4与圆有关的计算教师

1、2021年中考解决方案旋转 1基本模型上课时间：同学姓名：毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 1 of 17与圆有关的运算中考说明内容基本要求略高要求较高要求弧长明白圆与圆的位置关系会运算弧长圆锥会求圆锥的侧面积和全面积自检自查必考点与圆有关的面积和长度运算：设 o 的半径为 r ， n 圆心角所对弧长为l ，弧长公式 ： lnr 180扇形面积公式：s扇形n21rlr3602圆柱体表面积公式： s圆锥体表面积公式： s22r2r2rhrl l 为母线 常见组合图形的周长面积的几种常见方法： 公式法； 割补法； 拼凑法； 等积变换法课前预习漂亮的扇形这是

2、一张漂亮的扇形画，你会运算它的面积吗？毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 2 of 17中考必做题模块一与圆有关的运算. 求弧长【例 1】圆心角为60°，且半径为3 的扇形的弧长为（）a b cd 3【难度】 1 星【解析】弧长公式：l =nr 进行运算即可180【答案】 圆心角为60°，且半径为3，弧长 = 603 =180应选 b 【点评】此题考查了弧长公式：l =nr ，其中 n 为弧所对的圆心角的度数，r 为圆的半径180【巩固】如图，pa pb 是 e o 的切线，切点是a度为（）、b ，已知p60， oa3，那么aob所对

3、弧的长apoba 6b 5c3d 2【难度】 2 星【分析】由于pa pb 是 e o 的切线，由此得到oapobp90 ，而p60 ，然后利用四边形的内角和即可求出aob然后利用已知条件和弧长公式即可求出aob所对弧的长度【答案】 pa pb 是 e o 的切线，oapobp90 ，而p60 ，aob120，aob 所对弧的长度 = 12032180应选 d 【点评】此题主要考查了弧长的运算问题，也利用了切线的性质和四边形的内角和，题目简洁毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 3 of 17【巩固】如图，半径是1 ， a 、b、c 是圆周上的三点，bac

4、36 ，就劣弧 .bc 的长是（）aocba b c 3d 5【难度】 2 星【解析】 连 ob ， oc ，依据圆周角定理得到boc2bac72 ，然后依据弧长公式运算劣弧b.c 的长aocb【答案】连ob ， oc ，如图，bac36 ，boc2bac72，劣弧b.c 的长 = 72121805应选 b 【拓展】如图，六边形abcdef 是正六边形，曲线fk 1k 2 k 3 k4 k 5 k 6 k 7叫做 “正六边形的渐开线”，其中 f.k 1 ， .k1 k 2， .k 2 k3， .k 3k 4， .k 4 k 5， k. 5 k 6，的圆心依次按点a，b ，c ，d，e ，f循环

5、，其弧长分别记为l1 ，l 2，l3，l 4，l 5，l6 ，当 ab1 时，l 2021 等于（）k5k6k4decfbak 1k7k 3k2a b cd 【难度】 3 星【解析】利用弧长公式，分别运算出l1 ，l2，l3的长，查找其中的规律，确定l2021 的长毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 4 of 17【答案】6012l11803l602221803l6033318036044l41803依据这种规律可以得到：lnnl2021320213应选 b 【点评】此题考查的是弧长的运算，先用公式运算，找出规律，求出l2021 l 2021 的长【例

6、2】75°的圆心角所对的弧长是2.5 cm，就此弧所在圆的半径是【难度】 1 星 cm 【解析】由弧长公式：nrl运算180【答案】由题意得：圆的半径r故此题答案为：6【点评】此题考查了弧长公式1805 2756 cm【巩固】 120 的圆心角所对的弧长是12cm，就此弧所在的圆的半径是【难度】 1 星 cm 【解析】依据弧长公式nrl得 r180180ln【答案】依据弧长公式，得r180ln1801218 （ cm）120【点评】此题主要是考查了弧长公式【例 3】如图，已知rtabc 中，abc90bac30 ， ab23 cm，将 abc 绕顶点 c 顺时针旋转至 a b ccm

