力学第二章 质点运动学

1、第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速Mechanics力 学1第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速2Chap. 2 The Kinematics of Mass Points 质点运动学质点运动学第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速3I、参考系、坐标系和质点、参考系、坐标系和质点i. 参考系参考系 在描述物体运动时在描述物体运动时,被选作参考的其他物体被选作参考的其他物体,叫做参考系叫做参考系 物体的运动性质与参考系有关物体的运动性质与参考系有关 参考系应是客观存在的不变形的物体参考系应是客观存在的不变形的物体 参考系的选择原则：视研究问题方便而定参考

2、系的选择原则：视研究问题方便而定 观测者观测者第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速4ii. 坐标系坐标系 1.坐标系是固定在参考系上的，因此常用坐标系坐标系是固定在参考系上的，因此常用坐标系代替参考系代替参考系2.物体的运动性质与坐标系的选择无关物体的运动性质与坐标系的选择无关3.选坐标系可把矢量运算转化为标量运算选坐标系可把矢量运算转化为标量运算4.坐标系类型较多，根据研究需要选取坐标系类型较多，根据研究需要选取 常用坐标系常用坐标系: 直角坐标系直角坐标系 自然坐标系自然坐标系 极坐标系极坐标系观测者观测者&观测量表达观测量表达第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语

3、速注意语速5iii. 质质 点点 质点是力学中最基本、最简单的模型质点是力学中最基本、最简单的模型,它是把实际物体看它是把实际物体看作只有质量而无大小形状的点作只有质量而无大小形状的点 能否把实际物体当作质点处理能否把实际物体当作质点处理,视问题性质而定视问题性质而定 理想化方法是科学研究的基本方法理想化方法是科学研究的基本方法 物理学中的所有规律都是建立在一定的理想模型基础上的物理学中的所有规律都是建立在一定的理想模型基础上的观测者观测者&最简单观测体系最简单观测体系第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速6讨论讨论: 质点质点: 有质量有质量,无大小的点无大小的点 *什么

4、是质量什么是质量? 什么是大小什么是大小( 什么是点什么是点)? 第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速7II、质点运动学中的基本概念、质点运动学中的基本概念 (2.1 -2.2) i.位矢、位移和路程位矢、位移和路程,( , , )rxiyjzkrx y z 222222,cos/ ,cos/cos/ ,coscoscos1rxyzx ry rz rxyzxyzr 位矢位矢 由参考点由参考点o引向质点所在位置的矢量引向质点所在位置的矢量最简单观测体系的观测量最简单观测体系的观测量基本观测量基本观测量:独立完备独立完备第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速8 运动学方程

5、和质点轨迹运动学方程和质点轨迹 . . cossin,?e g rRtiRtj 求求质质点点的的轨轨迹迹方方程程22222cos,sin .xRtyRtxyR解解： 得得：xyR( )( ),( ),( )rr txx tyy tzz t 运运动动学学方方程程矢矢量量：标标量量： ( , , )0f x y z 轨轨迹迹方方程程：延伸量延伸量第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速9 位移和路程位移和路程 :()( )BArr ttr trr 位位移移：由由质质点点初初位位置置引引向向末末位位置置的的矢矢量量，即即位位置置矢矢量量增增量量() ()()()()BBBAAABABABA

6、rx iy jz kx iy jz kxx iyyjzz kxiyjzk 直直角角坐坐标标系系：|,|,|r |,|rrrrrrrr 的的含含义义与与区区别别： 和和都都表表示示位位矢矢的的大大小小，但但ABoS)t (r)tt (r r A 路程：质点沿运动轨迹走过的长度路程：质点沿运动轨迹走过的长度Notes: 只有当只有当t0时，或在单方向直线运动中，时，或在单方向直线运动中， 位移大小才等于路程位移大小才等于路程延伸量延伸量第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速10ii. 速度速度()( )rr ttr tvtt 0limtrdrvtdt 0drdsdtdttdrds 大大

7、小小：由由于于时时，瞬瞬时时速速度度的的大大小小总总等等于于瞬瞬时时速速率率 平均速度平均速度 位矢对时间的平均变化率位矢对时间的平均变化率 平均速率平均速率 = = 路程路程/ /时间时间 = = s/t，是正的标量，是正的标量 瞬时速度瞬时速度 位矢对时间的一阶导数位矢对时间的一阶导数方向：指向前进一侧的轨迹切线方向方向：指向前进一侧的轨迹切线方向 SS)t (r)tt (r r dt/rdo第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速11 直角坐标系中矢量的分量形式直角坐标系中矢量的分量形式 kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xdtddtrdv)( ,xyzxyzdxdy

