不等式恒成立问题中的主元策略

1、“不等式恒成立问题中的主元策略”课堂设计与反思慈溪市三山高级中学 任雪琼摘要：不等式恒成立问题是近年來高考及其他各类考试中的热点和亮点问题，多以压轴题的形式出现。解 决这类问题最难的地方，也是最关键的地方是主元（主变量）的恰当处理。高考复习阶段,冇必要设计一 节专题课，对主元的选择问题进行仔细地剖析。从常见题型出发，由浅入深，层层递进，使学生能通过深 入学习把握问题的本质，从而更好地解决这类问题。关键字：微专题课:不等式：恒成立；主元；参数；构造函数:圾值:多变量恒成立问题一直是高中数学的重耍内容。它是函数、方程、不等式、导数等 内容交汇处的一个较为活跃的知识点。能考杳学生的综合解题能力，在培

2、养学生 思维的灵活性、创造性等方而都起到积极作用，因而很受命题者的青睐，是近几 年来高考及各类数学考试的热点问题。在高三第二轮复习的后半阶段，笔者设计 了一节微专题课“不等式恒成立问题屮的主元策略”，达到了比较理想的教学效 果。现将本节课的教学设计与反思呈现如fo1过程设计1.1初步感受高考真题或模拟题实例1 （2013宁波一模理第22题）设函数/（兀）=/_饥+乎（1）试讨论/（兀）在0,1上的单调性;（11）求最小的实数力，使得对任意的xgl0,1j及任意实数f, 恒成立.实例2 （2012 浙江理第 22 题）已知 d>o,bw/?,函数 f（x） = 4ax3-2bx-a+b.（

3、1 ）证明：当1时，（i ）函数/（兀）的最大值为2a-ba ； （“）fm + 2a-b + a>0;（11）若-1</w<1对兀w 0,1恒成立，求a + b的取值范围.设计意图及说明：实例1是2013年宁波一模理科卷第22题，不少学生对第 （ii）题中的恒成立问题有点思路，但具体求解时却困难重重，半途而废。实例 2是2012年浙江理科卷第22题，其中第（i ）题中的第（ii）小题，学生普遍 反映不知从何下手，看了考试说明书上的参考答案中提供的方法后还是疑惑重 重，不甚理解。通过这两个案例的展示，学生感受到了恒成立问题的重要性，同 时告诉他们，本堂课学习之后，前面遇到的困

4、难、疑惑就可以迎刃而解，这样一 來，学生的学习热情被充分调动了起來。1.2由作业题分析引入引例(1) 已知函数/(兀)=/_2处+4,若当xe0,2时，/(%) > 0恒成立，则 实数q的取值范围为o设计意图及说明：针对学生的认知情况，若直接从实例屮的高考题或模拟题 开始讲，起点太高，学生不易接受，所以要先从常见题型开始，由浅入深，逐个 突破难点。为了使引入部分能少花吋间，以便突岀木堂课重点，笔者选择了上节 课刚讲过的，学生印象还比较深的一道作业题为引例，作了简要的提问与说明。 这样，不但复习了恒成立问题的常见解法，述大大节省时间，避免了头重脚轻的 感觉。解法一：利用二次函数根的分布(略

5、)。解法二：变量分离(略)。解法三：转化为求函数最值，当ae0,2h>b /(x)>0恒成立，只需/(x)min>0.仃)当 qvo 吋，/(x)min = /(0) = 4>0 成立；:.a<0;(2) 当0"5 2吋，/(x) . =/() = 4-6/2>0, :.0<a<2;(3) 当 a >2 时，/(x)inin = /(2) = 8-4«>0 ,解得 ds2 又。>2,此时d 无解。小结：解法一常用于二次函数；解法二通过变量分离，往往可避免求最值的 讨论，但不能变量分离时，此方法失效；解法三是直

