新北师大版中考数学动点(教师版)

1、学习必备欢迎下载动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 .关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想 函数思想 方程思想数形结合思想 转化思想中考数学（动点问题）考试分析200920102011动点个数两个一个两个特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边抛物线中特殊直角梯形底边问题背景上移动上移动探究相似三角形探究三角形面积函探究等腰三角形考查难点数关系式菱形性质求直线解析式求抛物线顶点坐标考特殊角三角函数四边形面积的表探究平行四边形求直线、抛物线解析式示探究动三角

2、形面积是定值点相似三角形动三角形面积函探究等腰三角形存在性不等式数矩形性质菱形是含 60°的特殊菱形；观察图形构造特直角梯形是特殊的（一底 AOB是底角为 30°的等腰三角征适当割补表示面角是 45°）特形。积点动带动线动一个动点速度是参数字母。动点按到拐点时线动中的特殊性（两个交探究相似三角形时，按对应角间分段分类点 D、 E 是定点；动线段 PF不同分类讨论； 先画图，再探究。画出矩形必备条长度是定值， PF=OA）点通过相似三角形过度，转化相件的图形探究其存通过相似三角形过度，转似比得出方程。在性化相似比得出方程。利用 a、t 范围，运用不等式求探究等腰三角

3、形时，先画出 a、t 的值。图，再探究（按边相等分类讨论）共特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；同探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；点探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。学习必备欢迎下载典型例题（历年真题）一、三角形边上动点1、如图，在 ABC中， AB=AC，BC=acm， B=30°动点 P 以 1cm/s 的速度从点 B 出发，沿折线 BAC 运动到点 C时停止运动设点 P 出发 x s 时， PBC的面积为 y cm2已知 y 与 x 的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断 DOE的形状，

4、并说明理由；（2）当 a 为何值时， DOE与 ABC相似？考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）首先作 DFOE于 F，由 AB=AC，点 PP以 1cm/s 的速度运动，可得点 P 在边 AB和AC上的运动时间相同，即可得点 F 是 OE的中点，即可证得 DF是 OE的垂直平分线，可得 DOE是等腰三角形；（2）设 D（3 a , 3 a2 ），由 DO=DE，AB=AC，可得当且仅当 DOE=ABC时， DOE ABC，3 12然后由三角函数的性质，即可求得当a= 4 3 时， DOE ABC3解答：解：（1） DOE是等腰三角形作 DFOE于 F，A

5、B=AC，点 PP以 1cm/s 的速度运动，点 P 在边 AB和 AC上的运动时间相同，点 F 是 OE的中点，DF是 OE的垂直平分线，DO=DE，DOE是等腰三角形（2）由题意得： D（3 a,3 a2 ），312DO=DE，AB=AC，当且仅当 DOE=ABC时， DOE ABC，在 RtDOF中， tan DOF=yD1 a ，xD4由 1a=tan30 ° =3 ，得 a = 43 ，4334 3当 a=时， DOE ABC点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用2

6、、（2011? 郴州）如图， Rt ABC中， A=30°， BC=10cm，点 Q在线段 BC上从 B 向 C运动，点 P 在线段 BA上从 B 向 A 运动 Q、 P 两点同时出发，运动的速度相同，当点 Q到达点 C时，两点都停止运动作 PMPQ交 CA于点 M，过点 P 分别作 BC、CA的垂线，垂足分别为 E、 F（1）求证： PQE PMF；（2）当点 P、Q运动时，请猜想线段PM与 MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；学习必备欢迎下载（3）设 BP=x， PEM的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，当 x 为何值时， y 有最大值，并将这个值求出来考点：相似三

7、角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；解直角三角形。分析：（1）由 EPF= QPM=90°，利用互余关系证明PQE PMF；（2）相等运动速度相等，时间相同，则 BP=BQ， B=60°， BPQ为等边三角形，可推出MPA=A=30°，等角对等边；（3）由面积公式得S PEM= PE× PF，解直角三角形分别表示PE， PF，列出函数式，利用函数的性质求解解答：证明：（1） PEBC，PFAC，C=90°， PEQ=PFM=90°， EPF=90°，即 EPQ+ QPF=90

8、°，又 FPM+QPF=QPM=90°， EPQ=FPM， PQE PMF；（2）相等PB=BQ， B=60°， BPQ为等边三角形， BQP=60°， PQE PMF， PMF=BQP=60°，又 A+APM= PMF， APM=A=30°，PM=MA；（3）AB=20，BP=x，则 AP=20x，PE=xcos30°=x，PF=（ 20x）?，SPEM= PE×PF， y= ? x?= （20x x2 ）=（ x 10）2 +（0x10）当 x=10 时，函数的最大值为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等