8、dzvvvdtdtdtvv iv jv k 设设：cos,cos,cosyzxvvvvvvvvv222xyzvvvv第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速12 例例210155(, ) 0,1?rit jt k m sts 已已知知，求求质质点点的的速速度度/1510vdrdtjtk 解解：220,15 ,15/ ,900901,1510 ,151018.03/1590arccosarccos33 421810arccosarccos56 1818vvvyvvzvtvj vm stvjk vm svvvv 方方向向：，方方向向：，第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速1

9、3 iii. 加速度加速度t)t (v)tt (vtva 220dtrd)dtrd(dtddtvdtvlimat )t(v)tt(v v dt/vdo速度矢端曲线速度矢端曲线 平均加速度：平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率速度矢量对时间的平均变化率 瞬时加速度瞬时加速度： 速度矢量对时间的一阶导数速度矢量对时间的一阶导数, 位矢对时间二阶导数位矢对时间二阶导数 Notes： 一般速度与加速度的方向并不在一条直线上一般速度与加速度的方向并不在一条直线上 即使速度的大小不变，也可以产生加速度即使速度的大小不变，也可以产生加速度第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速143. 直角坐标

10、系中加速度的分量形式直角坐标系中加速度的分量形式kdtdvjdtdvidtdv)kvjviv(dtddtvdazyxzyx 222222dtzddtdva,dtyddtdva,dtxddtdvazzyyxx kajaiaazyx 222,cos,cos,cosyxzxyzaaaaaaaaaaaaa. 1510,?vjtka 例例求求质质点点的的加加速速度度2/1010,90 ,0aaaadv dtkams 解解：；第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速15III、质点的直线运动、质点的直线运动（2.3 2.4 ）i. 基本概念和基本问题基本概念和基本问题 xoixi)xx(rrr,

11、 ixr 1212iaidtxdidtdvdtvda, ividtdxdtrdvxxx 22xxaavvxrxr 基本概念基本概念第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速16 基本问题基本问题 Notes Notes： 标量的绝对值标量的绝对值(absolute value)(absolute value)就是矢量的大小，就是矢量的大小， 标量的正负表示矢量的方向是与标量的正负表示矢量的方向是与x x轴同向还是反向轴同向还是反向 一维运动中只有一个分量，人们有时省去脚标，一维运动中只有一个分量，人们有时省去脚标， 直接用直接用v, ,a 代替代替 vx, ax ,这时的这时的v, ,

12、a 是可正可负的代数量是可正可负的代数量求导求导积分积分)t(x)t(vx)t(ax求导求导积分积分第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速17 威尔逊云雾室中带电粒子的运动学方程威尔逊云雾室中带电粒子的运动学方程 ，试描述粒子在云室中的运动情况。（粒子进入云室开始计时）试描述粒子在云室中的运动情况。（粒子进入云室开始计时）12txCC e xtttxxtttxveCdtdeC)eC(dtddtdvaeCdt)t(d)t(ddeC)e(dtdCdtdxv 2222222解：由运动学方程知粒子做直线运动解：由运动学方程知粒子做直线运动,先求速度和加速度先求速度和加速度 vx0，ax0，

13、 粒子做减速运动，且速度、加速度均按指数规律减小。粒子做减速运动，且速度、加速度均按指数规律减小。t=0， 粒子进入云室粒子进入云室, x0 = C1-C2 , v0 x=C2，a0 x = - C22 t，x=C1，v=0，a=0，表明粒子最终静止于，表明粒子最终静止于x=C1处。处。例例1：第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速18跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率为跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率为v v0 0 入水入水后地球对它的引力和浮力相抵消，仅受水阻碍而减速。后地球对它的引力和浮力相抵消，仅受水阻碍而减速。自水面向下取自水面向下取o-yo-y轴轴, ,

14、运动员在水中加运动员在水中加 速度速度为为 求入水后运动员速度随时间的变化求入水后运动员速度随时间的变化2yykva 22 /yyyydvdtkvvdvkdt 解解：011100001012121002 yyyyvvyyvvyyvvtyyvttkvvv,ktvv,ktvktv,kdtdvv时，时，取取t=0时，时，vy=v0，对上式进行积分：，对上式进行积分： 例例2第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速19ii. 几种特殊的直线运动几种特殊的直线运动 (自己阅读自己阅读) 匀速运动匀速运动 匀变速运动匀变速运动 竖直抛体运动竖直抛体运动第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注