6、接求函数最值，更具一般性, 但要根据条件，灵活选定主元(主变量)构造函数，才能顺利求解。引例(2)已知函数/(x) = x2-2ox+4,若当圍时，fm > 0恒成立,则实数兀的取值范围为设计意图及说明：引例(2)是对引例(1)进行了改编，两则区别是：引例(1)是已知主变元兀的范围，求解参变元。的取值范围；引例(2)是已知参变 元q的范围，求解主变元兀的取值范围。通常，我们习惯把d当作参数，兀当作 自变量，但由于引例(2)中给出的条件是d的范围，所以往往要反客为主，构 造以。为自变量的一次函数求解，这样就显得很容易了。令 f(d) = -ixax1 + 4,解析：以q为主元,ae -1,

7、- 需弘馬。，等价丁彳 5 zz> x < 1. l 2f(-)>02小结：当问题中出现两个变量，其中一个变量范围已知，另一个变量范围为 所求，这时习惯上已知谁的范围就视为谁的函数，即：谁有范围谁做“主”。1. 3逐步探究变式1已知函数/(切=宀2似+ 4,若对任意的心卜刖，%0>2,恒有/(x)-m > 0 ,求实数加的取值范围.设计意图及说明：笔者在引例原有数据的基础上进行改编，目的是减少计算 量，通过对比体会选主元的重要性。由于两个变量兀、。都有范围，所以可先以 x为主元，也可先以q为主元。此题可先转化为：m<x2-2ax + 4对任意的 心卜彳，xg

8、0,2j恒成立。解法一：先以x为主元，由 /(兀)一加 2 0得：m < f(x) = x2 - lax + 4 ,4,(-1 <6/ <0)-/+4,()h)，8 - 4a, (2 < a 5 )先求/(x) = x2 - 2axr4的最小值h(a),由引例(1)解法三得：再求 h(a)的最小值:/?(6/)min = /?(-) = -22m < -2.解法二：先以q为主元,由> 0 得： m < x2 - lax + 4 ,令 f(d) = x2 - 2ax + 4 = -2xa + x2+4 ,先求 f的最小值/?(%), q x e 0,2,

9、 ?. h(x) = fa) = f(|)=x2-5x+4,j再求/2(x)的最小值：力(兀人曲=力(2) = -2 , /. hl < 一2.提问：以上两种解法，哪种史有优势呢？小结：(1)涉及两个变量的恒成立问题，转化为两次求函数最值；(2)适当选 取主元，特别是构成一次函数时，往往容易解决。试一试 若对所冇的c/w 0, , x g (.e2，不等式m + x<anx + e2恒成立，求 _ 2 ' 实数加的取值范围。设计意图及说明：通过前面的讲解，学牛对这类问题的解法有了初步的感受, 但还需要动手实践过后，才会有更加深刻的理解与领悟。解法一：先以兀为主元，较为复朵。

10、解法二：先以q为主元，/23 -由 m + x< tzlnx + e2： m < an x-x+e2，令 f(a) = an x-x+e2,a g 0,-,_ 2_先求f的最小值力(兀)，q x e (l,e? ，/. in x < 0,/. h(x) = f(a) min= f(0) = -x + e2,x e(i”再求/i(兀)的最小值:/i(x)inin = h(e2)=0, :. m < 0.比较一下，如何解决呢？若斗证明：当川(1”时，不等式qing+/no恒成立。_ 2 ' 设计意图及说明：学生对证明题的理解相对较弱，为了能更顺利地引入后而 的内容，

11、笔者在试一试的环节之后，顺势把题廿改编成了一道证明题。由于学生 刚动手实践过，所以都比较容易想到，此题只要转化为证明(alnx-x+e2)m.n >0 即可。这由“试一试”的解答屮显然可得。变式 2e1知函数 /(x) = 4x3 - 2ax + a ,若tz e(-oo,2,证明：当0ss1 时，/(x) + 2</ >0.(2)若 awr,证明：当 oss 1 时；f(x)+2-a> 0 . (2012 浙江文 21)设计意图及说明：有了前面的铺垫后，学生都认识到，不等式恒成立证明题 的本质也是转化为求函数最值。变式2原想直接设计成2012年浙江文课卷第21 题，但

