排列组合方法精讲

1、高二十班解排列组合复习1. 相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.A, B, C , D , E 五人并排站成一排，如果A, B必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）D、24种解析：把A, B视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4 人的全排列，A4424 种，答案：D .2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） B 、3600 种解析：除甲乙外，

2、其余5 个排列数为 A55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同的排法种数是 A55 A623600 种，选 B .3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. A, B, C, D , E 五人并排站成一排，如果B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（）解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即1 A5560 种，24. 标号排位问题分步法: 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次

3、即可完成.例 4. 将数字 1，2，3， 4 填入标号为 1， 2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6 种B 、9种C 、11种 D、23 种解析：先把1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3× 1=9 种填法，选B .5. 有序分配问题逐分法 : （注意是有序） 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步分组法.例 5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出 4 人承担这三项任

4、务，不同的选法种数是（）A、 1260种B、2025种 C、2520 种 D、5040 种解析：先从 10人中选出 2人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法2112520共有C10C8C7种，选C.（ 2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（）A、 C124C84C44种答案： A.6. 全员分配问题分组法 :例 6. （1） 4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有 C42种方法，再把三组学生分配

5、到三所学校有A33种，故共有 C42 A3336 种方法 .说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（ 2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）B 、240 种答案： B.7. 名额分配问题隔板法 :例 7： 10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析： 10 个名额分到7 个班级， 就是把 10 个名额看成10 个相同的小球分成7 堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的9 个空位中插入6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C9684 种.8. 限制条件的分配问

6、题分类法 :例 8. 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A83方法，所以共有 3A83；若乙参加而甲不参加同理也有3A83 种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7种方法，然后再安排其余8 人到另外两个城市有 A82种，共有 7A82 方法 . 所以共有不同的派遣方法总数为A843A833A837A824088种 .9. 多

7、元问题分类法： 元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9（ 1）由数字 0，1，2， 3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）解析：按题意，个位数字只可能是0， 1，2，3，4共 5种情况，分别有 A55个，A41 A31 A33 , A31 A31 A33 , A21 A31 A33 , A31 A33个，合并总计300个,10. 交叉问题集合法： 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n( A B)n( A)n( B) n( AB) .例 10. 从 6 名运动员中选出4 人参加 4×

8、 100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 =6 人中任取 4 人参赛的排列， A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I ) n( A) n(B)n( AB)A64A53A53A42252种.11. 定位问题优先法： 某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A31 种， 4 名同学在其余 4 个位置上有 A44 种方法；所以共有A31 A447

9、2 种。 .12. 多排问题单排法 : 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12. （1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是（）解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A66720 种，（ 2） 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有 A42种，某 1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A41种，其余 5个元素任排 5 个位置上有 A55种，故共有 A41 A42 A5557

10、60 种排法 .13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C93 C43C5370种解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 C52C41C51C4270台,选C.14. 选排问题先取后排 : 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 14. （1）四个不同球放入

11、编号为1，2，3， 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42种，再排：在四个盒中每次排3 个有 A43种，故共有 C42 A43144 种.（ 2）9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2 名，有 C52 C42 种，这四名运动员混和双打练习有A22中排法，故共有 C52C42 A22120种 .15. 部分不符合条件问题排除法 : 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共

12、有（）解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但 6 个表面和 6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C84 12 58个.17. 可重复的排列求幂法 : 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束， 可逐一安排元素的位置，一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有mn 种方法 . 例 17. 把 6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案 .

13、对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手。先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例： 1 名老师和4 名学生排成一排，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？分析：（解法 1、特殊元素法）老师在中间314种。个位置上任选 1 个的选法有 A4 种，然后剩余的四名学生在余下的四个位置上，排法有A4由分步记数原理，所以共有14=A3 A472 种。（解法 2、特殊位置法）先安排两端站两名学生共有A42 种方法，其余位置安排有A33 种。所以共有排法数为A42 A33=72 种。1、 总体淘汰法 . 对于含否定词的问题，还可以从总体中把不

