高等数学课件：7-4向量的概念和运算

1、三、向量及向量运算的坐标表示三、向量及向量运算的坐标表示 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的运算二、向量的运算 7.4 7.4 向量的概念和运算向量的概念和运算 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.模长为模长为1的向量的向量. .向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念零向量：零向量：模长为模长为0的向量的向量. . 0零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的向径：向径：起点在坐标原点的向量起点在坐标原点的向量. . 12aM M 或

2、或 1M2M12aM M 或或 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. . 可以平行移动可以平行移动. .负向量：负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a a相等向量：相等向量：ab大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .平行向量：平行向量：方向相同或者相反的两个向量（方向相同或者相反的两个向量（共线共线）. .ba/向量共面：向量共面：零向量可认为与任何向量平行零向量可认为与任何向量平行. .(3).kkkk 设设有有 个个向向量量，当当把把它它们们的的起起点点放放在在同同一一点点时时，如如果果 个个终终点点和和公公共共起起点点

3、在在同同一一个个平平面面上上，则则称称这这 个个向向量量共共面面, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间两向量的夹角空间两向量的夹角OAB当当 时，称时，称 规定零向量与任意向量垂直规定零向量与任意向量垂直.2 非零向量与三条坐标轴正方向的夹角称为非零向量与三条坐标轴正方向的夹角称为方向角方向角. .方向角与方向余

4、弦方向角与方向余弦非零向量非零向量 的的方向角方向角：a方向角的余弦称为向量的方向角的余弦称为向量的方向余弦方向余弦. .方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . 、 、xyzo 1M 2M 0 ，0 ，0. 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若abac分为同向和反向分为同向和反向ac（三角形法则）（三角形法则）二、向量的运算二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法abcbbcab cab 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：(1) 交换律：交换律：.abba (2) 结合律：结合律：cbacba )(

5、).(cba (3) abcba cba bc (4) . 0)( aa0.aa 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2. 向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式.abab OAB对对空空间间中中任任意意三三点点 ， ， ，都都有有 ABOBOA ABAOOB OBAO OBOA , 0)1( , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，a2a21 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法aaa aa 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除

6、以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个一个与原向量同方向的单位向量与原向量同方向的单位向量.0aa a 0.aaa (1) 结合律：结合律：)()(aa a)( (2) 分配律：分配律：aaa )(baba )(0.ababa 设设向向量量，则则向向量量 平平行行 的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数 ，使使定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系向量与数的乘积符合下列运算规律：向量与数的乘积符合下列运算规律：证证明明 (1) 充充分分性性：00b 当当时时，；0baa 当当时时，与与 同同向向；0baa 当当时时，与与 反反向向. .(2)

7、 必必要要性性：00b 当当时时，令令；ba 如如果果 与与 同同向向，00ba 则则0bb b 因因此此 0b a 0abaa baa ba 令令 = =；00baba 如如果果 与与 反反向向，则则0bb b 因因此此 0b a 0abaa baa .ba 令令 = =- -(3) 唯唯一一性性：baba 设设，且且，0aa 则则 ()a 0a 0aa 由由于于 为为非非零零向向量量， 0 ，. 即即 例例1解解.252ba 135().25baabb 化化简简 135()25baabb 5(13)( 11)2ab 例例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分

8、的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.AD与与 平行且相等，平行且相等，BC结论得证结论得证.ABCDMab证明证明 AMMC BMMD AD AMMD MCBM BMMC BC 例例3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形边中点的连线构成平行四边形.ABCDEFGH证明证明EFHG 只只须须证证 EF EBBF 1122ABBC 12AC HG HDDG 1122ADDC 12AC 与与 平行且相等，平行且相等，结论得证结论得证.EF HG 思考题思考题ABCDMab已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用

9、表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba, ACa BDb ，解解DCAB 1().2ab AMMB AMBM BCAD 1().2ab AMMD 4. 两向量的数量积两向量的数量积实例实例cosWF s (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示 两向量作这样的运算，两向量作这样的运算， 结果是一个数结果是一个数.定义定义cosa ba b ab 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：2(1).a aa 证明证明0 ，cosa aa a 2.a (2)0a b .ab 证明证明0cos0a ba b 00cos0

