高等数学课件：9-1多元数量值积分的概念与性质

1、9.1.1 9.1.1 二重积分的概念二重积分的概念1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积9.19.1多元数量值积分的概念与性质多元数量值积分的概念与性质 顶柱体顶柱体做曲做曲上连续这样的立体叫上连续这样的立体叫在在且且，这里，这里面面轴的柱面，它的顶是曲轴的柱面，它的顶是曲平行于平行于线线的边界曲线为准线而母的边界曲线为准线而母是以是以，它的侧面，它的侧面面上的闭区域面上的闭区域设有一立体，它的底是设有一立体，它的底是DyxfyxfzzDDxoy0),(),( 定义定义xzo),(yxfz yD体积体积= =平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积底面积高高曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求

2、法“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的思想方法的思想方法曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以直线代曲线以平面代曲面以平面代曲面 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似求分割、近似求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割

3、、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示（2 2）近近似似 ) , (iii ) , 2, , 1(ni ，用用以以) , (iif 为为高高， i 为为底底的的平平顶顶柱柱体体的的体体积积iiif ) ,

4、 (近近似似代代替替个第i 小小曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积，即即 iiiifV ) , () , 2, , 1(ni 。 （1 1）分分割割。 将将D 区区域域任任意意分分成成个 n子子域域：1 ，2，n 。 并并以以i ) , 2, , 1(ni 表表示示个个第第i子子域域的的面面积积。然然后后以以每每个个 子子域域的的边边界界曲曲线线为为准准线线，作作母母线线平平行行于于轴轴 z的的柱柱面面，这这些些 柱柱面面就就把把原原来来的的曲曲顶顶柱柱体体分分成成 n 个个小小的的曲曲顶顶柱柱体体。 iiiifV ) , (xzyoDi ),(ii （4 4）取极限）取极限 设设max1的直径的直

5、径inid ，当，当0d时上面和式的时上面和式的 极限就是曲顶柱体的体积，即极限就是曲顶柱体的体积，即 iniiidfV 10) ,(lim。 （3 3）求和）求和 将这将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体 体积的近似值，即体积的近似值，即 iniiiniifVV 11) ,( xzyoD),(yxfz i),(ii2 2平平面面薄薄片片的的质质量量 设有一平面薄片在设有一平面薄片在xoy平面上占有区域平面上占有区域 D，其面密度，其面密度 为为 D 上的连续函数上的连续函数) ,(yx ，求该平面薄片的质量，求该平面薄片的质量 m。 xyoD

6、 均匀薄片的质量均匀薄片的质量 面密度面密度薄片面积薄片面积 （1 1）分分割割 将将薄薄片片( (即即区区域域 D) )任任意意分分成成 n 个个子子域域：n ,21， 并并以以i ) , 2, , 1(ni 表表示示第第 i 个个子子域域的的面面积积。 （2 2）近近似似 ) , (iii ) , 2, , 1(ni ， 第第i块块薄薄片片的的质质量量的的近近似似值值为为 im) , (ii i 。 xyoD) , (ii i （3 3）求和）求和 将这将这 n 个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到 整个平面薄片质量的近似值，即整个平面薄片质量的

7、近似值，即 iniiiniimm 11) ,( （4 4）取极限）取极限 设设 max 1的直径的直径inid ，当，当0d上面和式的极限上面和式的极限 就是所求薄片的质量，即就是所求薄片的质量，即 iniiidm 10) ,(lim。 3 3二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设设) ,(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭上的有界函数。将闭 区域区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域: :i ) 3, , 2 , 1( i，并，并 以以i 表示表示个个第第i小闭区域的面积。小闭区域的面积。 ) , (iii ， 作和式作和式 iniiif 1) ,(。若当

