函数的奇偶性及奇偶函数的图象

1、函数的奇偶性及奇偶函数的图象函数函数 y = f ( x ) 在定义域在定义域 A 内任取一个内任取一个 x A，且，且 x A1) 都有都有 f (x ) = f ( x )2) 都有都有 f (x ) = f ( x )3) 都有都有 f (x ) f ( x ) 且且 f (x ) f ( x ) 则则 f ( x ) 是是偶函数偶函数则则 f ( x ) 是是非奇非偶函数非奇非偶函数则则 f ( x ) 是是奇函数奇函数问题：问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？）奇偶性在什么范围内考虑的？2）在定义域）在定义域 A 内任取一个内任取一个 x , 则则 x 一定在定义域一定在定义域 A

2、内吗？内吗？注意：注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；）奇偶性在整个定义域内考虑；2）定义域若不是关于原点对称的区间，则）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f ( x ) 是是非奇非偶函数；非奇非偶函数；3）考虑函数奇偶性必需先求出）考虑函数奇偶性必需先求出定义域定义域。函数的奇偶性及奇偶函数的图象例例1、判断下列函数是否有奇偶性：、判断下列函数是否有奇偶性：1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = x 3 + x 5解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 R f (x ) = 6 (x ) 6 + 3 (x ) 2 + 1= 6 x 6 + 3

3、x 2 + 1= f ( x ) f ( x ) 是是偶函数偶函数解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 R f (x ) = (x ) 3 + (x ) 5 = x 3 x 5 = (x 3 + x 5 )= f ( x ) f ( x ) 是是奇函数奇函数3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) = 2 x解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 R f (x ) = (x ) 2 + 2 (x ) + 4 = x 2 2x + 4 f ( x ) 是是非奇非偶函数非奇非偶函数解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 2 , + ) f ( x ) 是是非

4、奇非偶函数非奇非偶函数 )()(xfxf函数的奇偶性及奇偶函数的图象例例2：判断函数：判断函数 f ( x ) = 的奇偶性的奇偶性2|2|12 xx解：由题解：由题 02|2|012xx2211xx 4011xxx且且4101 函数的定义域为函数的定义域为 1 , 0 ) ( 0 , 1 此时此时 f ( x ) = 2)2(12 xxxx21 xxxf 2)(1)(又又xx21 = f ( x )故故 f ( x ) 是奇函数是奇函数函数的奇偶性及奇偶函数的图象判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；）先求函数的定义域；若定义域若定义域不是不是关于原点对称的区

5、间，则函数为关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非奇非偶函数若定义域若定义域是是关于原点对称的区间，进入第二步；关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算）计算 f (x ) 化向化向 f ( x ) 的解析式；的解析式；若等于若等于 f ( x ) ，则函数是，则函数是偶函数偶函数若等于若等于 f ( x ) ，则函数是，则函数是奇函数奇函数若不等于若不等于 ，则函数，则函数是非奇非偶函数是非奇非偶函数3）结论。）结论。 )()(xfxf函数的奇偶性及奇偶函数的图象观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？xyoy = x 2 2xyoy = x

6、3xyoy = x + 1图象图象奇偶性奇偶性图图 象象 特特 征征（1）（2）（3）奇函数奇函数关于原点成中心对称关于原点成中心对称关于关于 y 轴成轴对称轴成轴对称偶函数偶函数非奇非非奇非偶函数偶函数简称简称关于原点对称关于原点对称简称简称关于关于 y 轴对称轴对称不关于原点及不关于原点及 y 轴对称轴对称函数的奇偶性及奇偶函数的图象定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；轴对称；反之，如果一个函数的图象关于原点（反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是轴）对称，那么这个函数是奇（偶）函数。奇（偶）

7、函数。此定理的作用：此定理的作用：简化函数图象的画法。简化函数图象的画法。例例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：xyoxyo1）若函数是奇函数）若函数是奇函数2）若函数是偶函数）若函数是偶函数函数的奇偶性及奇偶函数的图象例例4、作出函数、作出函数 y = x 2 | x | 6 的图象的图象解：当解：当 x 0 时，时， y = x 2 x 6 425)21(2 x当当 x 0 时，时， y = x 2 + x 6 425)21(2 x 425)21(425)21(22xxy00 xxxyo若利用对称法作图：若利用

8、对称法作图：先作出先作出 x 0 的图象的图象再用对称法作出另一半的图象；再用对称法作出另一半的图象；可知可知 函数是偶函数函数是偶函数函数的奇偶性及奇偶函数的图象例例5、已知、已知 f ( x ) 是奇函数，当是奇函数，当 x 0 时，时， f ( x ) = x 2 2x，求当，求当 x 0 时，时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。的图象。xyo解：解： f ( x ) 是奇函数是奇函数 f (x ) = f ( x )即即 f ( x ) = f ( x )任意取任意取x 0 时，则时，则 x0 x0时时 f ( x ) = x 2

9、2x f ( x ) = (x ) 2 2(x ) = x 2 + 2x f ( x ) = f ( x ) = （x 2 + 2x ） xxxxy2222故故00 xx 1)1(1)1(22xx00 xx函数的奇偶性及奇偶函数的图象例例6、已知、已知 f ( x ) 是偶函数，而且在是偶函数，而且在 ( , 0 ) 上是增函数，上是增函数，问问 f ( x ) 在在 ( 0 ，+ ) 上是增函数还是减函数？上是增函数还是减函数？解：设解：设 0 x 1 x 2 + 在所证区间上取值在所证区间上取值则则 x 2 x 1 0 f ( x ) 在在 ( , 0 ) 上是增函数上是增函数 f (x 2 ) f ( x 1 ) f ( x ) 是偶函数是偶函数 f ( x 2 ) f ( x 1 )故故 f ( x ) 在在( 0 ，+ ) 上是减函数上是减函数函数的奇偶性及奇偶函数的图象 1.已知已知 f ( x ) 是奇函数，而且在是奇函数，而且在 ( , 0 ) 上是增函数，上是增函数，问问 f ( x ) 在在 ( 0 ，+ ) 上是增函数还是减函数？上是增函数还是减函数？2、作出下列函数的图象：、作出下列函数