考研数学三真题及全面解析1

1、精品文档1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 (本题共 5小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 , 把答案填在题中横线上 .)(1) lim 3x25 sin 2.x 5x 3x(2)已知 yf3x2 , fxarctan x2 , 则 dy.3x2dx x0(3)级数(ln 3) n的和为.2nn 0(4)设 4 阶方阵 A 的秩为 2 , 则其伴随矩阵A* 的秩为.(5)设总体 X 的方差为 1, 根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本 , 测得样本均值为 5, 则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为.二、选择题 ( 本题共5 小题 ,每

2、小题3 分 , 满分 15 分 . 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 fxx sin 1 ,x0,x 在点 x0 处( )x2则 f0,x0,(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导ln x(2)设 fx 为连续函数 , 且 F x1f t dt , 则 Fx 等于( )x1fln x1f11ln x1(A)xx2(B)ffxxx1fln x1f1fln x1(C)xx2(D)fxx(3)n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A与对角阵相似的( )(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必

3、要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件(4)假设事件 A和 B满足P(B A) 1, 则()(A)A 是必然事件(B)P(B A)0 .(C)AB(D)AB.精品文档(5) 设随机变量X 的密度函数为( x) , 且 ( x)( x) .F ( x) 是 X 的分布函数 , 则对任意实数 a , 有( )1(A)F (a)a( x)dx .(B)F (a)a12(x)dx00(C)F (a)F (a)(D)F (a)2F (a) 1三、 ( 本题满分5 分)设 zfx,y是由方程 zyxxez y x0 所确定的二元函数, 求 dz .四、 ( 本题满分7 分)已知 limxax4x2e 2

4、x dx , 求常数 a 的值 .xxaa五、 ( 本题满分9 分 )设某产品的成本函数为Caq2bqc, 需求函数为 q1 (dp), 其中 C 为成本 , qe为需求量 ( 即产量 ),p 为单价 ,a, b, c, d , e都是正的常数 , 且 db , 求 :(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性 ;(3)需求对价格弹性的绝对值为1 时的产量 .六、 ( 本题满分8 分 )假设 :(1)函数 y f ( x)(0 x) 满足条件 f (0)0 和 0f()ex1;x(2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 yf ( x) 和 yex1分别相交于点P1和 P2;(3

5、)曲线 yf ( x) , 直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段 P1P2 的长度 .求函数 yf (x) 的表达式 .七、 ( 本题满分6 分 )假设函数f ( x) 在 0,1上连续 , 在 (0,1) 内二阶可导 ,过点 A(0,f (0) 与 B(1, f (1) 的直线与曲线 yf ( x) 相交于点 C (c, f (c) , 其中 0c 1.证明 : 在 (0,1) 内至少存在一点, 使 f ()0 .精品文档八、 ( 本题满分10 分)k 为何值时 , 线性方程组x1x2kx34,2x1kx2x3k ,x1x22x34有惟一解 , 无解 , 有无穷多组解?在有

6、解情况下, 求出其全部解 .九、 ( 本题满分9 分 )设二次型f x12x22x322 x1x22 x2 x32x1 x3经正交变换 XPY 化成 f22T和 YT是三维列y22 y3 , 其中 X( x1, x2 , x3 )( y1, y2 , y3 )向量 , P 是 3 阶正交矩阵 . 试求常数,.十、 ( 本题满分8 分 )设随机变量 X 和 Y 同分布 ,X 的概率密度为f ( x)3 x2 ,0 x 2,80,其他 .(1)已知事件 A X a和 BY a独立,且P A B3 . 求常数 a.求 14(2)的数学期望 .X 2十一、 ( 本题满分8 分)假设一大型设备在任何长为

7、t 的时间内发生故障的次数N t 服从参数为t 的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下 , 再无故障运行 8 小时的概率 Q .精品文档1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】 65lim 3x25 sin 23x25sin 2【解析】2limlimx ,x5x3xx5x23xx2xsin 2sin t3x256x3极限limxlim洛 lim2lim1, 而2,xt0tx5x3xx10x5x所以lim3x252316

8、.sin2x5x3x55(2) 【答案】34【解析】令 g x3x2 , 则有 g 01, g x123x23x22 , 则g03,由复合函数求导法则知dyf g 0 g 0 3 f 1 3arctan13 .dx x 04(3) 【答案】22 ln 3【解析】利用几何级数求和公式xn1( x1), 令 xln 3, 即得n 01x2(ln 3) n122nln 3.n 02 ln 312(4) 【答案】 0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于 rA2 , 说明 A 中 3 阶子式全为0, 于是 A 的代数余子式Aij0,故 A*0 .所以秩rA*0.若熟悉伴随矩阵A* 秩的关