7、的位置，且a 、 b'、c 三点在同一条直线上，就点a 过的最短路线的长度是（）a'ba 8b 43c 323ad 83cb'【难度】 2 星【解析】点a 经过的最短路线的长度是一段弧长，圆心是c ，半径是ac ，旋转的度数是120度，由特别 三角函数可求得ac =4，所以依据弧长公式可得毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 5 of 17【答案】弧长 = 120481803应选 d 【点评】此题的关键是找准圆心角和半径求弧长【巩固】在rt abc 中，c90， bc4cm ， ac3cm 把abc 绕点 a 顺时针旋转90 后，得

8、到 ab1c1 ，如下列图，就点b 所走过的路径长为（）a 52b 54cmc 52cmd 5cm【难度】 2 星【解析】依据勾股定理可将ab 的长求出，点b 所经过的路程是以点a 为圆心，以ab 的长为半径，圆心角为 60°的扇形【答案】在rtabc 中，22abbcac22435 ，.ab2rn25905cm3603602故点 b 所经过的路程为52cm 应选 c 【点评】此题的主要是将点b 所走的路程转化为求弧长，使问题简化【例 4】如图， 把 rt abc 的斜边 ab 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次， 使它转到 a b c的位置 如 bc1 ，ac3 ，就顶

9、点 a运动到点a 的位置时， 点 a 两次运动所经过的路程（计算结果不取近似值）【难度】 3 星【解析】依据题意得到直角三角形在直线l 上转动两次点a 分别绕点 b 旋转 60°和绕 c 旋转 90°，将两条弧长求出来加在一起即可【答案】在rtabc 中， bc1 ，ac3 ， ab2 ， cba60 ， .aa120241803， .a a90331802 点 a 经过的路线的长是4332【点评】 此题考查了弧长的运算方法及勾股定理，解题的关键是依据直角三角形的转动过程判定点a 是以那一点为圆心转动多大的角度毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师

10、版page 6 of 17【巩固】 矩形 abcd 的边 ab8，ad6 ，现将矩形 abcd 放在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地翻动，当它翻动至类似开头的位置a1 b1c1 d1 时如下列图 ，就顶点a 所经过的路线长是 【难度】 2 星【解析】 12解决此题目需要画出a 点在旋转过程中，每次旋转的路线，找到每次的旋转中心，旋转角和旋转半径，从而利用弧长公式运算出走过的弧长，最终做加和即可【答案】 12【拓展】如图，将边长为a 的正六边形a 1a 2a 3a 4a 5a 6 在直线 l 上由图 1 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当a 1 第一次滚动到图2 位置时，顶点a1 所经

11、过的路径的长为（）a 4233ab 8433ac 433ad 423a6【难度】 3 星【解析】连a1 a5 ，a1 a4 ，a1 a3 ，作a6ca1 a5 ，利用正六边形的性质分别运算出a1 a42a ，a1 a5a1 a33a ，而当 a1 第一次滚动到图2 位置时，顶点a1 所经过的路径分别是以a6 ，a5，a4，a3，a2 为圆心，以a ， 3a，2a， 3a，a 为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后依据弧长公式进行运算即可【答案 】连a1 a5，a1a4，a1 a3 ，作a6ca1 a5 ，如图，六边形 a1a2a3a4a5a6 为正六边形， a1 a42a ，a1 a

12、6 a5120 ，ca1 a630， a c1 a ，ac3 a ，6122 a1 a5a1 a33a ，毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 7 of 17当 a1 第一次滚动到图2 位置时，顶点a 1 所经过的路径分别是以a6 ，a5，a4，a3，a2 为圆心，以a ， 3a，2a， 3a，a 为半径，圆心角都为60°的五条弧，顶点 a1 所经过的路径的长= 60a603a602a60360a = 423a 1801801801801803应选 a 【点评】此题考查了弧长公式；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质. 求面积【例 5】如 图 ，

