第五章大数定律及中心极限定理(2015)

1、2015年考研概率统计强化讲义第五章 大数定律及中心极限定理一考研内容提要1Chebyshev不等式2大数定律（1）依概率收敛； （2）Chebyshev大数定律（即经验平均依概率收敛于理论平均）；（3）Bernoulli大数定律（即频率依概率收敛于概率）；（4）辛钦大数定律（即在该条件下仍有经验平均依概率收敛于理论平均）。3中心极限定理（1）独立同分布中心极限定理：设是独立同分布的随机变量序列，则随机变量的分布函数，有应用：当充分大时，近似地服从以它的均值为均值，它的方差为方差的正态分布，即正态分布。（2）拉普拉斯中心极限定理：设表示重Bernoulli试验中事件出现次数，是事件一次试验出现

2、的概率，即，则随机变量的分布函数，有应用：，设，当充分大时，则近似地服从以它的均值为均值，它的方差为方差的正态分布，即正态分布。二考研题型解析1选择题例1 设随机变量独立同分布，其分布函数为，则辛钦大数定律对此序列（ ）。(A)适用 (B)当常数取适当数值时适用 (C)不适用 (D)无法判别解 应选(C) 。因为，故辛钦大数定理不适用。例2 设为相互独立的随机变量，且均服从参数为的指数分布，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 解 应选(C)。例3 设为相互独立的随机变量，且均服从参数为的泊松分布，则（ ）。(A)当充分大时，近似服从 (B) 当充分大时，近似服从(C) 当充分大时，近似服

3、从 (D) 当充分大时，近似服从解 应选(A)。例4 设随机变量相互独立，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要（ ）。(A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差(C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布解 应选(C) 。例5 设为相互独立同分布的随机变量，则下列选项不正确的是（ ）(A)当充分大时，近似服从 (B) 当充分大时，近似服从(C) 当充分大时，近似服从 (D) 解 应选（A）。2填空题例1 设是随机变量，则由Chebyshev不等式 。解 应填。例2 设为相互独立同分布的随机变量，设，写出所满足的Chebyshev不等式 ，并估计 。解 应填，

4、。，于是所满足的Chebyshev不等式为，例3 设是随机变量，则Chebyshev不等式，有 。解 应填。3解答题例1 检查员逐个地检查某种产品，每次花10秒钟检查一个产品，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10秒钟，假定每个产品需要重复检查的概率为，求在8小时内检查员检查的产品多于1900个地概率。解 设表示检查第个产品所需要的时间，则相互独立同分布，为检查1900个产品所需要的总时间。由题设且，从而由中心极限定理知，近似地服从正态分布，故所求的概率为。例2 随机地掷6颗骰子，利用Chebyshev不等式估计“6颗骰子出现点数之和在15点到27点之间”的概率。解 设表示“6颗骰子所出现

5、的点数和”，表示“第颗出现的的点数”，则，且相互独立同分布，其分布律为，故于是，由Chebyshev不等式得。例3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均中50千克，标准差5千克，若用最大载重量为5吨的汽车去承运，试利用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977（）解 设是装运的第箱的重量（单位：千克），是所求的箱数，由题设是相互独立同分布的随机变量，而箱的总重量为又，所以由中心极限定理，近似的服从正态分布，从而取决于条件由此可见，从而，即最多可装98箱。例4 在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元的保险费，在一年内这些人死亡的概率为0.006，死后家属可向保险公司领取1000元的赔偿，试求（i）保险公司年利润不少于60000元的概率；（ii）保险公司亏本的概率。解 设表示“100