江苏省2012届高考数学二轮复习教学案：第3讲　基本初等函数 (2)

1、基本初等函数1. 掌握指数函数的概念、图象和性质2. 理解对数函数的概念、图象和性质3. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质1. 函数yloga(x2)1(a>0，a1)的图象经过的定点坐标为_2.函数ylg(x22x)的定义域是_. 3.函数yax(a>0，a1)在R上为单调递减函数，关于x的不等式a2x2ax3>0的解集为_4.定义：区间x1，x2(x1<x2)的长度为x2x1.已知函数y|log0.5x|定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度的最大值为_【例1】函数f(x)(a

2、，b，cZ)是奇函数，且f(1)2，f(2)<3.(1) 求a，b，c的值；(2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性【例2】已知函数f(x)2x.(1) 若f(x)2，求x的值；(2) 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围【例3】已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b<1)，在区间2,3上有最大值4，最小值1，设f(x).(1) 求a，b的值；(2) 不等式f(2x)k·2x0在x1,1上恒成立，求实数k的取值范围；(3) 方程f(|2x1|)k0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围【例4】(2011·盐城二模)已知函数

3、f(x)是定义在R上的奇函数，其值域为.(1) 试求实数a、b的值；(2) 函数yg(x)(xR)满足：当x0,3)时，g(x)f(x)；g(x3)g(x)lnm(m1) 求函数g(x)在x3,9)上的解析式； 若函数g(x)在x0，)上的值域是闭区间，试探求实数m的取值范围，并说明理由1. (2011·广东)设函数f(x)x3cosx1.若f(a)11，则f(a)_.2.(2011·江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_3.(2011·辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是_4.(2011·山东)已知函数f(x)logaxx

4、b(a>0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.5.(2009·山东)已知函数f(x)xa(2lnx)(a>0)，讨论f(x)的单调性6.(2011·陕西)设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1) 求g(x)的单调区间和最小值；(2) 讨论g(x)与g的大小关系；(3) 求实数a的取值范围，使得g(a)g(x)对任意x0成立(2011·常州模考)(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)(1ax)ex，函数g(x)，令函数F(x)f(x)·g(x)(1) 若a1，求函数f(x)的极小值；(2)

5、 当a时，解不等式F(x)1；(3) 当a0时，求函数F(x)的单调区间解：(1) 当a1时，f(x)(1x)ex.则f(x)(x2)ex.令f(x)0，得x2.(1分)列表如下：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(2) 当x2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)e2.(3分)(2) 当a时，F(x)ex，定义域为x|x2，xR F(x)ex(ex)0， F(x)在(，2)及(2，)上均为减函数(5分) 当x(，2)时，F(x)0， x(，2)时，F(x)1. 当x(2，)时，F(0)1， 由F(x)1F(0)，得x0.综上所述，不等式F(x)1的解集为(，2)(0，)(7

6、分)(3) 函数F(x)ex，定义域为.当a0时，F(x)exex.令F(x)0，得x2.(9分) 当2a10，即a时，F(x)0. 当a时，函数F(x)的单调减区间为.(11分) 当a0时，解x2得x1，x2. ， 令F(x)0，得x，x，x(x2，)；令F(x)0，得x(x1，x2)(13分) 当a0时，函数F(x)的单调减区间为；函数F(x)单调增区间为.(15分) 当2a10，即a时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(，2)(2，)(16分)第3讲基本初等函数1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m>0)在区

7、间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.【答案】8解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)，对f(x)是奇函数，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.2. 已知函数f(x)x3(k2k1)x25x2，g

8、(x)k2x2kx1，其中kR.(1) 设函数p(x)f(x)g(x)若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；(2) 设函数q(x)是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2x1)，使得q(x2)q(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解： (1)因p(x)f(x)g(x)x3(k1)x2(k5)x1，p(x)3x22(k1)x(k5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p(x)0在(0,3)上有实数解，且无重根，由p(x)0得k(2x1)(3x22x5)， k，令t2x1，有t(1,7)，记h(t)t，则h(t)在(1,3上单调递减，在

9、3,7)上单调递增，所以有h(t)6,10，于是(2x1)6,10)，得k(5，2，而当k2时有p(x)0在(0,3)上有两个相等的实根x1，故舍去，所以k(5，2)(2) 当x0时，有q(x)f(x)3x22(k2k1)x5；当x0时，有q(x)g(x)2k2xk，因为当k0时不合题意，因此k0，下面讨论k0的情形，记A(k，)，B(5，)，当x10时，q(x)在(0，)上单调递增，所以要使q(x2)q(x1)成立，只能x20且AB，因此有k5，当x10时，q(x)在(，0)上单调递减，所以要使q(x2)q(x1)成立，只能x20且BA，因此k5，综合k5；当k5时AB，则x10，q(x1)

