曲线积分与曲面积分知识点

1、名师总结优秀知识点第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解， 把对坐标的曲面积分化成二重积分， 利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。三、三、内容提要1 1 曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分nf ( x, y) dslimf ( i ,i ) Si（存在时）L0 i0Si 表示第 i 个小弧段的长度， （ i ,i ）是 Si 上的任一点小弧段的最大长度。实际意义：当 f(x,y) 表示 L 的线密度时，f ( x, y)ds 表示 L 的质量；当

2、f(x,y)1 时， dsLL表示 L 的弧长，当 f(x,y) 表示位于 L 上的柱面在点（ x,y ）处的高时，f ( x, y)dsL表示此柱面的面积。（2）（2）第二类曲线积分nPdxQdylim P(i , i )xiQ( i , i ) yi ( 存在时 )L0 i 1实际意义：设变力 F =P(x,y) i+Q(x,y)j 将质点从点 A 沿曲线 L 移动到 B 点，则 F 作的功为：WF dSPdxQdy ，其中 dS =（ dx,dy ）事实上，LL是 F 在沿 X 轴方向及 Y 轴方向所作的功。（3）（3）第一类曲面积分nf (x, y, z)dslimf ( i , i

3、, i ) Si(存在时 )0i 1Pdx ，Qdy 分别LLSi 表示第 i 个小块曲面的面积， （ i , i ,i）为Si 上的任一点，是 n 块小曲面的最大直径。实际意义：当 f(x,y ， z)表示曲面上点（ x,y,z）处的面密度时，f (x, y, z) ds 表示曲面的质量，当f(x,y,z)1 时，ds表示曲面的面积。（4）（4）第二类曲面积分nPdydzQdzdxRdxdylimP( i,i , i )(Si ) yz Q ( i , i ,i )(Si ) zxR( i , i , i )( Si ) xy0i 1（存在时）其中 (Si ) yz ， (Si ) zx ，

4、 (Si ) xy分别表示将任意分为 n 块小曲面后第I 块 Si在 yoz面， zox 面， xoy 面上的投影， dydz，dzdx，dxdy 分别表示这三种投影元素;（ i ,i ,i ）为Si 上的任一点，是 n 块小曲面的最大直径。实际意义：ik 为通过曲面设变力，+Q(x,y,z) j + R(x,y,z)的流体（稳定V ( x, y, z) =P(x,y z)名师总结优秀知识点流动且不可压缩）在上的点（ x,y,z）处的速度。则VdSPdydzQdzdxRdxdy表示在单位时间内从的一侧流向指定的另一侧的流量。2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（ 1） （1）

5、 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（ 2） （2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（ 3） （3） 代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关PdxQdyPdxQdyLLPdydzQdzdx Rdxdy=Pdydz Qdzdx Rdxdy3、曲线（面）积分的计算（1）（1）曲线积分的计算a、 a、 依据积分曲线L 的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、 b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2）（2）曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a将积分曲面投

6、向使投影面积非零的坐标面b 将 的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。C 将 ds 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、 2、 第二类曲面积分的计算a将积分曲面投向指定的坐标面b 同 1c 依 的指定的侧决定二重积分前的“ +”或“ -”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（1）格林公式PdxQdy( QP )dxdyLDxy其中 P、Q 在闭区域D 上有一阶连续偏导数， L 是 D 的正向边界曲线。若闭区域D 为复连通闭区域，P、 Q 在 D 上有一阶连续偏导数，则n(QP )dxdy =PdxQdyDxyiLi1其中 Li（

7、 =1 ， 2 n）均是 D 的正向边界曲线。（2）（2）高斯公式Pdydz QdzdxRdxdy =( QPR ）dxdydzxyz其中 P、Q、 R 在闭区域上有一阶连续偏导数，是 Q 的边界曲面的外侧（3）（3）斯托克斯公式dydz dzdxdxdy=PdxQdyRdzxyzPQR其中 P、Q、R 在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，是以为名师总结优秀知识点边界的分片光滑曲面，的正向与的侧向符合右手规则。5、平面上曲线积分与路径无关的条件设 P、 Q 在开单连同区域 G 内有一阶连续偏导数， A 、 B 为 G 内任意两点，则以下命题等价：（1）PdxQdy 与路径 L 无关L

8、 AB（2）对于 G 内任意闭曲线L,PdxQdy0L(3) QP在G内处处成立x y（ 4）在 G 内， Pdx+Qdy 为某函数 U(x,y) 的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向量A( x, y, z) =P(x,y ， z) i +Q(x,y,z)j + R(x,y,z) k则通量（或流量）=A nds其中n =（cos, cos, cos）为上点（ x,y,z）处的单位法向量。散度divAQPR 对坐标的曲面积分与的形状无关的充要条件是散=+xyz度为零。ijk旋度rot AxyzPQR环流量向量场 A 沿有向闭曲线的环流量为PdxQdyRdz=A t ds四、四、难点解析本章中

9、对S 在 xoy 面上的投影（S) xy 为() xy , cos0（S) xy =() xy , cos00, cos0其中 cos为有向曲面S 上各点处的法向量与Z 轴的夹角余弦。 () xy 为 S在 xoy上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂， 但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。 比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负

