广东省珠海市2014届高三数学9月开学摸底考试试题理新人教A版

1、珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1. 已知集合A x x1 ， B x x22x0 ，则 AB（）A. x x0B. x x1C. x 1x2D. x 0 x22.复数 2i（）1iA.1iB.1iC.2 iD.2i3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,上单调递增的函数为（）A yx 1B ylog 2 x C y| x |D yx24.在ABC 中，“ A600 ”是“ cos A1”的（）2CA充分而不必要条件B必要而不充分条件C 充分必

2、要条件D既不充分也不必要条件A5.如图，在ABC 中，点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点，则AD（）（第 5题）A 2 AB1 ACB 1 AB2 ACC 2 AB1 AC333333D 1AB2 AC336 . 已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+4 y 的最小值为（）A .14B.15C.16D.177.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位 : cm ）则该组合体的体积为（）A. 72000cm3B. 64000cm350C. 56000cm3D. 44000cm310主视图40侧视图202020俯视图1DB（第 7题）8.对于函数yf (x) ，如果存在区间 m, n

3、 ，同时满足下列条件：f ( x) 在 m, n 内是单调的；当定义域是 m, n 时， f ( x) 的值域也是 m, n ，则称 m, n 是该函数的“和谐区间”若函数f ( x)a 110) 存在“和谐区间”，则a 的取值范围是（）a(axA (1, 5 )B(0,1)C (0, 2)D (1,3)22二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，考生做答 6 小题，满分30 分其中14 15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置 .9. 不等式3x+1x10 的解集是K$s5u10.在二项式 (x2a )5的展开式中，含x 项的系数是80 ，

4、则实数 a 的值为x11.设等比数列 an 的公比 q2 ，则S4a412.1x b 是函数 f (x)1直线 y的切线，则实数 b4x13.在ABC 中， AB=2 3 ， AC=2 ， C=60 0 ，则 BCC14（几何证明选讲选做题）如图， 圆 O 的直径 AB 6，P是 AB延长线上的一点，过 P作圆的切线，AoBP切点为 C,若 CPA300, 则CP长为.（第 14 题）15( 极坐标选做题） 极坐标系中， 曲线4cos 上的点到直线cos3 sin8的距离的最大值是.三、解答题 : 本题共有 6 个小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分 1

5、2 分）已知函数f ( x) cos2x sin x cos x.（1）求 f (x) 的最小正周期和最小值；（ 2）若( , ) 且 f (+ 3 )26，求 cos42842的值 .17. （本小题满分 12 分）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有 A、B、C 三种软件投入使用， 经一学年使用后， 团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：班级一二三四人数3234（ 1）从这 12 人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好来自同一班级的概率；（ 2）从这 12 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A

6、、 B 两个软件学习的概率都是1 ，且他们选择 A、 B、C 任一款软件都是相互6独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为，求的分布列和数学期望K$s5u18. （本小题满分 14 分）在边长为 4cm的正方形 ABCD中， E、F 分别为 BC、CD的中点， M、N分别为 AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使 B、C、D三点重合，重合后的点记为B ,构成一个三棱锥（ 1）请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系，并给出证明；（ 2）证明 AB 平面 BEF ；（3）求二面角 MEF B 的余弦值ADBMNMFNAFBECE319. （本小题满分 14 分）若正数项数列an

7、的前 n 项和为 Sn ，首项 a1 1，点 P Sn ,Sn 1在曲线 y ( x1)2 上.（ 1）求 a2 , a3 ；（ 2）求数列an的通项公式 an ；（ 3）设 bn1bn的前项和 , 若 Tn a 恒成立，求 Tn 及实数 a 的取an, Tn 表示数列an 1值范围 .20. （本小题满分 14 分）已知点 A、 B 的坐标分别是 (0,1) 、 (0,1) ，直线 AM 、BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积为12(1) 求点 M 轨迹 C 的方程；(2) 若过点 D (0,2) 的直线 l 与 (1) 中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ，试求 OEF 面积的取值范围

8、（ O 为坐标原点） K$s5u21. （本小题满分14 分）已知函数f (x)1xln x （x 0）ax（1）当 a1 时，求 f (x) 在 1 ,2 上的最小值；（2）若函数 f (x) 在 1 ,+2) 上为增函数，求正实数a 的取值范围；2（ 3）若关于 x 的方程 1 x2x ln x 2mx0 在区间1内恰有两个相异的实根，求,ee实数 m 的取值范围K$s5u4珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试理科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1.（集合）

