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1、矢量分析矢量分析矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加减法 几何作图法（平行四边形法则，三角形法则） 标量乘矢量第1页/共33页矢量分析矢量分析 3.矢量的标积（点积，点乘）矢量的标积（点积，点乘）任何两个矢量的标量积是个标量满足交换律 分配律 若 则 与 正交第2页/共33页矢量分析矢量分析矢量的矢积（叉积，叉乘）矢量的矢积（叉积，叉乘） 任何两个矢量的矢量积是个矢量 表示由 ， 确定平面的法向。 ABABna第3页/共33页矢量分析矢量分析在直角坐标系下 不服从交换率 服从分配率 可作为判断平行的条件 =0 或第4页/共33页矢量分析矢量分析 5.矢量的混合运算 6.单位矢量第5页/共33

2、页矢量分析矢量分析 1.三种常用坐标系下的矢量场三种常用坐标系下的矢量场 1.直角坐标系直角坐标系(rectangular coordinate system) 用x,y,z表示, ,变化范围： 单位矢量 : : 相互正交 长度单元: : 矢量 表示为：xyz, ,dx dy dzCartesian coordinate system第6页/共33页2 2. .柱坐标柱坐标 cylindrical coordinate system 用 表示, ,变化范围： 单位矢量: : 相互正交 矢量 表示为： 矢量分析矢量分析xyzzr, ,rz(0,02 ,)rz 第7页/共33页矢量分析矢量分析 长

3、度单元: :,rzdldr dlrddldzcos ,sin ,xryrzz221,yrxytgx第8页/共33页矢量分析矢量分析 3.球坐标系球坐标系 spherical coordinate system 用 表示，变化范围： 单位矢量： 相互正交 矢量 表示为：zyxMr, ,r (0,0,02 )r 第9页/共33页矢量分析矢量分析 长度单元： 为过该点球面法向； 为过该点向 增大的方向； 为过该点平行xy平面指向 增大的方向。,sinrdldr dlrddlrd a第10页/共33页矢量分析矢量分析sincos ,sinsin ,cos ,xryrzr2222211,xyyrxyzt

4、gtgzx第11页/共33页矢量分析矢量分析1.给定三个矢量 如下：求（1） （2） （3） （4） （5） 和 2.证明两个矢量 和 是相互平行的。, ,A B C第12页/共33页标量、矢量与场标量、矢量与场标量：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如温度T、电荷密度。矢量:要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度 ，电场强度场：如果在空间域上，每一点都存在一确定的物理量A，我们就说：场域上存在由场量A构成的场。如果A是标量，我们称场域上存在一标量场；同理如果 是矢量，则说明场域 上存在一矢量场。 场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间统一点上同时允许存在多种场，或者一种

5、场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。 第13页/共33页方向导数方向导数 1.标量场的方向导数标量场的方向导数 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)，图 1-2 方向导数的定义 )()(0MM 第14页/共33页方向导数方向导数)()(lim000MMlMMM 的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l

6、方向的方向导数必定存在，且为 0coscoscosMlxyz第15页/共33页标量场的梯度 2. 标量场的梯度标量场的梯度 在直角坐标系中，令 式中 分别是l与 轴的夹角， 记为标量函数的梯度coscoscoscos( ,)lxyzxyzlllaaaaGaaaxyzG aG aG almaxGlG第16页/共33页 标量场的梯度标量场的梯度（gradient）标量函数的梯度 -哈密顿算符，矢性的微分算符。 在直角坐标系下： 梯度的物理意义：在给定点处，梯度的方向表示最大方向导数的方向，其模值为最大方向导数的数值，它在任一方向的投影就是该方向的方向导数。 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标的函数

7、。 梯度的旋度恒等于零。第17页/共33页常用梯度公式常用梯度公式2()()()1( )()( )( )cuc uuvuvuvu vv uuv uu vvvf uf uu 第18页/共33页矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 3 .矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS， 即是面元法线方向的单位矢量。 将曲面S各面元上的 相加，它表示矢量场 穿过整个曲面S的通量，也称为矢量 在曲面S上的面积分： 如果曲面是一个封闭曲面，则dSndsnSSA dSA ndSSA dSAAA dS第19页/共33页第20页/共33页矢量场的通量和散度

8、矢量场的通量和散度 4. .矢量场的散度矢量场的散度 称此极限为矢量场 在某点的散度，记为 ，即散度的定义式为0limSVA dSV AdivA0limSVA dSdivAV 第21页/共33页矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 4.散度散度（divergence） 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积， 即 散度在直角坐标中的计算公式divyxzAAAAAxyz divAA ()xyzxxyyzzyxzAaaaA aA aA axyzAAAxyz第22页/共33页矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度散度的意义与性质散度的意义与性质 矢量场中某点的散度表示矢量场在该点通量源（

9、散度源）的强度，给出了散度源于矢量场各分量的空间变化率的关系。 高斯定理高斯定理矢量函数的面积分与体积分的互换。该公式表明了区域V V 中场 与边界S S上的场 之间的关系。SVA dSAdV AA第23页/共33页矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即coscWF dlFdlcosccA dlAdl第24页/共33页矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 5.矢量场的旋度矢量场的旋度0limcSA dlS max0limcSA dlrotAnS 第25页/共33页矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 旋度旋

10、度（rotation） 1.矢量场的旋度矢量场的旋度 在直角坐标系下rotAA rotxyzxyzaaaAxyzAAA第26页/共33页矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 2. .旋度的意义和性质旋度的意义和性质 对于矢量场对于矢量场 ，在给定点，在给定点 的的方向为该点最大环量的方向，方向为该点最大环量的方向， 的模为最的模为最大环量的数值。大环量的数值。 矢量场表示矢量场的空间变化率，该矢量场表示矢量场的空间变化率，该变化率就等于引起矢量场的旋度源。变化率就等于引起矢量场的旋度源。AAAA第27页/共33页矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度2()()()()0()ABABAAAA BB

11、AABAAA 02 为拉普拉斯算符0A 2第28页/共33页矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 3.斯托克斯公式：斯托克斯公式： 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线l上的环量等于闭合曲线l所包围曲面S上旋度的总和， 即 ()SlA dlAdS第29页/共33页矢量分析矢量分析4、散度与旋度对比、散度与旋度对比（1）都是描述矢量场在空间的变化都是描述矢量场在空间的变化（2）旋度是矢量，散度是标量。旋度是矢量，散度是标量。（3）旋度表示场点和旋涡源的关系；旋度表示场点和旋涡源的关系； 散度表示场点和通量源的关系。散度表示场点和通量源的关系。（4）旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律；旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律； 散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。第30页/共33页矢量分析矢量分析 5.5.无源场与无散场无源场与无散场 矢量场的源：散度源，旋度源矢量场的源：散度源，旋度源 仅由散度源产生的场仅由散度源产生的场 仅由旋度源产生的场仅由旋度源产生的场SVlSA d SAd VA d lAd S ,0,0lSEA dlBAA dS第31页/共33页 6.6.亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理： 空间有限区域空间有限区域 内任一矢量场可由