10、ab 或或或或.ab (3) ( , )arccos( ,0)a ba ba ba b 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：(1) 交换律交换律：(2) 分配律分配律：;)(cbcacba (3) 结合律：结合律：;abba ()()(),ababa b () ()().aba b 向量在轴上的投影向量在轴上的投影 uOe.Oeu 设设点点 及及单单位位向向量量 确确定定 轴轴rOMrMuuMMMu 任任给给向向量量 ，作作，在在过过点点作作与与 轴轴垂垂直直的的平平面面，交交 轴轴于于点点 （点点称称为为点点在在 轴轴上上的的投投影影点点），OMru 则则向向量量称称为为向向量量

11、 在在 轴轴上上的的分分向向量量（或或投投影影向向量量），r MM OMeru 设设，则则称称数数 为为向向量量在在 轴轴上上的的投投影影，Pr.uj r 记记作作 向量投影的性质向量投影的性质性质性质1 0Praaa baj b 若若，则则 性质性质2 .PrPr)(Prbjajbajuuu 性质性质3 性质性质4Prcos.uj aaau ，其其中中 为为向向量量 与与 轴轴的的夹夹角角Pr()Pr.uujaj a 0Prbba bbj a 若若，则则Prba bj ab ；Pr.aa bj ba 证明证明例例4()() a c bb c ac ()()a c b cb c a c ()(

12、)()()a c b cb c a c 0 ()() a c bb c ac 解解例例523321( , )PrPr.3BAAabBababa bA Bj Bj A 设设， 求求，(23 ) (3)A Babab 232333aaa bbab b 22673aa bb cos( , )a ba ba b1 28 PrAj B A BB A BA A 2837 PrBj A A BA A BB B 2831 实例实例5. 两向量的向量积两向量的向量积LFPQO MOQ F sinOP F .MOPF 的的方方向向垂垂直直于于与与 所所决决定定的的平平面面，指指向向符符合合右右手手规规则则定义定义

13、向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.abc sinca b 关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0 ba(1)0.a a abc 证明证明0 ，sina aa a 0. ba)2(/证明证明000ab 或或或或或或a b /0.ab sin0a b 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：(1) 反交换律：反交换律：(2) 分配律：分配律：.)(cbcacba (3) 结合律：结合律：).()()(bababa abbac 向量积的几何意义：向量积的几何意义：.a bb a abab 表表示示以以 和和 为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积. .例例6

14、设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量边的高线向量.abaabu解解u 设设高高线线为为 ，则则a bau uba ua 垂垂直直于于 ，0u a ()baa 即即 0b aa a 2a ba 2.b aubaa 解解sin( , )m nm nm n 4 2 18 ，(,)0m n p ()cosm npm np 8 324. 6. 向量的混合积向量的混合积定义定义关于混合积的说明：关于混合积的说明：(1) 混合积的几何意义：混合积的几何意义：acbba )2(cbacba )(acb )(.)(bac (轮换对称性

15、轮换对称性). 0 cba 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例8解解() () ()abbcca ()a ba cb bb cca x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点O空间直角坐标系空间直角坐标系三、向量及向量运算的坐标表示三、向量及向量运算的坐标表示1. 向量的坐标表示向量的坐标表示.ijk 在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，沿沿三三个个坐坐标标轴轴方方向向各各取取一一个个单单位位向向量量， 以以 ， ，表表示示，称称为为

16、基基本本单单位位向向量量i j k ),(zyxM xyzorMOMr 任任给给向向量量 ，对对应应有有点点，使使，r )0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxCrOM OPPAAM OPOQOR ，OPxiOQyjORzk 设设， ， ，则则. kzj yi xOMr OAAM .kzj yi xOMr .rxiyjzkr 上上式式称称为为向向量量 的的坐坐标标分分解解式式，、 、称称为为向向量量 沿沿三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分向向量量Mrxyz 点点、向向量量 与与三三个个有有序序数数 、 、 之之间间有有一