10、数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、五、典型例题例 1、计算 Ix 2dsx2 y2 z2 R2：圆周xyz 0解：由轮换对成性，得名师总结优秀知识点Ix2 ds= y 2 ds Iz2 ds= 1x 2y 2z2 ds = 1 R2 ds = 2R3333例 2、设 L ： x2y2a2D,计算y 3x3为成平面区域Ldxdy3333aydxxdy(x 2y 2 )dxdy =42 d2rdr =a4解：（格林公式）rL33D002例 3、求z2 dxdy，其中为曲面 x2y 2z2a2 的外侧。解法一、 将分为上半球面1 ： za2x 2y 2 和下半球面2 ：

11、 za2x 2y 2a 2x2y 2 dxdya2x 2y 2 dxdy012x2 y2 a 2x2 y 2 a2解法二、利用高斯公式z2 dxdy =(002z) ） dxdydz=0（对称性）x2y 2z2a2例 4、求曲线 y= x2 , y22x 及 y 2x 所围成的图形的面积。解：求曲线的交点B(1， 1)， C( 32 , 34)法一、定积分法则所求面积为12y234y211 = 1A= ( y)dy +0( y)dy =022663法二、二重积分法设所给曲线围成的闭区域为D. 则A= d =1 y23 4y1y23 4y210y2 dx +0dy y2 dx = ( y2)dy

12、 +( y)dy =D2202023法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲线为L ，则A=xdy =xdyxdyxdy =12dy +340y 2dyyy dy + 32LO BBCCO01412+（21=33） =33例 5、计算Lydxxdy ， L ：从点 A(-R,0)到点 B(R,0) 的上半圆周 x2y 2R 2 。解：法一用曲线积分与路径无关因为Q1P 在 xoy 面上恒成立，且Q 及P 在 xoy 面上连续，所以曲线积分xyxyydxxdy 与路径无关。L于是ydxxdy =ydxxdy =R0dx =0ABLR法二、用曲线积分与路径无关，则ydxxdy =0（其中 C(

13、0,R) ）ACB A法三、用曲线积分与路径无关，则ydxxdy =( R,0)ydxxdy =(R ,0)( R,0)(d (xy) = xy(R,0) =0LR,0 )R,0)法四、用格林公式因为QP 且Q 及P 在闭曲线 ACBA 上围成的闭区域D 上连续。故由格林公式xyxy得名师总结优秀知识点ydxxdy =(QP ) dxdy =0ACB ADxy于是ydxxdy =0ydxxdy =0LBA法五、用定积分计算，则L 的参数方程为xRcos ， L 的起点 A 对应与，综点对应于0，于是yRsinydxxdy0(R sin ) RcosR cos dR 20= R sin=cos2

14、 d=LR2 1sin 2 0 =02例六、计算对坐标的曲面积分( y z)dydz ( z x)dzdx( xy)dxdy 其中是 z2x22zh) 的下侧y（0解：设1 为平面 Z=h 被锥面 z2x2y 2 所围成部分的上侧。则( yz)dydz( zx) dzdx( xy)dxdy =( QPR ) dxdydz1xyz= (0 0 0) ） dxdydz=0又( y z)dydz ( zx)dzdx ( x y)dxdy = (xy)dxdy = ( x y)dxdy =011Dxy所以原式 =0-0=011六曲线积分与曲面积分自测题一、一、填空： （ 45 分）1、(x 2 y c

15、osx 2xysin xy 2 ex ) dx( x 2 sin x 2 yex )dyL222其中 L 为正向星形线 x 3y 3a 3 (a0)2、 L 为 xoy 面内直线 x=a 上的一段，则P(x y)dxL3、设 A=( x2yz)i +( y2xz) j + ( z2xy)k ，则 div A =4、( xy2z)dydz(3yz)dzdx( z3)dxdy =其中：平面 x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧。二、二、选择题（45分）1、 1、 设 A =P(x,y)i +Q(x,y)j ，（ x,y ）D,且 P、 Q 在区域 D 内具有一阶连续

16、偏导数，又 L ： AB 是 D 内任一曲线，则以下4 个命题中，错误的是A若Pdx Qdy 与路径无关，则在 D 内必有QPxyLB若A ds 与 路 径 无 关 ， 则 在D 内必有单值函数u(x,y) ， 使 得Ldu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC若在D内 QP ，则必有A ds 与路径无关xyL名师总结优秀知识点D若对 D 内有一必曲线C，恒有PdxQdy0，则Pdx Qdy 与路径无关L2、 2、 已知 ( xay)dxydy 为某函数的全微分，则a 等于(xy) 2A- 1;B0;C1;D2;3、 3、 设曲线积分Lxy2 dxy( x) dy 与路径无关，其中(

17、 x) 具有连续得到数，且(1,1)y( x) dyxy 2 dx(x) =0 ，则 (0,0 )等于A3;B1;C3D1;82;44、设空间区域由曲面 za 2x2y 2 平面 z=0 围成，其中 a 为正常数，记的表面外侧为 S,的体积为 V，则x 2 yz2 dydzxy2 z2 dzdxz(1xyz)dxdyA0;BV;C2V;D3V;三、三、计算（ 610）x 2 ds ,其中x2 y2z2R21、 1、 计算 I=为圆周：xyz02、 2、 计算曲线积分ydxxdy其中 L 为圆周(x1)2y22 ， L 的方向为逆2(x22,y)时针方向。3、 3、 计算( x 2y)dx ( xsin 2y)dy, 其中 L 是在圆周2xx 2上点（