9、边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系、（2011成都，10分）如图，已知线段 ABCD，AD与 BC相交于点 K，E 是线段 AD上一320动点（1）若 BK 5 KC，求 CD 的值；2AB（ ）连接 BE，若 BE平分 ABC，则当 AE 1 AD时，猜想线段 A B CD三者之间有怎样22B CAE 1 AD（ n ），而其余条件不变的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当2n时，线段 AB，BC，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明学习必备欢迎下载考点：相似三角形的判定与性质；

10、角平分线的性质。专题：计算题；几何动点问题。分析：（1）由已知得 CK2 ，由 CDAB可证 KCD KBA，利用 CDCK 求值；BK5ABBK（2）AB BCC 作 ABD的中位线，由中位线定理得EFABCD，可知 G为 BC的中点，D由平行线及角平分线性质，得 GEB EBA GBE，则 EGBG 1 BC，而 GF 1 CD， EF221 AB，利用 EFEG GF求线段 ABBCCD三者之间的数量关系；2当 AE 1 AD（n ）时， EGBG 1BC，而 GF 1 CD， EF n 1 AB，EFEGGF可得 BC2nnnnCD（ n 1）AB解答：解：（1） BK 5 KC， C

11、K2 ，EGBG 1BC，而 GF 1CD，EF 1AB，2BK5222又 CDAB，EFEG GF， ABBCCD； KCD KBA， CDCK2 ；ABBK51（2）当 BE 平分 ABC，AEAD 时， ABBCCD证明：取 BD的中点为 F，连接 EF 交 BC与 G 点，由中位线定理， 得 EFABCD，G为 BC的中点， GEB EBA，又 EBA GBE， GEB GBE，当 AE 1 AD（n2）时， BC CD（ n1） nAB二、特殊四边形边上动点1、（2011? 株洲， 23，）如图，矩形 ABCD中，点 P 是线段 AD上一动点， O为 BD的中点， PO 的延长线交

12、BC于 Q（1）求证： OP=OQ；（2）若 AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米 / 秒的速度向 D 运动（不与 D重合）设点 P 运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD的长；并求 t 为何值时，四边形 PBQD是菱形考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质。专题：证明题；动点型。分析：（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD BC， PDO=QBO，再根据 O 为 BD2 的等边 DEF，学习必备欢迎下载的中点得出 POD QOB，即可证出 OP=OQ（2）本题需先根据已知条件得出 A 的度数，再根据 AD=8

13、厘米， AB=6厘米，得出 BD和 OD 的长，再根据四边形 PBQD是菱形时，证出 ODP ADB，即可求出 t 的值，判断出四边形PBQD是菱形解答：（1）证明：四边形 ABCD是矩形，OD=5cmAD BC当四边形 PBQD是菱形时， PQBD， PDO=QBO，又 OB=OD， POD=QOB POD= A， POD QOB又 ODP= ADB ODP ADB，OP=OQ ODAD ，即58，（2）PD=8tPDBD8 t10四边形 ABCD是矩形，解得 t=7 ，即运动时间为7 秒时，四边形 A=90°，44AD=8cm，AB=6cm，PBQD是菱形BD=10cm，点评：本

14、题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键2、（2011 天水， 26）在梯形 OABC中， CB OA， AOC=60°， OAB=90°， OC=2，BC=4，以点 O 为原点， OA 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为DE 在 x 轴上（如图（ 1），如果让 DEF以每秒 1 个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点 D与点 A 重合，当点 D到达坐标原点时运动停止D运动时间为 t ， D 与梯形ABC重叠部分的面积为 ，求S关于 t 的函数关（1）设 EFEFOS系式D 运动过程中，如果射线D交经过、C

15、、B 三点的抛物线于点 ，是否存（2）探究：在EFA 的面积与梯形FOG在这样的时刻t ，使得ABC的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存O GO在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）根据 F 与 B 重合前后及 E 与 A 重合前后，分三种情况求S 关于 t 的函数关系式；（2）依题意得D（ t ， ），求出直线C解析式，根据 D C 确定直线D解析式，再由40OF OF点横坐标，A 的面积与梯形ABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求GO GDO代入直线解析式求 t ，判断是否符号 t 的取值范围即可FA ，解答：解：（1）依题意得 O =5当 2 t 5 时，