10、BA，即x20，使得q(x2)q(x1)成立，因为q(x)在(0，)上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理，x10，即存在唯一的非零实数x2(x2x1)，使q(x2)q(x1)成立，所以k5满足题意基础训练1. (1,1)2. x|x0或x23. (，loga3)解析：由题知0a1，不等式a2x2ax30可化为(ax3)(ax1)0，ax3，xloga3.4. 解析：由函数y|log0.5x|得x1，y0；x4或x时y2,4.例题选讲例1解：(1)函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立， c0，又由f(1)2，f(2)3得 0b，bZ b1，a1.(2) f(x)x，函数在(，1)上递增

11、，在(1,0)上递减变式训练已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围解： (1) 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即0b1, f(x)，又由f(1) f(1)知a2.经检验符合题意， a2，b1.(2) (解法1)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t22tk2t2.即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式412

12、k0k.(解法2)由(1)知f(x).又由题设条件得：0，即：(22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)0，整理得23t22tk1，因底数21，故： 3t22tk0对一切tR均成立，从而判别式412k0k.例2解：(1)当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x，由条件可知2x2，即22x2·2x10，解得2x1±， x0， xlog2(1)(2) 当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1), 22t10， m(22t1) t1,2， (22t1)17，5故m的取值范围是5，)变式训练设函数f(x)ax满足条件：当x(，0)时，f(x)

13、1.当x(0,1时，不等式f(3mx1)f(1mxx2)f(m2)恒成立，求实数m的取值范围解： 由已知得0a1，由f(3mx1)f(1mxx2)f(m2)，x(0,1恒成立在x(0,1上恒成立整理，当x(0,1时，恒成立当x1时，恒成立，则m.当x(0,1)时，恒成立， 在(0,1)上单调减， ， m.又 (x1)2，在x(0,1)上是减函数， 1. m恒成立m1，当x(0,1)时，恒成立m.综上，使x(0,1时，f(3mx1)f(1mxx2)f(m2)恒成立，实数m的取值范围是.例3解：(1) g(x)a(x1)21ba，当a0时，g(x)在2,3上为增函数，故当a<0时，g(x)在

14、2,3上为减函数故 b1 a1，b0即g(x)x22x1.f(x)x2.(2) 方程f(2x)k·2x0化为2x2k·2x，122k，令t，kt22t1， x1,1， t.记(t)t22t1， (t)min0， k0.(3)由f(|2x1|)k0得|2x1|(23k)0，|2x1|2(23k)|2x1|(12k)0，|2x1|0，令|2x1|t, 则方程化为t2(23k)t(12k)0(t0)， 方程|2x1|(23k)0有三个不同的实数解， 由t|2x1|的图象(如右图)知，t2(23k)t(12k)0有两个根t1、t2，且0t11t2或0t11，t21，记(t)t2(2

15、3k)t(12k)，则或 k0.例4解：(1) 由函数f(x)定义域为R， b0.又f(x)为奇函数，则f(x)f(x)对xR恒成立，得a0.因为yf(x)的定义域为R，所以方程yx2xby0在R上有解当y0时，由0，得y，而f(x)的值域为，所以，解得b4；当y0时，得x0，可知b4符合题意所以b4.(2) 因为当x0,3)时，g(x)f(x)，所以当x3,6)时，g(x)g(x3)lnm；当x6,9)时，g(x)g(x6)(lnm)2，故g(x) 因为当x0,3)时，g(x)在x2处取得最大值为，在x0处取得最小值为0，所以当3nx3n3(n0，nZ)时，g(x)分别在x3n2和x3n处取

16、得最值与0.() 当|lnm|1时，g(6n2)的值趋向无穷大，从而g(x)的值域不为闭区间；() 当lnm1时，由g(x3)g(x)得g(x)是以3为周期的函数，从而g(x)的值域为闭区间；() 当lnm1时，由g(x3)g(x)得g(x6)g(x)，得g(x)是以6为周期的函数，且当x3,6)时g(x)值域为，从而g(x)的值域为闭区间；() 当0lnm1时，由g(3n2)，得g(x)的值域为闭区间；() 当1lnm0时，由g(3n2)，从而g(x)的值域为闭区间；综上知，当m(1，e，即0lnm1或1lnm0时，g(x)的值域为闭区间高考回顾1. 92. 3. 0，)解析：0x1或x1，

17、综上x0.4. 2解析：(解法1) 方程logaxxb0(a0，a1)的根为x0，即函数ylogax(2a3)的图象与函数ybx(3b4)的交点横坐标为x0，且x0(n，n1)，nN*，结合图象，因为当xa(2a3)时，ylogax(2a3)图象上点的纵坐标为1，对应直线上点的纵坐标为yba(0,2)， x0(2,3)，n2.(解法2) f(2)loga22b0，f(3)loga33b0，而f(x)在(0，)上单调增， x0(2,3)，n2.5. 解：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的根判别式a28. 当a280，即0a2时，对一切x0都有f(x)0，此时f(x)在(0，)上是增函数 当a280，即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0，此时f(x)在(0，)上也是增函数 当a280，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增此时f(x)在上单调递增， 在上是单调递减， 在上单调递增6. 解：(1) 由题设知f(x)lnx，g(x)lnx， g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)是减函数，故(0,1)是g(x)的单调减区间当x(1，)时，