12、考虑到出现绝对值以后，好多学生又会望而却步，所以便增加了第小 题。这样一来，难度呈阶梯式上升，能充分调动学生思维，提高课堂效率。忠緩去-)：先屮主元,此时，函数的最小值涉及到三次函数的单调性,(证法二)：先以q为主元，证明：令 = f(x) + 2-a = 4x3 -2ax 4- 2 = -2xa + 4x3 + 2,« < 2 ,qxg0,1加(d)min =加(2) = 2(2x3 -2x + l),设讼)= 2x3-2x4-1,xg0,1,用导数知识求得比(q简i 一洋> °，原题得证小结：证法二先以q为主元，构造一次函数，且。的系数-兀的正负已知，从 而

13、函数的单调性确定，很容易求出最值。(2)分析：只需证明/(兀)+ |2-°|的最小值大于0。结合(1)不难知道，此题可先去掉绝对值，构造以。为自变量的函数再求解。./、 oi | i 2.xci + 4-x + 2, tz 5 2证明:ltlycl) 4x 2ax + a + |2 u = s2(1 - x)a + 4兀3 -2,tz > 2qxg0,1 a -2x < 0,2(1 - x) > 0 , z. m(a)min = m(2) = 2(2x3 -2x +1),以下同(1)。 变式 3 已知函数 /(x) = 4ax3 - 2bx -a + h 证明：当

14、0<x<l 时，于+|加胡0. (2012浙江理22)设计意图及说明：由变式2进一步深入到变式3,从两个变量增加到三个变 量，方法类似，关键是要选择恰当的主元构造函数，从而优化解题过程。解法一：以x为主元，a、方为参变量，此时，函数最小值涉及到三次两数的单调性，讨论较多。解法二：以a为主元，兀、b为参变量，7b(4x3+2)a-2bx,a> g(a) = 4启-2bx + b+ |2a-切=<?d的系数止负不确定,(4x3 - 2)a - 2bx + 2b, a < 2求解麻烦。解法三：以b为主元，a、兀为参变量，h(b) = 4ax3 - 2bx + b + 2

15、a- b =-2xb + 2tz(2x3 + 1),& < 2a2(1 - x)b + 2a(2x3 - ),b > 2aq x w 0,1, -lx < 0,2(1 - x) > 0, ?. /i(z?)inin = /t(2a) = 2a(2 -2x +1),以下同变式 2(1).提问：解法三与考试说明书中提供的参考答案对比，你有何感悟？你的疑惑 消除了吗？小结:不等式恒成立的证明题，通常可转化为求函数最值。当有多个变量时, 要选择恰当的变量作为主元构造函数，特别是构成一次函数，并且自变量的系数 正负确定时，函数最值容易求解。补充说明：此题也可化双参数为单参

16、数后再解，让学生课后思考。思考题 设 a w r ,若兀 >0 时，均有（cz-l） x-l（x2-6zx-l） > 0,则。=.（2012浙江理17）分析：此题有好多种解法，可引导学生用变换主元的思想，巧妙得解。答案：°21.4回顾与反思（略）设计意图及说明：教师引导下的自主反思，是解题策略和思想方法内化的有 效途径。1.5课后作业（略）2教学反思高三的专题复习课，一般是针对某些核心知识、某类典型问题、某种思想方 法作较为深入的复习。它的重点是程序性知识和策略性知识的学习。本节课是典型的微专题课。笔者围绕不等式恒成立问题，确立了用“主元法” 解题的皋本思想。由于内容综合性较强，为降低难度，笔者在设置问题时，通过 对引例进行一系列变式，由浅入深，坡度明显，但又环环紧扣，层层递进。从教 学实施的情况