16、s=3 ；当 0t 1 时， s=3 t 2，（2）不存在2依题意，得C（ ，3 ），B（ ，3 ），抛物3 3 （ t ）15当1t 2时，s=2 线对称轴为 x=3，2=抛物线与 x 轴两交点坐标为（，），（，2O00630），23 t 3 ，设抛物线解析式为y ax（x ），t +2=62学习必备欢迎下载将 C点坐标代入， 得 a= 3 ，y= 3 x解得 h= 93 ，555（x ） 3 x26 3 x，6 =+5 5由 C点坐标可知，直线 OC解析式为 y= 3 x，DFOC，设直线 DF 解析式为 y= 3 x+k，将 D（4t ，0）代入得 k=3 （t 4），直线 D：y=3

17、x+3（t ），F4A的A 边上高为h，由OAG梯形 OABC，设O GOS =S得1 ×5×h= 1×（ 4+5）×3 ，22将y=93代入 y 3 x（x ）中，得 x=35=65±32，F（332 ， 93 ）或（ 3+32 ， 93 ），55分别代入直线 DF：y= 3 x+3 （t 4）中，得 t =14 +32或1432 ，55但 0 t 5，不存在三、直线上动点1、（20XX年山东省东营市， 24，12 分）如图所示，四边形 OABC是矩形，点 A、C的坐标分别为（ -3 ，0），（ 0， 1），点 D是线段 BC 上的动点（与端

18、点 B、C 不重合），过点 D作直线 y1 x b 交折线 OAB于点 E2（1）记 ODE的面积为 S，求 S 与 b 的函数关系式；1若矩形 OABC关于直线 DE的对称图形为四边（2）当点 E 在线段 0A 上时，且 tan DEC=2形 O1A1B1C1，试探究四边形 O1A1 B1C1 与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由考点：一次函数综合题专题：综合题分析：（ 1）要表示出 ODE的面积，要分两种情况讨论，如果点 E 在 OA边上，只需求出这个三角形的底边 OE长（ E 点横坐标）和高（ D 点纵坐标），代入三角形面积公式即

19、可；如果点 E 在 AB边上，这时 ODE的面积可用长方形 OABC的面积减去 OCD、OAE、BDE的学习必备欢迎下载面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA边上的线段长度是否变化解答：解：（1）四边形 OABC是矩形，点 A、C的坐标分别为（ -3 ，0），（ 0， 1），B（-3 ，1），若直线经过点 A（ -3 ，0）时，则 b= 3 ，2若直线经过点 B（ -3 ，1）时，则 b= 5 ，2若直线经过点 C（ 0， 1）时，则 b=1，若直线与折线OAB的交点在 OA上时，即 13b，如

20、图 1，2此时 E（ 2b，0），S= 1 OE? CO= 1 ×2b× 1=b；22若直线与折线OAB的交点在 BA上时，即 35，如图 22b2+S ）S=S - （S +S矩OCD OAE DBE=3-1 （2b-2 ）× 1+ 1 ×（5-2b ）?（ -b ）22+ ×3（b- 3 ）2= 5 b-b 2 ，23b1b2S=；5 b b2 ( 3 b 5 )2 22由题意知， DMNE，DN ME，四边形 DNEM为平行四边形，根据轴对称知， MED= NED，又 MDE= NED， MED= MDE，MD=ME，平行四边形 DNEM

21、为菱形过点 D作 DHOA，垂足为 H，由题易知， DH = 1 ，DH=1，HE2HE=2，设菱形 DNEM的边长为 a，则在 Rt DHN中，由勾股定理知： a2 =（ 2-a ）2+12，5a=，5S 四边形 DNEM=NE? DH=矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC的重叠部分的面积5不发生变化，面积始终为（2）如图 3，设 O1A1 与 CB相交于点 M，OA与 C1B1相交于点 N，则矩形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM的面积学习必备欢迎下载点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几

22、个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度2、（2011 江苏镇江常州， 27，9 分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数 y 3 x3 的图象4是直线 l 1，l 1 与 x 轴 y 轴分别相交于 AB 两点直线 l 2 过点 C（a， 0）且与直线 l 1 垂直，其中 a 0点 PQ同时从 A 点出发，其中点 P 沿射线 AB运动，速度为每秒 4 个单位；点 Q 沿射线 AO运动，速度为每秒 5 个单位（1）写出 A 点的坐标和 AB的长；（2）当点 PQ运动了多少秒时，以点 Q为圆心， PQ为半径的 Q与直线 l 2 y 轴都相切