15、意语速20IV、质点的平面运动、质点的平面运动(2.5,2.6,2.7) i. 直角坐标系直角坐标系22, cos/ ,cos/rrrxiyjrxyx ry r 位位矢矢： ,/,/xyxyvv iv jvdx dtvdy dt 速速度度：22,cos/ ,cos/xyvxvyvvvvvvv 222222,cos/ ,cos/yxxyxyxyaxaydvdvd xd yaa ia jaadtdtdtdtaaaaaaa 加加速速度度：第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速21斜抛运动斜抛运动yxv000000 y,x,sinvv ,cosvvtyx 时时，初初始始条条件件：ga,a,

16、 jgayx 0即即加速度：加速度：位置：位置：速度：速度：2210000gttsinvytcosvxgtsinvvcosvvyx gvgvggvvy2sin)sin(21sinsin:2202000max 最大高度最大高度2200max2cossin2:sinvvxgg 最最大大射射程程22202xcosvgxtgy 轨迹：由、消去轨迹：由、消去t，得，得 斜抛运动可视为匀速直线运动与竖直上抛运动的合运动斜抛运动可视为匀速直线运动与竖直上抛运动的合运动第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速22物理意义物理意义: 运动的合成运动的合成xyoAr1r2Pr匀速运动匀速运动:自由落体运

17、动自由落体运动:10 rv t 2212rgt 运动的合成运动的合成:201 2rv tg t 第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速23ii. 自然坐标系自然坐标系运动学方程运动学方程 ：s = s(t) : 切向单位矢量切向单位矢量, 沿着曲线的切线方向沿着曲线的切线方向: 法向单位矢量法向单位矢量, 指向曲线的凹侧指向曲线的凹侧 tene , tnNotese e：一一般般说说来来，均均不不是是恒恒矢矢量量SOte ne O)t (r)(ttr r te 运动学方程运动学方程 正交坐标正交坐标第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速24 自然坐标系中的速度表示自然坐

18、标系中的速度表示 tt0t0tedtdsetstrv limlimtttevvdtdsv ,令令 tv , ,称称为为切切向向速速度度，可可正正可可负负vvt 在自然坐标系中，速度矢量可以用一个标量代替在自然坐标系中，速度矢量可以用一个标量代替第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速25vteteOABsvRteteADCPvv 2v1vv 加速度表示加速度表示12000limlimlimtttvvvattt 第一项第一项:1vvABR 21000limlimlimtttvsvABvvtRtRtR 大小大小平移平移v,取取C点使得点使得DAC相似于相似于AOBAD=AC note:

19、原则上原则上C点的任意性点的任意性注意微分应用注意微分应用选择选择AC=AD，恰好有：，恰好有：a1平行于平行于dteettdtlim0第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速26方向方向: 沿着法向单位矢量沿着法向单位矢量ne 第二项第二项: 2 tttvvve 2000limlimlimttttttttttvvvdvveeetttdt 质点圆周运动的加速度表示为：质点圆周运动的加速度表示为： 2tnnttntdvvaa ea eeeRdt 令令ttdvadt 2nvaR teteADCPvv 2v1vv第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速27对一般的曲线运动，用曲线

20、的曲率半径对一般的曲线运动，用曲线的曲率半径 代替代替R；曲率圆就是与曲线相切最大的圆曲率圆就是与曲线相切最大的圆;曲率曲率=曲率半径倒数曲率半径倒数ABSAB22222/|/ttttttnnttnntntvv evds dtvvaa ea edvd saavdtdtaaaatga anataSummary:第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速28对平面曲线对平面曲线有曲率有曲率平面曲线参数化平面曲线参数化有曲率有曲率第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速29附注：关于以上的分析计算附注：关于以上的分析计算32|)|1 (| /|;.),();,(),(vvdtavv

21、dtavvvdtavvdtavvdtavvdtavdtavdtavvvevveyxayxvyxrtt.0| /|lim11130即相互垂直可以看到vaaavvavvadteettdt第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速30附注：直接的分析计算附注：直接的分析计算2( ( ), ( ) and ( )(,)(,)( ,)(,()(,()(,()(,() ()( ,rx ty tyf xdx dydx dxvfx x fdtdtdtdtd dx ddxd dxd dxdx dafffdt dt dt dtdt dtdt dtdt dtd dxd dxdx dxffdt dtdt dt