9、已知集合A x x 1 ， B x x22x0，则 AB （）A. x x0B. x x 1C. x 1x2D. x 0x 22.（复数的除法）复数 2i（）1 iA. 1 iB.1 iC.2 iD.2 i3. （函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,）上单调递增的函数为（）A yx 1B ylog 2 xC y| x |D yx24.（充要条件） 在ABC 中，“ A 600 ”是“ cos A1”的（）2A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件K$s5u5. （向量） 如图，在ABC 中，点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点，则AD

10、（）CA 2AB1ACB33C2AB1 ACD3312 AB AC331 AB 2AC3 3DABxy506. （线性规划） 已知 x ，y 满足约束条件xy0 ，则 z2x+4 y 的最小值为（）y0A .14B.15C.16D.177. （三视图） 一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位 :cm ）则该组合体的体积为（）A. 72000cm3B. 64000cm350C. 56000cm3D. 44000cm310主视图40侧视图5202020俯视图8.（信息题）对于函数yf ( x) ，如果存在区间 m, n ，同时满足下列条件： f ( x) 在 m, n内是单调的； 当定义域是

11、m, n 时， f ( x) 的值域也是 m,n ，则称 m, n 是该函数的 “和谐区间”若函数 f ( x)a 11(a0) 存在“和谐区间” ，则 a 的取值范围是（）ax15B(0,1)C (0, 2)D(1,3)A(,)22二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，满分 30 分其中14 15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.9. （绝对值不等式）不等式 3x+1x1 0的解集是x |1 x010. （二项展开式） 在二项式 ( x2a)5 的展开式中，含x 项的系数是80 ，则实数 a 的值为x2 11.（等比数列） 设等比数

12、列 an 的公比 qS4152 ，则8a412.（导数） 直线 y111或 -1x b 是函数 f ( x)的切线，则实数 b4x13.（解三角形） 在ABC 中， AB=2 3 ， AC=2 ， C=60 0，则 BC4C14（几何证明选讲选做题）如图， 圆 O 的直径 AB6，P是 AB延长线上的一点，过 P作圆的切线，AoBP切点为 C,若 CPA300, 则CP长为3 3.15( 极坐标选做题） 极坐标系中， 曲线4cos 上的点到直线cos3 sin8的距离的最大值是7.三、解答题 : 本题共有 6 个小题， 12 分+12分 +14 分 +14 分+14 分 +14 分 =80 分

13、16. （三角函数） 已知函数 f (x) cos2 xsin x cos x（ 1）求 f ( x) 的最小正周期和最小值；（2）若(, ) 且 f (+ 3 )26，42846求 cos 的值 .解：（1）f ( x) cos2xsin x cos x11 cos 2x1 sin 2x12 sin(2 x) ， 4222224分所 以2， 当 s i nx ( 2时)， 1 f (x)有最小值T2412 6 分2（2）f (+ 3 )12 sin(2+ 3)12 sin(2+)12 sin 226，8224422224所以s3 i102分因为(,)，所以 2( ,)，所以 22，33422

14、所以1co122 分17. （概率） 某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、 B、 C 三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表班级一二三四人数3234（ 1）从这 12 人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好来自同一班级的概率（ 2）从这 12 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选择A、 B 两个软件学习的概率每个都是1 ，且他们选择 A、 B、 C任一款软件都6是相互独立的。 设这三名学生中下午自习时间选软件C 的人数为，求的分布列和数学期望。7解： (1) 设“

15、从这12 人中随机抽取2 人，这 2 人恰好来自同一班级”的事件为M则C32C22C32C4213P(M )C12266 3 分答：从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级的概率是13 4 分66(2) 0 、1、2 、3 5 分由题设知，每个人选软件C概率均为2 6 分311P(0)()3327P(1) C31( 1)2 2 2339P(2) C32 1 (2)24339P(3)(2)38327 10 分的分布列如下0123P1248279927的期望是E011224382279927 12 分18. （立几） 在边长为 4cm 的正方形 ABCD中， E、F 分别为 BC、CD的中