23、，求此时 a 的值考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质专题：几何动点问题；分类讨论分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；（2）根据相似三角形的判定得出 APQ AOB，以及当 Q在 y 轴右侧与 y 轴相切时，当 Q在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，分别分析得出答案解答：解：（1）一次函数y 3 x3 的图4象是直线 l 1，l 1 与 x 轴y 轴分别相交于 AB两点， y=0 时， x=4， A（ 4，0）， AO=4，图象与 y 轴交点坐标为：（ 0，3）， BO=3， AB=5；APAQ，AP=AQ=t ，（2）由题意得： =4t， =5

24、tAOBOPAQOAB，又= APQ AOB，°，APQAOB=90点 P 在 l 1 上， Q在运动过程中保持与l 1 相切，当 Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时，设 l 2 与Q相切于 F，由 APQ AOB，得： PQ4 PQ，3 5PQ=6；连接 QF，则 QF=PQ，由 QFC APQ AOB，得：QFQC， PQ QC ，AOAB 6QC ，4512QC=，27a=OQ+QC=，当Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，设 l 2与Q相切于EAPQAOB得：，由PQ=4PQ ，35PQ= 3 ，2连接 QE，则 QE=PQ，由 QEC APQ AOB得： QE =QC ，

25、OAAB3 QF QC ，2QC，AOAB45QC=15 ，a=QCOQ= 3 ，88AOAB学习必备欢迎下载a 的值为 27 和 3 ，2 8点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案四、抛物线上动点1、（2011? 菏泽）如图，抛物线y= x2+bx 2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断 ABC的形状，证明你的结论；（3）点 M（ m，0）是 x 轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值考点：二次函数综合题。分析：（1）把 A 点

26、的坐标代入抛物线解析式，求b 得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；222222222（2）根据直角三角形的性质，推出AC=OA+OC=5，BC=OC+OB=20，即 AC+BC=25=AB，即可确 ABC是直角三角形；（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（ 0，2），OC'=2连接 C'D 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC+MD的值最小首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求 m的值解答：解：（1）点 A（ 1，0）在抛物线y= x2+bx2 上，×（ 1 ）2 +b×（

27、1）2=0，解得 b=抛物线的解析式为y= x2 x 2 y=x2 x 2 = （ x 2 3x4 ）= （ x ） 2，顶点 D的坐标为（ ，）（2）当 x=0 时 y=2， C（0， 2），OC=2当 y=0 时， x2 x 2=0， x1=1，x2=4， B （ 4， 0）OA=1，OB=4， AB=52222222AB=25，AC=OA+OC=5， BC=OC+OB=20，学习必备欢迎下载222AC+BC=AB ABC是直角三角形（3）作出点 C关于 x 轴的对称点 C，则 C（ 0，2）， OC=2，连接 C D交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最

28、小解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点n=2 ，则， 解 得EED y 轴， OCM=EDM， C OM=DEM COM DEM 当y=0 时 ， m=解法二：设直线CD的解析式为 y=kx+n，点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形2、（2011? 郴州）如图，在平面直角坐标系中， A、B 两点的坐标分别是（ 0， 1）和（ 1，0）， P 是线段 AB上的一动点（不与 A、B 重合），坐标为（ m，1m）（ m为常数）（1）求经过 O、P、B 三点的抛物线的解析式；（2）当

29、P 点在线段 AB上移动时，过 O、P、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着 P 的移动而改变；（3）当 P 移动到点（）时，请你在过 O、P、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与 P、B 两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B 点， P 点可列出方程求出a，b 的值确定解析式；（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；（3）可作出对称轴与x 轴的交点为 K，过 K 点作 PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求y=ax2+bx+c，解答：解：（1）设抛物线的解析式为学习必备欢迎下载因为抛物线过

30、原点O（0，0）所以 c=0所以 Q1Q2 的解析式是： y=x ，抛物线的解，析式为： y=2x2 +2x所以直线和抛物线的交点Q1，Q2 两点的坐标是（，），（，）2所以 y=x +x；（ 2）由（ 1）可知抛物线的对称轴是x= 所以它不会随 P 的移动而改变；（3）点 O（ 0，0）可满足设抛物线的对称轴与x 轴交于 K，过 K 作 PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2 两点，则Q1 PB， Q2PB是等腰三角形因为 P 点的坐标是（， ）点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标3. （2011 四川广安， 30，12 分）如图所示，在平面直角坐标系中， 四边形 ABCD是直角梯形，BCAD， BAD 90 °， BC与 y 轴相交于点 M，且 M是 BC的中点， A、 B、 D 三点的坐标分别是A（，），B ，D，0)，连接 DM，并把线段 DM沿 DA方向平移到 ON，10(12)( 3若抛物线 yax2bxc 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式P使得 PA PC若存在，求出点