9、系式.精品文档n,rAn,rA*1,rAn1,0,rAn1,易知 r A*0.注：按定义A11A21An1*A12A22An 2,AA1nA2nAnn伴随矩阵是 n 阶矩阵 , 它的元素是行列式A的代数余子式, 是n1阶子式 .(5) 【答案】 (4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间 , 可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因 X 的方差为1,设 X 的期望为, 则 UXN(0,1)./n当置信度为 10.95 , 时0.05, 有正态分布表知uu0.0251.96 . 因此用公式：2I(xu, xnu) .n22将 x 5,1

10、,n100,u1.96代入上式 , 得到所求的置信区间为 I(4.804,5.196) .2二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题3 分,满分 15 分.)(1) 【答案】 (C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当 x0时 ,1为有界变量 ,x 为无穷小量 , 则sin x2x sin 12lim fxlim0 , 且 f00.x0x 0x于是 f x 在 x0 处连续 . 故 (A)(B) 不正确 .11又因为 limx sin x2f0x sinx2lim11不存在 , 所以 f xx0limxxsin 2x0x0x 0x在 x0处不可导 , 所以选 (C).【相关知识点】 函数连

11、续定义： 如果函数在 x0 处连续 , 则有 limf ( x)lim f (x) f (x0 ) .xx0x x0.精品文档(2) 【答案】 (A)【解析】 Fxf ln x111fln x11xfx2xx2f.xx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：dxfxxfxx .dxf t dtx(3) 【答案】 (B)【解析】 AA 有 n 个线性无关的特征向量 .由于当特征值12时,特征向量 1,2 线性无关 . 从而知 , 当 A 有 n 个不同特征值时 ,矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量, 那么矩阵 A 可以相似对角化 .因为当 A 的特征值有重根时, 矩阵 A 仍有可能相似对角化(

12、 当特征根的代数重数等于其几何重数的时候 ),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件, 故应选 (B).(4) 【答案】 (D)【解析】 P(B A) 1的充分必要条件是P(AB)1, 即 P( AB)P( A) . 显然四个选项中 ,P( A)当A B时, ABA ,可得 P( AB)P(A).因此 AB 是 P(B A) 1 的充分条件 . 因此选(D).(5) 【答案】 (B)【解析】题目即考查概率论方面的知识, 在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质 , 换元积分 , 并改变积分上下限有F ( a)axta(t )dt( x)dx,( x)dxa随机变量 X 的密度函数为(

13、 x) ,则(x)dx1,又由于 (x)(x) , 所以0( x)dx1 ,( 偶函数积分的性质 )( x)dx021即a0a( x)dx( x) dx(x)dx0a( x) dx.a21F ( a)a( x)dx(x)dxa(x) dxa于是( x)dxa002( x) dx .0故应选 (B).三、 ( 本题满分5 分 )【解析】 方法一： 利用一阶微分形式的不变性, 将方程两端微分 , 得dz dydxez yxdxxezy xdzdydx0.整理后得1 xez yx dz1xezyxezy xdx1 xez y x dy.精品文档由此 , 得 dz1xez y xezy xdy .1

14、xez y xdx方法二 ：应先求出函数对x, y 的偏导数 , 将 zy xxez y x0 两边分别对 x, y 求偏导 ,zx1 ez y xxez y x zx1 0,zy1 xez y x zy1 0,解之得zx1x1 ezy x,1xez yxzy1.dzzxdxzydy1x1 ez yxdy .故1xezyxdx四、 ( 本题满分7 分 )xx2ax2a【解析】limalimlim 11xxaxx axx a令2a时 , t0,xt , 则当 xax a2ax2 axa,xa2a2 a1lim1lim 1 t te,xaxt0x a2ax2ax2a2 ax alimlim1x a

15、e 2a .所以exxxa而4x2 e 2x dx2x2 de2 x2x2 e2 x4 xe 2 xdxaaaalim2b2e 2 b2a2e 2 a2xde 2xba2a2 e 2a2 xe2x2e 2 xdxaa2a2 e 2alim2beb2a2 e 2a2ae 2 ae2b2ae 2 alime 2be 2ab2a,由 e 2a2a2 e 2a2ae 2 ae 2 a , 得 a2a0 , 所以 a0或 a1.五、 ( 本题满分9 分)【解析】 (1)利润函数为.精品文档LpqC(deq)q(aq2bqc)( db) q(ea)q2c ,对 q 求导 , 并令 dL0 ,得 dL( d

