考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*时时即即当当tmm 曲线在曲线在m处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：过法平面：过 m0 点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.

3、0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即。空间曲线方程。空间曲线方程,)()( xzxy 取取 x 为参数为参数,),(000处处在在zyxm切线方程为切线方程为,)()(100000

4、xzzxyyxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(00000 zzxyyxxx 。空间曲线方程。空间曲线方程,0),(0),( zyxgzyxf切向量切向量 yxyxxzxzzyzyggffggffggfft,切线方程切线方程,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程为法平面方程为0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解2 2

5、将将所所给给方方程程的的两两边边对对x求求导导并并移移项项，得得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0) 1, 2, 1 ( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线。设曲面方程为。设曲面方程为0),( zyxf在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点m的曲线的曲线,)()()(: tztytx ntm曲线在曲线在m处的切向量处的切向量)

6、,(),(),(000tttt 令令),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 由由于于曲曲线线是是曲曲面面上上通通过过m的的任任意意一一条条曲曲线线，它它们们在在m的的切切线线都都与与同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通过过m的的一一切切曲曲线线在在点点m的的切切线线都都在在同同一一平平面面上上，这这个个平平面面称称为为曲曲面面在在点点m的的切切平平面面.则则,tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx 通通过过点点),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线

7、线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在曲面在m处的法向量即处的法向量即),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 。空间曲面方程形为。空间曲面方程形为),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxf 曲面在曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(000

8、0000 zzyxfyyyxfxxyx全微分的几何意义全微分的几何意义因为曲面在因为曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在点点),(000zyx处处的的切切平平面面上上的的点点的的竖竖坐坐标标的的增增量量. 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与并假定法向量的方向是向上的，

9、即使得它与z轴轴的正向所成的角的正向所成的角 是锐角， 则法向量的是锐角， 则法向量的方向余弦方向余弦为为 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例

10、 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解令令, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef切平面方程切平面方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx法线方程法线方程.001221 zyx例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面

11、方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx满足方程满足方程, 10 x所求切点为所求切点为),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 切平面方程切平面方程(1)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(2)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx例例6 在椭球面在椭球面 上求一点，上求一点，1222222 czbyax使它的法线与坐标轴正向成等角使它的法线与

12、坐标轴正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxf则则2222,2,2czfbyfaxfzyx 2020202,2,2czbyax注意到法线与坐标轴正向的夹角注意到法线与坐标轴正向的夹角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的点为所求的点为),(000zyxp的法线的方向向量为的法线的方向向量为 故椭球面上任一点故椭球面上任一点例例7设设 z = z ( x , y )由方程由方程0),( czbyczaxf确定，确定， 其中其中f (

13、u , v )可微可微证明证明 z = z ( x , y ) 表示锥面表示锥面 ),(0cbap记记),(000zyxp为曲面上一点为曲面上一点则连接则连接 pp0 的的直线的方程为直线的方程为tczczbybyaxax 000 )()()(000cztczbytbyaxtax时时当当0 t证证)()(,)()(0000ccztcbbytbccztcaaxtaf 0),(0000 czbyczaxf得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以 (a,b,c) 为顶点的锥面。为顶点的锥面。的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 多元函数极值多元函数

14、极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使

15、函数取得极值的点称为极值点. .处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz (1)处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz (2)处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .证证不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx

16、处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy，

17、 0),(000 zyxfz. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfx

18、y ),(00， cyxfyy ),(00，但但不不是是极极值值点点.则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac时具有极值，时具有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值， 当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论例例 1 1 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值 解解将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导

19、 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( p,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 故故 )2(0)2(122 zzacb,将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 a,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步

20、骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f ( x , y ) 在在d上连续，上连续，d内可微且在内可微且在d内至多有有限个驻点内至

21、多有有限个驻点,这时若这时若 f ( x , y ) 在在d内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值将函数在将函数在 d d 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 d d 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. .故一般方法是故一般方法是 在实际问题中，往往根据问题的性质就可在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以这时如果函数在

22、区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）值（最小值）例例 2 2 求二元函数求二元函数)4(),(2yxyxyxfz 在直线在直线6 yx，x轴和轴和y轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域d上的最大值与最小值上的最大值与最小值. 解解如图如图,先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxdd解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域d内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在d边边界界上上的的最最值值， 在

23、边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yx 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.例例 3 3 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. 解解由由, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,因为因为01lim2

24、2 yxyxyx即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxf ，其中其中 为某一常数，可由为某一常

25、数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法解决条件极值问题的一般方法是是lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z = f ( x , y

26、 )下下的的极极值值在在条条件件0),( yx 其几何意义是其几何意义是),(0),(:00yxyxl上求一点上求一点在曲线在曲线 ),(),(00yxfyxf 使使),(),(00yxfyxf 或或其中点其中点 ( x , y ) 在曲线在曲线 l 上上假定点假定点p (x0 , y0 ) 为条件极值点为条件极值点在在(x0 , y0 ) 的某个邻域内的某个邻域内 连续连续yx ,且不同时为且不同时为0f( x , y )可微可微0 y 不妨设不妨设0),( yx 于是于是确定了一个隐函数确定了一个隐函数y = y(x) 故故 z= f x , y(x)在在p(x0 , y0)处取得极值处取

27、得极值故故0 pdxdz即即0)(),(),(0000 xyyxfyxfyx又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxp 代入上式代入上式0),(),(),(),(000000 yxyxyxfyxfxyyoox 令令),(),(0000yxyxfyy 得得p (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为0),(0),(),(0),(),(0000000000 yxyxyxfyxyxfyyxx xyzoz=f(x,y)lm无条件极值点无条件极值点.p条件极值点条件极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxf ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为