2020年高考数学(理)二轮专项复习专题01集合与常用逻辑用语

1、专题01 集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支.有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确.不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用.关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的.§1集合【知识要点】1 .集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.2 .集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法 (韦 恩图)，一

2、些数集也可以用区间的形式表示.3 .两类不同的关系：(1)从属关系元素与集合间的关系；(2)包含关系一一两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况 ).4 .集合的三种运算：交集、并集、补集.【复习要求】1 .对于给定的集合能认识它表示什么集合.在中学常见的集合有两类：数集和点集.2 .能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系.3 .掌握集合的交、并、补运算.能使用韦恩图表达集合的关系及运算.4 .把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等.【例题分析】例1给出下列六个关系：(1)0C N*(2)0 1, 1(3) C05 4)0(5)0 C0, 1(6)0

3、0其中正确的关系是.【答案】(2)(4)(6)【评析】1.熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N表示自然数集；N+或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集.2 .明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：aCA；如果a不是集合A的元素，记作：a A.3 .明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合 B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.记作：A B或B A.如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于 A,那么，集合 A叫做集 合B的真子集.A,B或BA.4 .子集的性质：任何集合都是它本身的子集：A A;

4、空集是任何集合的子集：A;提示：空集是任何非空集合的真子集.传递性：如果 A B, B C,则A C;如果AfB, B/C,则勺C.例2已知全集U= 小于10的正整数,其子集A, B满足条件CuA) n&uB)=1 , 9, AAB=2, BA CuA) = 4 , 6, 8.求集合 A, B.【答案】A=2, 3, 5, 7, B = 2, 4, 6, 8.【解析】根据已知条件，得到如图1 1所示的韦恩图，图1 1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3, 5, 7.故 A=2 , 3, 5, 7, B=2 , 4, 6, 8.【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合 A、B,由既

5、属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集.记作：AAB.对于两个给定的集合 A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集.记作：AUB.如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集.记作CuA.2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的且“、或“、非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题.例3 设集合M=x | 1a<2, N = x | xv a.若MAN=,则实数a的取值范围是.【答案】(8, 1.【评析】本题可以通过数轴

6、进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的 值.象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具.例 4 设 a, b R,b 一集合1,a b,a 0,-,b,则 b-a=ab _b、一【解析】因为1,a b,a 0,b,所以a+b = 0或a=0(舍去，否则一没有意义), aa所以，a+b=0, = 1,所以一1 C 1 , a+ b, a, a= 1,a结合 a+b=0, b=1,所以 b a = 2.练习1 1一、选择题1 .给出下列关系： -R ;J2 Q;| 3 | N*;| J3| Q .其中正确命题 2的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42 .下列各

7、式中，A与B表示同一集合的是()(A)A=(1 , 2), B=(2, 1)(B)A=1, 2, B = 2, 1(C)A=0 , B=(D)A=y | y=x2+1, B=x | y = x2 + 13 .已知 M = (x, y) | x>0 且 y>0, N = (x, y) | xy>0,则 M, N 的关系是()(A) M5N(B) N M(C)M = N(D)MAN =4 .已知全集 U=N,集合A=x| x=2n, nC N, B=x|x= 4n, n C N,则下式中正确的关系是()(A)U=AUB、填空题(B)U= fuA)U B(C) U = AU

8、69; uB)(D)U = G uA) U g uB)5 .已知集合 A=x | xv 1 或 2 立<3 , B = x | 2a< 4,则 AUB=.6 .设 M=1 , 2 , N = 1 , 2, 3, P=c | c=a+ b, a M, b C N,则集合 P 中元素的个 数为.7 .设全集 U = R, A= x | x<- 3 或 x>2 B= x | 1<x< 5,则 C uA) PB =.8 .设集合 S=ao,ai,a2,a3,在S上定义运算为：aiaj=ak,其中k为i + j被4除的余数，i, j = 0, 1, 2, 3.则 a2

9、 a3 =；满足关系式(x x) a2=a。的 x(xCS) 的个数为.三、解答题9 .设集合 A=1, 2, B = 1, 2, 3, C=2, 3, 4,求(AAB)UC.10 .设全集U = 小于10的自然数，集合A, B满足AAB=2 , uA) CB = 4 , 6, 8, f uA) n£uB)=1 , 9,求集合 A 和 B.11 .已知集合 A=x | 2虫w 4 B = x | x>a,AABw ,求实数a的取值范围；A AB济，求实数a的取值范围；AABw ,且AABA,求实数a的取值范围.§12常用逻辑用语【知识要点】1 .命题是可以判断真假的语