17、一一一对对应应关关系系( , , ).MrOMxiyjzkx y z 有序数有序数 x 、y 、z 称为称为向量向量 r 的坐标的坐标,( , , )rx y z 记记作作；.rOMM 向向径径的的坐坐标标表表示示式式与与其其终终点点的的坐坐标标一一致致),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2. 向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示)(kajaiazyx zzyyxxba

18、bababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式xyzxyzaa ia ja kbb ib jb k 设设 ，a b ()xyzb ib jb kijk ，0ijj kk i ，1ijk ，1.i ijjk k ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式xyzxyzaa ia ja kbb ib jb k 设设 ，0iijjkk，ijk， jki，kij，jik ，kji ，.ikj 向量积还可用三阶行列式表

19、示向量积还可用三阶行列式表示( 行列式计算见行列式计算见 P305P306 ) xyzxyzijkabaaabbb kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式xyzxyzxyzaa ia ja kbb ib jb kcc ic jc k 设设 ， ，()abcabc yzxyxzxyzxzyzxyaaaaaacccbbbbbbxyzxyzxyzaaabbbccc 3. 其它坐标表示其它坐标表示),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ab 0a .xxyyzzababab，000.xyzaaa，aa a 222xyzaaa( ,

20、)arccosa ba ba b 222222arccos.xxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 2220 xyzaaa 当当 时时，coscos( , )a i a ia i 222xxyzaaaa ，222coscos( , )yxyzaa ja ja jaaa ，222coscos( , )zxyzaa ka ka kaaa ，特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为0aaa (cos ,cos ,cos ) /ab yzxxyzbbbaaa ab 0 xxyyzza ba ba

21、 b (,).yzxaaaaaa , ,a b c 共共面面0 xyzxyzxyzaaabbbccc M1M2oxyz起点不在原点的起点不在原点的向量的坐标向量的坐标等于等于终点终点坐标减去坐标减去起点起点坐标坐标例例9解解1111222212(,)(,).Mxy zMxy zM M 设设已已知知，求求的的坐坐标标表表达达式式1212OMOMM M 作作三三个个向向量量，如如图图11112222(,)(,)OMxy zOMxy z ，1221M MOMOM 212121(,).xxyy zz例例10解解(2, 1,7)(8,9, 12)34.AaABABB 从从点点沿沿向向量量的的方方向向取取

22、线线段段，使使，求求 点点的的坐坐标标( , , )B x y z设设点点，ABka ，(2,1,7)ABxyz 则则34ABk a ，222891217a 而而，2(2,1,7)2(8,9, 12)kxyz， ，(18,17, 17).B点点坐坐标标为为ABMxyzo例例11解解111222(,)(,)(1).A xy zB xy zABMAMMB 设设已已知知两两点点和和以以及及实实数数，在在直直线线上上求求一一点点，使使得得( , , )M x y zAB设设为为直直线线上上的的点点，111(,)AMxxyyzz ，222(,)MBxxyyzz ，由题意知：由题意知：AMMB 11122

23、2(,)(,)xxyyzzxxyyzz 12()xxxx 121xxx ，12()yyyy 121yyy ，12()zzzz 121zzz ，121212.222xxyyzzxyz，解解cab xyzxyzijkaaabbb 324112ijk 105jk，221055 5c ，0ccc 21()55jk 21(0,).55 解解ABCD三角形三角形ABC的面积为的面积为(0,4, 3)AC ，(4, 5,0)AB ，12SABAC 14502043ijk 22211512162252 ，12SACBD 2214( 3)2BD 52BD 5.BD内容小结内容小结(,)(,)(,)xyzxyzxyzaaaabb b bccc c 设设 ，1. 向量运算向量运算加减：加减：(,)xxyyzzabababab 数乘：数乘：(,)xyzaaaa 点积：点积：xxyyzza ba ba ba b 叉积：叉积：xyzxyzijkabaaabbb 混合积：混合积：()abcabc xyzxyzxyzaaabbbccc 2. 向量关系向量关系/ab yzxxyzbbbaaa 0ab ab 0 xxyyzza ba ba b 0a b , ,a b c 共共面面0 xyzxyzxyzaaabbbccc0abc 思考与练习