8、各小闭区域的最大直径。若当各小闭区域的最大直径 0d时，和式的极限存在，则称此极限为时，和式的极限存在，则称此极限为) ,(yxf在闭在闭 区域区域 D 上的二重积分，记作上的二重积分，记作 Ddyxf),(，即，即 iniiidDfdyxf 10) ,(lim),( 由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的 高高0) ,( yxf在底面区域在底面区域 D 上的二重积分，即上的二重积分，即 DdyxfV),(。 非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度 ) ,(yx 在薄片所占有的区域在薄片所占有的区域 D

9、 上的二重积分，即上的二重积分，即 Ddyxm),(。 积分和积分和被积表达式被积表达式面积元素面积元素.),( lim ),( 10iniiidDfdyxf 积积分分区区域域被积函数被积函数积分变量积分变量 （1 1）当）当0) ,( yxf时，曲顶柱体的体积时，曲顶柱体的体积 DdyxfV),(。 xzo),(yxfz yD4.二重积分的几何意义二重积分的几何意义（2 2）当）当0) ,( yxf时，曲顶柱体在时，曲顶柱体在xoy平面的下方，平面的下方， 曲柱体的体积曲柱体的体积 DdyxfV),(，或，或 DdyxfV),(。 （3 3）当）当) ,(yxf在在上D有正有负时，若规定在有

10、正有负时，若规定在xoy平面上平面上 方的柱体体积取正号，在方的柱体体积取正号，在xoy平面下方的柱体体积取负号，平面下方的柱体体积取负号， 则则 Ddyxf),(的值就是这些上下方柱体体积的代数和。的值就是这些上下方柱体体积的代数和。 性性质质 1 1 DDdyxfkdyxkf),(),(（k 为为常常数数） 。 性质性质 2 2 DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(。 性质性质 4 4 若在若在D上上1) ,( yxf， 的面积为的面积为且且 D， 则则 Dd。 .对对积积分分区区域域具具有有可可加加性性这这一一性性质质表表明明二二重重积积分分9.1.29.1.2

11、二重积分的性质二重积分的性质 性质性质 3 3 若若DDD 21， 21DD ，则，则 21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf。 推论推论： DDdyxfdyxf),(),(。 性质性质 5 5 若在若在D上上) ,() ,(yxgyxf ，则，则 DDdyxgdyxf),(),(。 性性质质 6 6若若 M 和和 m 分分别别为为) ,(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和 最最小小值值， 为为D的的面面积积，则则 MdyxfmD),(。 ) ,() ,() ,(yxfyxfyxf 设设) ,(yxf在闭区域在闭区域 D 上连续，记上连续，记的面积的面积为为 D

12、 ，则在，则在 D上至少存在一点上至少存在一点) ,( ，使得，使得 ),(),(fdyxfD。 证明：显然证明：显然0 ，由性质，由性质 6 6 中不等式中不等式 MdyxfmD),(， 得得MdyxfmD ),(1， 根据闭区域上连续函数的介值定理，在根据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少存在一点上至少存在一点 ) ,( ，使得，使得),(),(1 fdyxfD， 从而从而 ),(),(fdyxfD。 通常称通常称 Ddyxf),(1为为) , (yxf在区域在区域 D 上的上的平均值平均值。 性质性质7（二重积分中值定理二重积分中值定理） D： 4222yxx； 或或D： yxyy

13、40 。 例题试用二重积分表示由椭圆抛物面例题试用二重积分表示由椭圆抛物面222yxz ，抛，抛 物柱面物柱面2xy 及平面及平面4 y，0 z所围成的曲顶柱体的所围成的曲顶柱体的 体积体积V，并用不等式组表示曲顶柱体在，并用不等式组表示曲顶柱体在xoy面上的底。面上的底。 解解： dyxVD )2(22， o4Dxzyxy2xy 4 y2 24Do 解：设这两个直交圆柱面的方程为解：设这两个直交圆柱面的方程为222Ryx 及及 222Rzx 。并画出它们在第一卦限内的图形。并画出它们在第一卦限内的图形。 yxzo o222Ryx 222Rzx RRyo ox22xRy DRRx 故故所所求求