10、句.2 .逻辑联结词有 或“且“非”.不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻 辑联结词构成的命题叫做复合命题.可以利用真值表判断复合命题的真假.a真1真假假q真假真假户且q直假假3 .命题的四种形式原命题：若p则q.逆命题：若q则p.否命题：若p,则 q.逆否命题：若 q,则 p.注意区别 命题的否定”与 否命题”这两个不同的概念.原命题与逆否命题、逆命题 与否命题是等价关系.4 .充要条件如果p q,则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件.如果p q且q p,即q p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件.5 .全称量词与存在量词【复习要求】1 .理解命题的概念.了解 若

11、p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分 析四种命题的相互关系.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2 . 了解逻辑联结词 或“、且"、非”的含义.3 .理解全称量词与存在量词的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【例题分析】例1分别写出由下列命题构成的pvq" p'入q” “p”形式的复合命题，并判断它们的真假.(1)p： 0C N, q： 1 N ;(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分.【解析】(1)pV q： 0CN,或1 N;p/q：0CN,且 1 N; p： 0 N.因为p真，q假，所以pVq为真，pAq

12、为假，p为假.(2)pV q：平行四边形的对角线相等或相互平分.pAq：平行四边形的对角线相等且相互平分.p：存在平行四边形对角线不相等.因为p假，q真，所以pVq为真，pAq为假， p为真.【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表.例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.若 a2+b2= 0,则 ab=0；(2)若 APB = A,则 A筝 B.【解析】(1)逆命题：若ab=0,则a2+b2=0;是假命题.否命题：若a2+b2wQ则abw&是假命题.逆否命题：若abwo,则a2+b2w&是真命题.(2)逆命题：若 A军B,则AAB = A;是真命题.否

13、命题：若A AB抽，则A不是B的真子集；是真命题.逆否命题：若 A不是B的真子集，则 A AB+.是假命题.【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题.例3指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件.(1)p： (x2)(x3)= 0; q： x=2;(2)p： a>2 q： aw。【解析】由定义知，若 p q且q%p,则p是q的充分不必要条件；若p/q且q p,则p是q的必要不充分条件；若p q且q p, p与q互为充要条件.于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件.(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条

14、件.【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了.例 4 设集合 M= x | x>2 , N = x | xv 3,那么 XC M 或 xC N”是 XC M 02的()(A)充分非必要条件(C)充要条件(B)必要非充分条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p： xC M或xC N,即为xC R；条件q： xC M AN,即为xC R | 2vxv3.又R,xC R | 2<x< 3,且xC R | 2< x< 3 R,所以p是q的必要非充分条件，选B.【评析】当条件p和q以集合的形式

15、表现时， 可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合 A,满足条件q的元素构成集合 B,若A B且与A,则p是q的充分非必要条件；若 A军B且B A,则p是q的必要非充分条件；若 A=B,则p与q互为充要条件.例5 命题 对任意的xCR, x3x2+1W0的否定是()(A)不存在 xC R, x3- x2+ 1<Q(B)存在 xCR, x3-x2+ KO(C)存在 xC R, x3-x2+1 >0(D)对任意的 xC R, x3-x2+ 1>0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题.其否定为存在xCR, x3-x2 +1 >0.答：

16、选C.【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定.练习1 2一、选择题1 .下列四个命题中的真命题为 ()(A) xC Z, 1<4x< 3(C) xC R, x2- 1 = 02 .如果p或q"与 非p”都是真命题，那么(A) q 一定是真命题(C) p不一定是假命题3 .已知a为正数，则 a>b”是b为负数”的(A)充分不必要条件(C)充要条件4 . A是B的子集”可以用下列数学语言表达：(B) xC Z, 3x- 1= 0(D) x C R , x2 + 2x+ 2 > 0)(B) q不一定是真命题