14、符合要求的除去。比如上面的例题中， 1 名老师和4 名学生共5人，其排列方法为 A55 种，把老师排在队伍两端的情况A21A44减去。所以方法数为A55 -A21 A 44=72种。2、 顺序问题用“除法”对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。例： 7 个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？分析： 7 个节目的全排列为 A77, 甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A77A33=840 种。（ 1）、全相邻问题，捆邦法例 2、 6 名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（）种。说明：从上述

15、解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（ 2）、全不相邻问题，插空法例 3、要排一张有6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将 6 个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这 6 个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4 个舞蹈节目有A74种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A74 A66种例 4（ 06 重庆卷 ) 高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种

16、数是解： 不同排法的种数为 A55 A62 3600，说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法 。2、顺序一定，除法处理或分类法。例 7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3 面红旗、 2 面白旗，把5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。 解：5 面旗全排列有 A55 种挂，由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有A5510A33 A22说明 : 在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题, 这类问题用缩小倍数的方法求解比较

17、方便快捷例 8（ 06 湖北卷） 某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是。（用数字作答）解一： 依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5 个空中（插一个或二个），可得有A525 A22 30 种不同排法。解二： 6! =304!例 9、由数字0、1、2、 3、 4、5 组成没有重复数字的 6 位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）115故选（ B）解：A5 A5 30024、多元问题，分类法例 10(06 陕西卷 ) 某校从 8

18、 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 ( 每地 1人 ), 其中甲和乙不同去 , 甲和丙只能同去或同不去, 则不同的选派方案共有种解析： 某校从 8 名教师中选派4 名教师同时去 4 个边远地区支教 ( 每地 1 人 ) ，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有C52 A44 =240 种选法；甲、丙同不去，乙去，有 C53A44 =240 种选法；甲、乙、丙都不去，有 A54120 种选法，共有600 种不同的选派方案例 12（ 06 天津卷） 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的

19、球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10 种B20 种C36 种D52 种解析： 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 C414 种方法； 1 号盒子中放2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 C426种方法；则不同的放球方法有10 种，选 A说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例 14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共

20、六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（ 1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（ 2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例 15、同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A）6种 B ）9种 C）11种D ）23种解：此题可以看成是将数字1、 2、 3、 4 填入标号为1、 2、 3、4 的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将 1 填入 2 至 4 的 3 个方格里有3 种填法；第二步把

21、被填入方格的对应数字填入其它3 个方格，又有3 种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3× 1=9 种填法。故选B说明：求解 二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例 16、（ 06 湖北卷）安排 5 名歌手的演出顺序时， 要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.(数字作答 )。（答： 78 种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。7、至少问题，分类法或 间接法（排除处理）例 18 （06 福建卷）从4 名男生和 3 名女生

22、中选出3 人，分别从事三项不同的工作，若这3 人中至少有1 名女生，则选派方案共有用解析： 从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A73A43 =186 种，选B.例 19（ 06 辽宁卷） 5 名乒乓球队员中 , 有 2 名老队员和 3 名新队员 . 现从中选出 3 名队员排成 1、 2、 3 号参加团体比赛 , 则入选的 3 名队员中至少有一名老队员 , 且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有 _种 .( 以数作答 )【解析】 两老一新时 , 有 C13 C21 A2212 种排法；两新一老时, 有 C12 C32A3336 种排法 , 即共有 48 种排法 .【点

23、评】 本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例 20 (06 重庆卷 ) 将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有解析：将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组， 一组 1 人，另两组都是 2 人，有 C51 C4215A22种方法，再将3 组分到 3 个班，共有 15A33 90 种不同的分配方案说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。9分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处

24、理例 22。有 9 个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2， 3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析：（ 1）此题属于分组问题：先取 3 个为第一组，有 C93 种分法，再取 3个不第二组，有 C63 种分法，剩下3 个为第三组，有 C33种分法，由于三组之间没有顺序，故有C93C63C33种分法。（ 2）同（ 1），共有 C92 C73C44 种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以A33 。A33练习： 12 个学生平均分成3 组，参加制作航空模型活动，3 个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题：定额分配，组合处理；随机分配，先组后排。例 23。有 9 本不同