16、b)2(ea)q0 , 得 qdb .dqdq2(ea)因为 d 2 L2( ea)0, 所以 , 当 qdb时为利润函数的极大值点,根据题意也是利dq22(ea)润的最大值点 , 所以 Lmax(db)2c .4(ea)(2)因为 q( p)1 (dp) , 所以 q ( p)1, 故需求对价格的弹性为p qeq d .eeqeq(3)由d1, 得 q.2e六、 ( 本题满分8 分 )【解析】由题设可得示意图如右. 设 P1 ( x, f ( x), P2 ( x,ex1),则SPP ,12xex1 f ( x) .即f (t) dt0两端求导 , 得 f (x)exf ( x) , 即 f

17、 (x)f( x)ex .由一阶线性非齐次微分方程求解公式, 得f ( x) ep( x)dxp ( x) dxdx C )( q( x)eedxdx( exex dx C)e xCe x1 ex.( exe dx C )2由初始条件f (0)0,得C1. 因此 , 所求函数为 f ( x)1 (exe x) .22【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp( x) yq(x) 的通解公式为 :yp ( x) dxp (x) dxdxC) ,其中 C为常数 .e( q( x)e七、 ( 本题满分6 分)【 解 析 】 因 为 f ( x) 分 别 在 0,c 和 c,1 上 满 足 拉 格 朗

18、日 中 值 定 理 的 条 件 , 故 存 在1 (0, c), 2 (c,1) , 使得f ( 1 )f (c)f (0) , f (2 )f (1)f ( c) ,c01c.精品文档由于点 C 在弦 AB 上 , 故有 f (c)f (0)f (1)f (c)f (1)f (0)f (1)f (0),c01c10从而f(1 )f (2 )f (1)f (0).这表明f ( x) 在区间 1 ,2 上满足罗尔定理的条件, 于是存在( 1,2 ) (0,1) , 使得f( )0 .八、 ( 本题满分 10 分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以1、1加

19、到第二行和第三行上, 再第二行和第三行互换 , 再第二行乘以1k加到第三行上 , 有211k41124A1 k 1k 21k 1k 2112411k4112411240 k 13k 2402k 2802k 280 k 13k24112402k 28.00(1k )(4k)k (k 4)2(1)当 k1 且 k4时 ,r ( A)r ( A)3, 方程组有唯一解 , 即x1k 22kk 22k42kk, x2k, x3.11k1(2)当 k1 时 , r ( A)3, r ( A)2 方程组无解 .11241030(3)当 k4时,有A02280114 .00000000因为 r ( A)r (

20、 A)23 ,方程组有无穷多解 .取 x3 为自由变量 , 得方程组的特解为(0, 4,0) T .精品文档又导出组的基础解系为( 3, 1,1)T , 所以方程组的通解为k, 其中 k 为任意常数 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 mn 矩阵 , 线性方程组Axb 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 AA b 的秩 , 即 r ( A)r ( A) .( 或者说 , b 可由 A 的列向量1, 2 ,n 线表出 , 亦等同于1,2 ,n 与 1 , 2 ,n , b 是等价向量组 )设 A 是 mn 矩阵 , 线性方程组Axb , 则（ 1）有唯一解r (

21、 A)r ( A)n.（ 2）有无穷多解r ( A)r ( A)n.（3）无解r ( A)1r ( A).b 不能由 A 的列向量1,2 ,n 线表出 .九、 ( 本题满分9 分)110【解析】经正交变换二次型f 的矩阵分别为 A1, B1.112由于 P 是正交矩阵 , 有 P 1APB , 即知矩阵 A 的特征值是 0,1,2.那么有A2220,0.EA20.【相关知识点】 二次型的定义： 含有 n 个变量 x1 , x2, xn 的二次齐次多项式( 即每项都是二次的多项式 )nnf x1, x2 , , xni 1j 1aij xi x j , 其中 aijaji ,称为 n 元二次型 , 令 xx1 , x2 , xnTaij , 则二次型可用矩阵乘法表示为, Af x , x , xnxT Ax,1 2其中 A 是对称矩阵 ATA ,称 A为二次型f x1, x2 , , xn的矩阵 .十、 ( 本题满分8 分)【解析】 (1)