13、 点 a、 b 、 c在 直 径 为 23 的e o 上 ，bac45， 就 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 （结果中保留）aocb【难度】 2 星【解析】第一连接ob ， oc ，即可求得差即是图中阴影部分的面积boc90 ，然后求得扇形obc 的面积与obc 的面积，求其aocb【答案】连接ob ，oc ，bacboc45 ，90 ， e o 的直径为 23 ， boco3 ，2903313 s=ss33s扇形obc，sobc33阴影扇形 obc obc42360422【点评】此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法此题难度不大，解题的关键是留意数形结合思想

14、的应用【巩固】如图，在等腰直角三角形abc 中，c90，点 d 为 ab 的中点，已知扇形ead 和扇形 fbd 的圆心分别为点a 、点 b ，且 ac2 ，就图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 8 of 17cefadb【解析】用三角形abc 的面积减去扇形ead 和扇形 fbd 的面积，即可得出阴影部分的面积【答案】 bcac ， c90，ac2 ， ab22 ，点 d 为 ab 的中点， adbd2 ， s阴影 =s abcs扇形fbd122245222故答案为：2223602【点评】此题考查了扇形面积的运算

15、以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：sn r2360【巩固】如图，等腰rtabc 的直角边长为4，以 a 为圆心，直角边ab 为半径作弧bc 1，交斜边ac 于点 c1 ， c1 b1ab 于点b1 ，设弧bc1 ， c1b1 ， b1b 围成的阴影部分的面积为s1 ，然后以 a 为圆心，ab1 为半径作弧b2c2 ，交斜边ac 于点c2 ， c2b2ab 于点b2 ，设弧b1c2，c2 b2 ，b2 b1 围成的阴影部分的面积为s2 ，按此规律连续作下去，得到的阴影部分的面积s3 = cc1c2c3s1s2s3ab3b2b 1b【难度】 3 星【解析】每一个阴影部分的面积都等于扇形

16、的面积减去等腰直角三角形的面积此题的关键是求得ab2、ab3 的长依据等腰直角三角形的性质即可求解【答案】依据题意，得ac1ab4 ac 2ab122 ac3ab22 毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 9 of 17 ab32 阴影部分的面积s 454121 336022【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式【例 6】如图，在半径为5 ，圆心角等于45 的扇形 aob内部作一个正方形cdef ，使点 c 在 oa 上，点 d、e 在 ob 上，点 f 在 .ab 上，就阴影部分的面积为 acfodeb【难度】 3 星【解析】连结of

17、 ，由勾股定理可运算得正方形cdef 的边长为 1，就正方形 cdef 的面积为 1，等腰直角三角形cod 的面积为 1 ，22扇形 aob 的面积为 155，88所以阴影部分的面积为53 82【答案】 5382【 巩 固 】 将 abc 绕 点 b 逆 时 针旋 转 到 a bc使 a、b、c在 同 一 直 线上， 如bca90°，bac30 ， ab4cm ，就图中阴影部分面积为 cm2ac'cba'【难度】 3 星【解析】 3此题需要把bc 所在的圆补充完整，设它与线段ab 的交点为 d ，与2a' b 的交点为 e 从而看出整个阴影部分可以割补成扇形【

18、答案】 3aba' 的面积 -扇形 bde 的面积即14 242 3毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 10 of 17. 与圆锥有关的运算【例 7】如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面绽开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸 杯的侧面积为 cm2（结果保留）【难度】 2 星【解析】纸杯的侧面积=×底面半径 ×母线长，把相关数值代入运算即可【答案】纸杯的侧面积为× 5×15=75cm2故答案为75【点评】考查圆锥的运算；把握圆锥侧面积的运算公式是解决此题的关键【巩固】一个圆锥的底面半径为4cm，