22、dt dtd dxd dxdxffx xdt dtdt dtdt 2)fx f第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速312222222222222221 1111)(1111)()11(11)()11(111ffffdtdsdtdsfdtdsdtddxfddtdxdtdsfdtdsdtdfdtddtdsfdtdsdtdfdtdsdtddtdxdtdfdtdsdtdxdxffdxdxdydxds第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速32a.) ,(;1 111111222222的量表达出完整地用自然坐标系中fxfxxaffffsfsfsxx第二章第二章 质点运动学质点运动

23、学注意语速注意语速33例例: : 汽车在汽车在R=200mR=200m的圆形公路上刹车的圆形公路上刹车, ,刹车开始阶段的运动刹车开始阶段的运动学方程学方程 S=20t-0.2tS=20t-0.2t3 3（m,sm,s）, ,求车在求车在t=1st=1s时的加速度时的加速度ana2200.6 ,1.2tttdvdsvtatdtdt 1200.619.4,1.2tttva 时时，222222219.41.88,1.21.882.23/200ntnvaaaam sR1.88 ( 1.5667)122 331.2nttaaearctgarctgarctga 与与的的夹夹角角Satte 第二章第二章

24、质点运动学质点运动学注意语速注意语速34iii. 极坐标系极坐标系( ),( ),rree teet 不不是是恒恒矢矢量量,rrrrrredrdrerdedrerd e 运动学方程：运动学方程：r = r(t), =(t) 径向单位矢量径向单位矢量 ：指向：指向 r 增加方向增加方向横向单位矢量横向单位矢量 ：与：与 垂直，指向垂直，指向增加方向增加方向 re e r rded e 证证明明：| 1,rrrededded e 的极限方向，显然与的极限方向，显然与 的方向相同的方向相同 rder 的的方方向向为为 ( )et o)t ( r )tt ( r r 运动学方程与正交单位矢量运动学方程

25、与正交单位矢量rxosre e 第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速35附注：直接的分析计算附注：直接的分析计算(cos ,sin );(cos(),sin();(cossin),sincos);( sin,cos)rrrrrreeddedddeeeddd e 第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速36 极坐标下的速度表示极坐标下的速度表示rrrrdrerd edrdrdverev ev edtdtdtdt 径向速度：径向速度：r,dtdrvr 的大小发生变化引起的大小发生变化引起 横向速度横向速度: r,dtdrv 的方向发生变化引起的方向发生变化引起 22rvvv

26、 大大小小：rdrdrerd e vrxosr 第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速37 例题例题：在极坐标系中，质点的运动学方程为在极坐标系中，质点的运动学方程为 r=rr=r0 0+v+v0 0t,=tt,=t，r r0 0,v,v0 0,均为正的常数，求质点的轨迹方程和均为正的常数，求质点的轨迹方程和t=0t=0时的速度时的速度。解：从运动学方程中消去解：从运动学方程中消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程： 00vrr )v/r(arctg)v/v(arctgrvvvv ,rvt)tvr(rdt/rdv,vdt/drvrrr00202202200000 时，时，vrvvr0 x

27、o第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速38V、相对运动和伽利略变换、相对运动和伽利略变换 (2.8 ) 时间和空间时间和空间设两个参考系设两个参考系 o,o相相对平动，任选其一作对平动，任选其一作为为基本参考系基本参考系 (the ground reference frame) , 又称静止参又称静止参考系或绝对参考系；考系或绝对参考系；相对基本参考系运动的参考系叫相对基本参考系运动的参考系叫运动参考系运动参考系 (the moving reference frame)。 或或t t,rr r tt,r rr 00两个参考系间的时空变换关系两个参考系间的时空变换关系 ：oxyzz

28、oxypr ror多个观测者相互之间多个观测者相互之间.第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速39式两边对时间求导式两边对时间求导, 由于由于t=t，所以，所以 dtrddt rddtrd0 v v0vvvv 绝绝对对相相对对牵牵连连0v vv 速度变换速度变换ttrrr ,0oxyzzoxypr ror: 绝对速度绝对速度 (absolute velocity)：相对速度：相对速度 (relative velocity)：牵连速度：牵连速度 (convected velocity)第二章第二章 质点运动学质点运动学注意语速注意语速40 加速度变换加速度变换两边对时间求导，由于两边对时间求导，由于t=t, 所以所以 a a0a00a aadtvddt vddtvd aaa 绝绝对对相相对对牵牵连连: 绝对加速度绝对加速度 (absolute acceleration): 相对加速度相对加速度 (relative acc