16、点， M、N分别为 AB、CF的中点，现沿AE、AF、 EF折叠，使B、 C、 D三点重合，重合后的点记为B , 构成一个三棱锥（1）请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系，并给出证明；8（2）证明 AB平面 BEF ；（3）求二面角 MEFB 的余弦值ADBMNMFNAFBECE解：（ 1） MN 平行平面 AEF 1分证明：由题意可知点 M 、N 在折叠前后都分别是AB、 CF 的中点（折叠后 B、C 两点重合）所以MN平行AF 2 分MN面AEFMN因为AFA，所以平行平面面M平行AFNAEF 4 分（ 2）证明：由题意可知ABBE 的关系在折叠前后都没有改变因为在折叠前ADDF ，由

17、于折叠后AD与 AB重合 ，点 D与F 重合 ，所以ABBF 5 分ABBEABBFAB因为面，所以平面BEFBEB面BEFFBE =BFBBEF 8 分（ 3）解： 记 EF的中点为 G, 连接 MF 、BG、 MG ,因为 BE BF ,MEMF,所以 BGEF 且MGEF ,所以 MGB 是二面角 MEF B 的平面角. 10 分因为 AB 面 BEF ，所以MGB900.在 BEF 中， BG2 ，由于 MB2，所以 MGMB 2BG26 ，于是92313 分cos MGB63所以，二面角MEFB 的余弦值为3 14 分319. （数列） 若正数项数列 an的前 n 项和为 S，首项

18、a1 ，点P Sn ,Sn 1在曲线n1y ( x 1)2 上 .（ 1）求 a2 , a3 ；（ 2）求数列 an的通项公式 an ；（ 3）设 bn1bn的前项和 , 若 Tna 恒成立，求 Tn 及实数 a 的取an, Tn 表示数列an 1值范围 .解：（ 1）因为点PSn ,Sn 1在曲线 y( x1)2 上，所以 S(S 1)2.n 1n分别取 n1 和 n2，得到a1a2(a11)2，a1a2a3( a1a2 1)2由a11解得a23，a35 . 4 分（2）由 Sn 1( Sn1)2 得 Sn 1Sn1 .所以数列Sn是以S1为首项， 1 为公差的等差数列所以Sn1 +S(n1

19、)1即，Snn26 分由公式 anS1n=11n=1，得 aSnSn 1n 2n2n 1 n 2所以an2n 1810分（3）因为 bn11，所以 bn0 ，anan 1(2 n 1) (2 n1)Tn11113 3 5(2 n1) (2 n1)= 1(11 + 11 + +131+111)23352n2n12n2n112nn1=2n12n 1122n 10 分显 然Tn是 关 于 n的增函数，所 以 Tn有最小值T111 ，12 分1321由于Tn a恒成立，所以a113 分，31于是 a 的取值范围为 a | a14 分 . 320（圆锥曲线） 已知点 A、B 的坐标分别是(0,1) 、(

20、0,1) ，直线 AM 、BM 相交于点 M ，1且它们的斜率之积为2(1) 求点 M 轨迹 C 的方程；(2) 若过点 D (0,2) 的直线 l 与 (1) 中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ，试求 OEF 面积的取值范围（ O 为坐标原点） 解：（ 1）设点 M 的坐标为 ( x, y) ，k AM1kBM，2y1 y112 分xx2整理，得x 2y 21 ( x 0)，这就是动点M的轨迹方2程4 分11（2 ）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为yk x25 分y2将代入xy 21得： K$s5u2FD(2 k21)x28kx60 6 分ox3E0 ，解得 k 2由7 分2x1x

21、28k22,设E x1 , y1，F x2 , y2，则2k16x1 x2212k 8 分S OEFS OEDS OFD1 OD x11 OD x21 OD x1x21 2 x1x2 x1x22222 10 分28k22616k22416(k 23)x1 x2( x1 x2 )4x1x2)42(22k21(2 k2 1)2(2 k 21)22k1 11 分令 k23t (t 0) , 所以 k 2t3(t0)22所以S OEFx1x216t4t2t2112(2 t 4)2(t2) 224t 4422tt44 4t 13 分所以S O(2E02 14 分21. （导数） 已知函数 f ( x)1 xln xax（1）当 a1 时，求 f (x) 在 1,2 上的最小值；212（2）若函数 f (x) 在 1,+) 上为增函数，求正实数a 的取值范围；2（ 3）若关于 x 的方程 1x2x ln x2mx 0在区间1 ,e内恰有两个相异的实根，求e实数 m 的取值范围解：（1）当a 1f (1x)l ，x n111x1xf2