19、将侧面绽开后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于 cm2（结果保留）【难度】 1 星【解析】侧面绽开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=×底面半径 ×母线长，把相应数值代入即可求解【答案】圆锥的侧面积=× 4×5=202cm【点评】此题考查圆锥侧面积的求法【巩固】某盏路灯照耀的空间可以看成如下列图的圆锥，它的高ao =8 米，底面半径ob =6 米，就圆锥的侧面积是 平方米（结果保留）abo【难度】 2 星【解析】依据勾股定理求得bo ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，依据扇形面积的运算方法s1 lr ，求得答案即可2【

20、答案】 ao8 米， ob6 米， ab10米，圆锥的底面周长= 2612米，扇形 =lr（平方米）22故答案为：60毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版 s11121060page 11 of 17【点评】此题考查了圆锥的有关运算，正确懂得圆锥的侧面绽开图与原先的扇形之间的关系是解决此题的关键，懂得圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长【巩固】一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1就这个圆锥形零件的全面积是【难度】 2 星【解析】利用圆锥的地面半径求得圆锥的底面积加上圆锥的侧面积即可得到圆锥的全面积【答案】 底面半径为1 圆锥的底面面积为， 侧

21、面积为rl= × 1×4，=4 全面积为+4=5， 全面积为5 故答案为： 5 【点评】此题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解留意圆锥表面积=底面积 +侧面积 =×底面半径2+ 底面周长 ×母线长 ÷2 的应用【例 8】将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是33 ，就圆锥的侧面积是 【难度】 2 星【解析】由于圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，故可得究竟面半径是 3，母线长是6，底面圆周长是6，再由圆锥的侧面积公式运算【答案】 圆锥的高，

22、底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中， 底面半径是3，母线长是6， 底面圆周长是6， 圆锥的侧面积是166182故此题答案为：18【点评】此题解决的关键就是把握圆锥的侧面绽开图与圆锥的关系【巩固】在rtabc 中， c=90°，ac=3 ， bc=4 ，将 abc 绕边 ac 所在直线旋转一周得到圆锥，就该圆锥的侧面积是 【难度】 2 星【解析】运用公式s=l（r 其中勾股定理求解得到得母线长l 为 5）求解【答案】由已知得，母线长l=5 ，半径 r 为 4， 圆锥的侧面积是故答案为20slr5420【点评】此题考查了圆锥的运算，要学会敏捷的运用公式求解【

23、例 9】如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（连接处无缝隙且不重叠），就圆锥底面半径是 cm 【难度】 2 星【解析】第一求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得底面的半径即可【答案】 把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 12 of 17 扇形的弧长为：12r83 扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 2r=8 ， 解得： r=4cm ， 故答案为： 4【点评】正确懂得圆锥的侧面绽开图与原先的扇形之间的关系是解决此题

24、的关键，懂得圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长【巩固】如圆锥的侧面绽开时一个弧长为l6 的扇形，就这个圆锥的底面半经是 【难度】 2 星【解析】利用底面周长=绽开图的弧长可得【答案】 16=2r解得 r=8 故答案为： 8【点评】此题考查了圆锥的运算，解答此题的关键是有确定底面周长=绽开图的弧长这个等量关系，然后求值【巩固】如用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽视不计），就这个圆锥底面圆的半径的长 【难度】 2 星【解析】此题考查圆锥的的侧面绽开图依据图形可知，圆锥的侧面绽开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长【答案】设这个圆锥的底面半

25、径是r，就有 2r解得： r=4 故答案为： 412012180【点评】主要考查了圆锥侧面绽开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面绽开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长此题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解【例 10】 将一个半径为6cm，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面绽开图的圆心角是 度【难度】 2 星【解析】依据圆锥的侧面积公式得出圆锥侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数【答案】 将一个半径为6cm，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平， 圆锥侧面积公式为：s=rl= × 6

26、×15=90，cm22 扇形面积为90n15，360解得： n144 ， 侧面绽开图的圆心角是144 故答案为： 144【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与绽开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键【巩固】一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，就该圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角度数是【难度】 2 星 度【解析】依据圆锥的侧面积是底面积的2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面绽开图的弧长 =底面周长即可得到该圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角度数毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 13 of 17【答案】设母线长为r，底面半