17、(D) p与q的真假相同)(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件若对任意的xCA xCB,则称A B”.那么A不是B的子集”可用数学语言表达为()(A)若 xCA但x B,则称A不是B的子集(B)若 xCA但x B,则称A不是B的子集(C)若 x A但xC B,则称A不是B的子集(D)若 x A但xCB,则称A不是B的子集二、填空题5 . “ p是真命题”是pVq是假命题的" 条件.6 .命题 若xv 1,则| x | > 1”的逆否命题为 .7 .已知集合 A, B是全集U的子集，则 A B”是EuB CuA”的 条件.8 .设A、B为两个集合，下列四个命题：A, B

18、对任意xC A,有x BA里BAAB=A生B0BA里B存在xC A,使得x B其中真命题的序号是.(把符合要求的命题序号都填上 )三、解答题9 .判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3) xCx| xCZ, log2x>0;21c(4) x R,x x 0.410.已知实数a, bC R,试写出命题：a2+b2=0,则ab=0”的逆命题，否命题，逆否命题,并判断四个命题的真假，说明判断的理由.习题1、选择题1 .命题 若x是正数，则x= I x "的否命题是()(A)若x是正数，则xw|

19、 x |(B)若x不是正数，则x= | x |(C)若x是负数，则xw| x |(D)若x不是正数，则xw| x|2 .若集合M、N、P是全集U的子集，则图中阴影部分表示的集合是(A)( MAN) UP(C)(M AN) U (CuP)一，13 .a- ”是对任意的正数8(A)充分不必要条件(B)( M AN) CP(D)( m nN) nRuP)x,2x - 1”的()x(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4 .已知集合 P = 1 , 4, 9, 16, 25,若定义运算 “&满足： 若aCP, bC P,则a&bCP”，则运算“&'

20、可以是()(A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5 .已知a, b, c满足cvbva,且acv0,那么下列选项中不一定 成立的是()(A)ab>ac(B)c(ba)<0(C) cb2< ab2(D)ac(a c)< 0二、填空题6 .若全集 U = 0, 1, 2, 3且CuA=2,则集合 A =.7 .命题“ xC A,但x AU B”的否定是.8 .已知 A= -2, -1,0, 1 , B=y | y= | x | , xC A,贝U B =.9,已知集合 A=x | x2-3x+2<0 , B=x| xv a,若 A： B,则实数 a的取值范围是10.

21、设a, b是两个实数，给出下列条件： a+b>1; a+b=2; a+b>2;a2+b2>2；ab>1,其中能推出a, b中至少有一个大于1"的条件是.(写出所有正确条件的序号)三、解答题 一一 1-11 .解不等式一2. x12 .若 0vavb 且 a+ b=1.(1)求b的取值范围；(2)试判断b与a2+b2的大小.13 .设a巾，解关于x的不等式：a2x+b2(1 x)为X+b(1 x)2.“一， 1n14 .设数集A满足条件：A R;0 A且1 A;若aCA,则 A.1 a(1)若2CA,则A中至少有多少个元素；(2)证明：A中不可能只有一个元素.专

22、题01集合与常用逻辑用语参考答案、选择题1. B 2. B 3. A 4. C提示：4 .集合A表示非负偶数集，集合 B表示能被4整除的自然数集，所以正奇数筝GuB）,从而 U = AU （CuB）.二、填空题5 . x | x<46, 4 个 7. x | - 1Vx28. ai; 2 个（x 为 ai 或 a3）.三、解答题9 . （AAB）U C = 1 , 2, 3, 410 .分析：画如图所示的韦恩图：得A=0, 2, 3, 5, 7, B = 2, 4, 6, 8.A B11 .答： a<4; aA 2;2Qv4提示：画数轴分析，注意 a可否取到 临界值”.练习1 2一

23、、选择题1. D 2, A3. B 4, B二、填空题5 .必要不充分条件6.若| x | <1,则xA 17.充要条件 8.提示：8 .因为A B,即对任意xCA,有x C B.根据逻辑知识知， AJ B,即为.另外，也可以通过文氏图来判断.三、解答题9 .答：（1）全称命题，真命题.（2）特称命题，真命题.（3）特称命题，真命题；（4）全称命题，真命题.10 .略解：答：逆命题：若 ab= 0,则a2+b2 = 0;是假命题；例如 a=0, b= 1否命题：若a2+b2wq则abw&是假命题；例如 a=0, b= 1 逆否命题：若 abwo,则a2 + b2wq是真命题；因为若 a2+b2=0,则a=b=0,所以ab =0,即原命题是真命题，所以其逆否命