27、径为r， 底面周长 =2r，底面面积 =r2，侧面面积 =rr， 侧面积是底面积的2 倍， r=2r ，设圆心角为n，有 n=180°nr 1802rr ，【点评】此题利用了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解【巩固】已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，就它的侧面绽开图的圆心角为 度【难度】 2 星【解析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面绽开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面绽开图的圆心角【答案】圆锥的底面周长=4，=4， 解得 n=120°【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的学问点为：圆锥的弧长等于底面周长【巩固】将一个底面半径为5cm，母线长为12

28、cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面绽开图的圆心角是 度【难度】 2 星【解析】易得圆锥的底面周长，也就是圆锥侧面绽开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面绽开图的圆心角度数【答案】圆锥的底面周长=2× 5=10，=10， n=150°【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的学问点为：圆锥的弧长等于底面周长【例 11】 用半径为 9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，就该圆锥的高为【难度】 2 星 cm【解析】已知半径为9 cm，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，由于圆锥的

29、高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以依据勾股定 理求出圆锥的高【答案】扇形弧长为：l= 1209 =6 cm，180设圆锥底面半径为r，就： 2r=6 ，所以， r=3cm ，由于圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，222设圆锥高为h，所以 hr9 ，2即： h =72， h= 62 cm ，所以圆锥的高为62 cm故答案为：62 cm【点评】考查了圆锥的运算圆锥的侧面绽开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 14 of 17【巩固】已知圆锥的底面半径为3，侧

30、面积为15，就这个圆锥的高为 【难度】 2 星【解析】圆锥的侧面积=底面周长 ×母线长 ÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高【答案】设圆锥的母线长为r，就 15=2× 3×r，÷2解得 r=5 ， 圆锥的高 =5232 =4【点评】用到的学问点为：圆锥侧面积的求法；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形【巩固】假如圆锥的底面周长是20，侧面绽开后所得的扇形的圆心角为120°就圆锥的母线是 【难度】 2 星【解析】圆锥的底面周长即为侧面绽开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇

31、形的弧长公式求解【答案】将l=20 ，=120代入扇形弧长公式l=中，得 20=，解得 r=30 故答案为： 30【点评】此题考查了圆锥的运算关键是表达两个转化，圆锥的侧面绽开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长课后作业1. 如图，有一长为4cm，宽为 3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻动顺时针方向 ，木板上的顶点 a 的位置变化为a a1 a2，其中其次次翻动被桌面上一小木块拦住，使木板边沿a2c 与桌面成 30°角，就点a 翻动到 a2 位置时，共走过的路径长为a 10cmb 3 . 5 cmc4 . 5 cmd 2 . 5 cmaa 1a2bc【

32、难度】 3 星【解析】 a 点走过的路径长要归结到a 点在两次旋转过程中所走过的路线a a1 可看做是a 点围着点 b顺时针旋转90 得到，此段弧长即为半径为5cm 的圆周长的14，而 a1a2 的路线可看做是a1 点围着点 c 顺时针旋转60 得到， 此时弧长即为半径为3cm 的圆周长的16两段弧长加在一起即为此题最终答案【答案】 b2. 如图，在 rtabc 中，bac90bc6 ，点 d 为 bc 中点，将abd 绕点 a 按逆时针方向o ，旋转 120o 得到 ab d，就点 d 在旋转过程中所经过的路程为 结果保留毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 1.老师版page 15 of 17dbdacb【难度】 3 星【解析】依据题意在图中标注已知条件，点d 在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧这条弧所在的圆的半径为ad1 bc =3 ，圆心角 =旋转度数 = 120 ，带入公式 l【答案】23.【难度】一个扇形所在圆的半径为2 星3cm，扇形的圆心角为120 °，就扇形的面积是 cm22n 180r ，即可得出结果22【解析】此题考查